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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 16:43:51 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 16:43:51 +0100
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[locaux-globaux] réécriture rappels sur mesures.
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index 8cec51f..7c666d0 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -46,7 +46,7 @@ Corps locaux, corps globaux
\section{Corps locaux}
-\subsection{Définitions}
+\subsection{Premières définitions, notations}
On note $𝐐_{∞}=𝐑$.
@@ -81,56 +81,105 @@ le cardinal.
valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
\end{définition2}
-\subsection{Mesures}
+\begin{proposition2}
+Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
+\end{proposition2}
-\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique.
-Rappelons qu'un ensemble borélien, ou simplement « un borélien »,
-est un élément du plus petit ensemble $ℬ$ de parties de $X$
-contenant les ouverts de $X$ et stable par
-passage au complémentaire et union au plus dénombrable.
-Une \emph{mesure borélienne} sur $X$ est une fonction $μ$ à valeurs dans $𝐑_+ ∪ \{+∞\}$
-définie sur les ensembles boréliens et
-satisfaisant la condition d'additivité : $μ(⋃_{i ≥ 1} E_i)=∑_{i ≥ 1} μ(E_i)$
-lorsque les $E_i$ sont mutuellement disjoints.
-
-\subsubsection{}Soit maintenant $G$ un groupe topologique localement
-compact, c'est-à-dire […]. On appelle \emph{mesure de Haar} à gauche
-sur $G$ un mesure borélienne $μ$ satisfaisant les conditions
-suivantes :
-\begin{enumerate}
-\item pour tout borélien $E ⊆G$, et tout $g ∈ G$, on a $μ(gE)=μ(E)$.
-(Invariance à gauche).
+\begin{proposition2}
+Tout corps local de caractéristique $p>0$ est isomorphe
+à un corps $k((t))$, où $k$ est un corps fini.
+\end{proposition2}
-\item pour tout compact $C ⊆G$, $μ(C)<∞$.
-\begin{définition2}
-Mesure de Haar invariante à gauche (resp. droite) sur un groupe localement compact.
-\end{définition2}
+BNT, p. 20.
+
+\subsection{Mesures}
+
+On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
+de théorie de l'intégration.
+
+\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
+compact. Pour tout compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C)$ l'ensemble des fonctions continues
+sur $X$ à valeurs complexes et à support contenu dans $C$. C'est un
+espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
+L'ensemble $𝒞_c(X)=⋃_C 𝒞_c(X,C)$ — où l'union
+est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
+valeurs complexes sur $X$ — des fonctions à support compact
+est donc naturellement muni de la topologie colimite/union.
+Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $K$
+etc.
+
+\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
+une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X) → 𝐂$. Si $f ∈ 𝒞_c(X)$,
+le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
+et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$ etc.
+Une telle mesure est dite \textbf{positive},
+si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
+réelles et s'il est positif ou nul lorsqu'il en est de même
+des valeurs de $f$ (cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.)
+Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
+à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
+semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
+μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ 𝒞_c(X)_+$ et $\sur{𝐑}_+=𝐑_+ ∪ \{+∞\}$ ; puis à l'ensemble des fonctions
+positives sur $X$ en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, où $g ∈ ℐ_+(X)$.
+Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
+Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
+on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
+de Minkowski qu'on obtient ainsi une semi-norme,
+— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
+d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
+L'adhérence de $𝒞_c(X)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
+On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé.
+L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
+permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
+également notée $μ$ ou $∫_X d μ$, sur $ℒ¹(X)$. Pour les fonctions
+intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
+bien sûr avec $μ^*$.
+
+\subsubsection{}On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
+de la mesure ($σ$-algèbres, tribus etc.) en posant,
+pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(\mathbf{1}_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
+où $\mathbf{1}_E$ désigne
+la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
+de l'ensemble $E$. Tout ensemble relativement compact, c'est-à-dire
+d'adhérence compacte, est de mesure extérieure finie.
+
+\subsubsection{}Considérons maintenant un \emph{groupe topologique} $G$,
+localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
+est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
+sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
+$f ∈ 𝒞_c(G)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
+\[
+∫_G f d μ= ∫_G f_h d μ,
+\]
+où $f_h(g)=f(hg)$.
-\subsubsection{}C'est un fait général (Bourbaki, ...) qu'il existe
+C'est un fait général (Bourbaki, INT, VII.§1.№2) qu'il existe
une mesure de Haar invariante à gauche et qu'elle est unique à un facteur multiplicatif
près. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
-invariante à droite.
-
-\begin{définition2}
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ : si $K=𝐑$, mesure de Lebesgue
-$dx$ usuelle : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}([0,1])=1$ ; si
-$K=𝐂$, deux fois la mesure usuelle $dxdy$ : $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$. Enfin, si $K$ est non
-archimédien, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(𝒪)=1$.
-\end{définition2}
+invariante à droite, en un sens évident. [La démonstration fait quatre petites pages.]
-\subsubsection{}Construction ad hoc de la mesure de Haar dans
-le cas non archimédien.
+\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
+\begin{enumerate}
+\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
+mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}([0,1])=1$.
+L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
+qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
+topologique $K=𝐑$.
+\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
+de Haar. Elle satisfait :
+\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
+\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(𝒪)=1$.
+[+ construction].
+\end{enumerate}
\begin{proposition2}
-Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors
+Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar sur le groupe additif
+d'un corps local $K$ et $a ∈ K^×$. Alors
$[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
\end{proposition2}
-\begin{proposition2}
-Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
-\end{proposition2}
-À déplacer. \XXX
\subsection{Espaces de fonctions}
@@ -149,89 +198,93 @@ Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
\emph{Bruhat-Schwartz}.
\end{définition2}
-\subsection{Analyse harmonique : théorie additive}
+Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
+et variantes uniquement dans cas archimédien).
-\subsubsection{}
-Caractères : ils sont continus.
+\subsection{Caractères additifs d'un corps local}
\begin{définition2}
-Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
-non-archimédien.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
+Caractères : ils sont continus.
\end{définition2}
-Exemples. On suppose choisie une fois pour toute une orientation
-sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
-$ψ_∞:x ↦ \exp(2i π x)$ le caractère de $𝐑$ et
-$ψ_p:x ↦ \exp(\frac{2i π}{p}x)$ le caractère de $𝐅_p$ qui s'en
-déduisent.
+
+On suppose choisie une fois pour toute une orientation
+sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
+alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
+% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
+De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀ ∈ \chap{𝐅_p}$
+le caractère $x ↦ 𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
+relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
+
+\subsubsection{Exemple de caractères des corps locaux premiers}
\begin{enumerate}
-\item $𝐐_p → 𝐔$, $y ↦ ψ_∞(\{ y\})$,
-où $\{y\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $y-\{y\} ∈ 𝐙_p$.
-$K\bo 𝐐_p$ : on compose avec la trace.
+\item[$𝐐_p$.] $𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\})$, où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$.
+
+\item[$𝐑$.] $𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x)$.
-\item $𝐑$ ou $𝐂$ : $x ↦ ψ_∞(-\Tr_{K\bo 𝐑}(x))$.
+\item[$𝐅_p((t))$.] $x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res(x dt))$.
+\end{enumerate}
-\item $𝐅_p((t))$ : $x ↦ ψ_p(\Res(x dt))$.
-Cas général : choisir $t$ tel que $K \bo 𝐅_p((t))$ soit étale
-et composer avec la trace.
+\begin{proposition2}
+\label{caractère corps local}
+Soit $K$ un corps local.
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$)
+son sous-corps local premier, le caractère $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
+\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme
+différentielle non nulle, le caractère $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Res(x ω))$ est non trivial.
\end{enumerate}
+\end{proposition2}
-Dans les deux premiers cas, on notera $ψ_{can}$ le caractère ainsi obtenu.
-Dans le cas « géométrique », il n'y a pas — du moins pour l'instant  —
-de choix visiblement canonique.
+On observe ici une différence fondamental entre la caractéristique
+nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
+il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
+\begin{proposition2}
+\label{dual corps local}
+Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère non trivial.
+L'application
+\[K → \chap{K},\]
+\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
+est un isomorphisme.
+\end{proposition2}
+
+\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial est un fait général,
qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
+\end{remarque2}
-\begin{proposition2}
-\XXX
-\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est non-archimédien, les groupes $K$ et $\chap{K}$ sont isomorphes.
-Plus précisément :
-\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$, $ω ∈ Ω¹_{K}-\{0\}$,
-et $ψ₀ ∈ \chap{k}-\{0\}$, $K → \chap{K}$,
-\[x ↦ \big( y ↦ ψ₀ ∘ \Res_ω( yx)\big)\]
-est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{k}$
-est de la forme $y ↦ \exp(\frac{2i π}{p} \Tr_{k \bo 𝐅_p}(λ y))$ pour
-un unique élément $λ ∈ k$.
-\item Si $K$ est d'inégale caractéristique et $ψ₀ ∈ \chap{𝐐_p}-\{0\}$,
-$K → \chap{K}$,
-\[x ↦ \big( ψ₀ ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}(xy)\big)\]
-est un isomorphisme. De plus, tout élément de $\chap{𝐐_p}$
-est de la forme $y ↦ \exp(2 i π \{ λ y\})$, pour un unique élément
-$λ ∈ 𝐐_p$, où $\{z\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $z-\{z\}
-∈ 𝐙_p$.
-\end{enumerate}
-\item Si $K=𝐑$, tout élément de $\chap{𝐑}$ est de la forme
-\[
-y ↦ \exp(2 i π λ y),
-\]
-pour un $λ ∈ 𝐑$ bien défini à un entier près : l'application
-précédente induit un isomorphisme $𝐑/𝐙 ⥲ \chap{𝐑}$.
+\begin{définition2}
+Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
+non-archimédien.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
+\end{définition2}
-\end{enumerate}
+\begin{proposition2}
+Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
+Niveau de $ψ_ω$.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+[Tate] 2.2.3 pour cdn.
+\end{démo}
+
+\subsection{Transformation de Fourier}
+
\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $y ↦ ψ(xy)$.
+et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
-L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
-qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
-topologique $K$.
\begin{remarques2}
Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.
-
-D'après la proposition \ref{}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
@@ -241,20 +294,23 @@ fonction sur $\chap{K}$.
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
-\item Il existe une constante $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
+\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
\]
où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. Lorsque $K$ est non-archimédien, c'est l'unique
-mesure de Haar pour laquelle le compact $𝒪$ soit
-de mesure $q^{n/2}$, où $n$ est le niveau de $ψ$.
-[signe devant $n$ ? \XXX]
-\item $μ_{[a]^* ψ}=|a|^{½} μ_ψ$.
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
+\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
+\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$), si $K$ est non-archimédien et $n$ est le niveau
+de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+Il résulte de ces propriétés que $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus
+$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$.
+
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
@@ -264,17 +320,13 @@ Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
\begin{exemples2}
\XXX
-\begin{enumerate}
-\item Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
+Si $K=𝐐_p$ c'est bien ce que l'on pense. Cf. [Colmez, F.2.1].
Lien avec sommes de Gauß.
-\item niveau de $ψ_{can}$ ; volume de $𝒪$ pour $μ_{ψ_{can}}$ (cas réel, complexe, $p$-adique
-etc.).
-\end{enumerate}
\end{exemples2}
-Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
-(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
-près par une unité.
+%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
+%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
+%près par une unité.
\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative}
@@ -479,7 +531,7 @@ Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
\subsection{Idèles}
\subsubsection{}$I_{S,K}$ ; $I_K$ ; $I_K¹$ ; $C_K=I_K/K^×$ ; $C¹_K=I¹_K/K^×$.
-$𝒦=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
+$I^∞_K=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
☡ $C_K$ n'est *pas* compact.
☡ La topologie de $I_K$ est n'est pas topologie induite par
@@ -487,6 +539,7 @@ l'inclusion $I_K ⊆ A_K$. Par exemple ([Saitô]p241),
la suite d'éléments $x_n$ de $I_𝐐$ dont les coordonnées
sont $1$ en la place réelle et $n!+1$ ailleurs tend
vers $1$ dans $A_𝐐$ mais ne converge pas dans $I_𝐐$.
+Variante : considérer les idèles $x_p$ ($p$ variable) valant $p$ en $p$ et $1$ ailleurs.
\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
@@ -712,12 +765,12 @@ Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non a
\subsubsection{}On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme
$\Coker(K^× → ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙)$, envoyant $a ∈ K^×$ sur $(v(a))_{v ∤ ∞})$.
-Comme $I_K/𝒦=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
+Comme $I_K/I^∞_K=⨁_{v ∤ ∞} K_v^×/𝒪_v^× ⥲ ⨁_{v ∤ ∞} 𝐙$, on a un
isomorphisme canonique
\[
-C_K/\sur{𝒦} ⥲ \Pic_K
+C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
\]
-où $\sur{𝒦}$ désigne l'image de $𝒦$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
+où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
\begin{proposition2}
Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪)$.
@@ -728,7 +781,7 @@ Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
par une variante de la formule des résidus), et on note $\Pic⁰_K$ le noyau.
-Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{𝒦}= 𝒦∖I¹_K/K^×$.
+Il est isomorphe à $C¹_K/\sur{I}^∞_K= I^∞_K∖I¹_K/K^×$.
Remarque. Dans le cas des corps de nombres, on peut définir
un groupe de Picard d'Arakelov, noté $\sur{\Pic}_K$, et muni
@@ -736,7 +789,7 @@ d'un morphisme vers $𝐑^×$. Cf. Neukirch, p. 190 environ.
Plus généralement, si $U$ est un ouvert non vide de $P_K$,
on note $𝒪_U$ l'anneau …, $\Pic(U)$ son groupe de Picard
-et $\Pic⁰(U)$ …
+et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …
\begin{théorème2}
\XXX