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authorDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
committerDavid A. Madore <david+git@madore.org>2013-02-28 21:38:08 (GMT)
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -940,7 +940,7 @@ et $+∞$ sinon.
Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
-sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
+sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=\sqrt{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 π i x)=e^{2 π i x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
De même, \mbox{$p>0$} étant implicitement fixé, on note $ψ_{𝐅_p}$
@@ -1155,7 +1155,7 @@ $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{-½n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $μ_{ψ_a}=√{|a|} μ_ψ$.
+\item $μ_{ψ_a}=\sqrt{|a|} μ_ψ$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -1233,7 +1233,7 @@ L'existence et l'unicité en découle.
Contrairement à $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$, qui est à valeurs
dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
-dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
+dans $𝐙[1/ \sqrt{q}]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
\begin{exemple2}
\label{exemple Fourier et Gauss}
@@ -1485,7 +1485,7 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
∑_{n ∈ 𝐙} f(n) = ∑_{n ∈ 𝐙} \chap{f}(n)
\]
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
-$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ où
+$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
@@ -1694,10 +1694,10 @@ et
ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
\]
Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
-$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
+$x=\sqrt{r}$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
-\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
+\]} ou $x=\sqrt{r} e^{i θ}$ dans le cas
complexe\footnote{Explicitement :
\[
ζ_𝐂(s)
@@ -4486,7 +4486,7 @@ a la formule (globale)
ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪.
\]
Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
-$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
+$θ(t)=\frac{1}{\sqrt{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
Elle nous servira également à établir les équations fonctionnelles des
fonctions $ζ$ de corps globaux.
@@ -4504,8 +4504,8 @@ $+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
=
\begin{cases}
-\displaystyle √{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
-\displaystyle √{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
+\displaystyle \sqrt{|𝔡_K|} & \text{si } \mathrm{car.}(K)=0\\
+\displaystyle \sqrt{q^{2g-2}} & \text{si } \mathrm{car.}(K)>0,
\end{cases}
\]
où l'on rappelle que $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
@@ -4825,7 +4825,7 @@ f(X,Y)-f(X,X+Y)-f(X+Y,Y)
\[
\frac{k+1}{2} ζ(k) = ∑_{n>0} f_k(n,n) = ∑_{0 < j < k \atop j \text{ pair}} ζ(j) ζ(k-j).
\]
-\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=√{6 ζ(2)}$.
+\item En déduire que $ζ(k) ∈ 𝐐 P^k$ où $P=\sqrt{6 ζ(2)}$.
\item Montrer que
\[
∫_{[0,1]²} (1-x²y²)^{-1} dxdy= (1-¼)ζ(2).
@@ -5264,7 +5264,7 @@ le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
-$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+$ζ_{𝐐(\sqrt{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(\sqrt{m})}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
\section{Fonctions $L$}
@@ -5279,7 +5279,7 @@ $𝐑$-algèbre $K ⊗_𝐐 𝐑$.
\begin{théorème2}[Minkowski]
Soit $K\bo 𝐐$ une extension finie de degré $d$.
\[
-√{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
+\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}}\geq (\frac{\pi}{4})^{r_{\CC}(K)}\frac{d^d}{d!}.
\]
\end{théorème2}
@@ -5305,7 +5305,7 @@ Admettons que
$$\mathrm{vol}(A)=\frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}.$$
Le lemme de Minkowski affirme que si, pour un $t>0$,
$$t^d \frac{n^n}{n!}2^{r_\RR}(\frac{\pi}{2})^{r_{\CC}}=\mathrm{vol}(tA)
- \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}},$$
+ \geq 2^n \mathrm{covol}(𝒪_K)=2^n 2^{-r_{\CC}}\sqrt{\got{d}_{K/\QQ}},$$
il existe un élément non nul de $tA\cap 𝒪_K$, nécessairement
de supérieure à $1$ mais inférieure à $t$.
L'inégalité en résulte immédiatement.
@@ -5313,8 +5313,8 @@ L'inégalité en résulte immédiatement.
Effectuons le calcul volumique. Posons
$$
f_{r_{\RR},r_\CC}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{x\in \RR^n, |x_1|+\cdots+|x_{r_\RR}|+
-2\big(√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
+2\big(\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\big)\leq t\}\Big)=t^n f_{r_{\RR},r_\CC}(1),
$$
où $n=r_{\RR}+2r_\CC$.
En utilisant de façon répétée, pour $r_{\RR}>0$, l'égalité
@@ -5328,8 +5328,8 @@ f_{r_{\RR},r_\CC}(1)=\frac{2^{r_\RR}}{n\cdots (n-r_{\RR}+1)}f_{0,r_\CC}(1).
$$
Soit
$$g_{r_{\CC}}(t)=\mathrm{vol}\Big(\{y\in \RR^{2r_{\CC}},
-√{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
-√{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
+\sqrt{x_{r_{\RR}+1}^2+x_{r_{\RR}+2}^2}+\cdots+
+\sqrt{x_{n-1}^2+x_{n}^2}\leq t\}\Big),$$
de sorte que l'on ait $f_{0,r_\CC}(t)=g_{r_{\CC}}(t/2)$.
Calculons $g$ :
$$\begin{array}{ll}
@@ -5494,7 +5494,7 @@ montre que ces coefficients $c₁,…,c_g$ sont déterminés par les $N(n)$, $1
L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
\begin{théorème2}[Weil]
-Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $√q$.
+Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, le module (usuel) du nombre complexe $α_i$ est $\sqrt{q}$.
De façon équivalente, on a
\[
|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
@@ -5541,10 +5541,10 @@ Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
-\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q},
+\# \Fix \big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) \sqrt{q},
\]
où l'on note $\Frob^σ_k=σ^{-1}\Frob_k$.
-En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$.
+En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)\sqrt{q}$.
\end{théorème2}
L'existence d'une $k$-place dans $X(k)$ est équivalente à l'existence
@@ -5688,7 +5688,7 @@ Cf. cours à Hyères (2008).
Utilise :
-— $𝐐(j)=𝐐(√3)$ est euclidien ;
+— $𝐐(j)=𝐐(\sqrt{3})$ est euclidien ;
— construction ad hoc caractère de Hecke via sommes de Jacobi ;