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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 18:54:52 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 18:54:52 +0200
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[LG] fonctions ζ locales ; sorites
À faire : prolongement méro et équation fonctionnelle. [Bushnell-Henniart] ont jolie démo dans cas ultramétrique. [Tate] fait archi/ultra en même temps mais c'est un chouïa moche :(
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -596,7 +596,7 @@ On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps l
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
-$U=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
+$U_K=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}
\begin{définition2}
@@ -623,18 +623,18 @@ multiplicatif net.
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
-où $χ₁$ est un caractère de $U$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
+où $χ₁$ est un caractère de $U_K$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien). Si $K$ est archimédien (resp.
ultramétrique), le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^n$,
où $n ∈ 𝐙$, unique si $K=𝐂$ et unique modulo $2$ si $K=𝐑$
(resp. se factorise de façon unique à travers un caractère du groupe
-fini $U/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$).
+fini $U_K/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$).
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U}$ ; c'est un
-caractère de $U$ et, par construction, le quasi-caractère
+Soit $χ$ comme dans l'énoncé. Posons $χ₁=χ_{|U_K}$ ; c'est un
+caractère de $U_K$ et, par construction, le quasi-caractère
multiplicatif $x ↦ χ(x) χ₁(x₁)^{-1}$ est net. Il suffit
donc de démontrer que tout quasi-caractère net $χ$ est de la
forme $ω_s$. Par définition, $χ$ se factorise
@@ -663,7 +663,9 @@ réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\subsection{Transformée de Mellin}
-\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
+\subsubsection{Mesures multiplicatives}
+\label{sorites mesures multiplicatives locales}
+Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
si $K$ est archimédien.
@@ -688,14 +690,14 @@ On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).
-\begin{lemme2}
+\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a
l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
@@ -708,7 +710,8 @@ $+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{lemme2}
-\begin{lemme2}
+\begin{proposition2}
+\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
ultramétrique $K$, de partie réelle $\Re(χ)>0$. Alors, pour tout $x ∈ K$ et tout $e ∈ 𝐙$
la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ ∈ L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$
@@ -716,12 +719,12 @@ et l'on a l'égalité :
\[
∫_{x+𝔪^e} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
\begin{cases}
-\frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)} & \text{si $v(x) ≥ e$ et $χ₁=1$} ;\\
+\frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)} & \text{si $v(x) ≥ e$ et $χ₁=1$ (c.-à-d. $χ$ net)} ;\\
χ(x) \frac{q^{e-v(x)}}{1-q^{-1}} & \text{si $v(x)< e$ et ${χ₁}_{|1 + 𝔪^{e-v(x)}}=1$} ;\\
0 & \text{sinon}.
\end{cases}
\]
-\end{lemme2}
+\end{proposition2}
\begin{démo}
Supposons $x ∈ 𝔪^e$. Pour chaque $r ≥ e$, on a l'égalité
@@ -737,7 +740,7 @@ de la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ$ ainsi que le calcul de
l'intégrale sont maintenant évident. (Noter que
$\Re(|χ|)=\Re(χ)$.) Si $x ∉ 𝔪^e$, tout élément de $x + 𝔪^e$ s'écrit de façon
unique $x ⋅ u ′$ où $u ′$ appartient au sous-groupe $U ′ =1
-+ 𝔪^{e-v(x)}$ de $U$. La conclusion résulte alors
++ 𝔪^{e-v(x)}$ de $U_K$. La conclusion résulte alors
immédiatement de l'égalité $χ(x u ′)=χ(x) χ₁(u ′)$,
du fait que $∫_{U ′} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=0$
si la restriction de $χ₁$ à $U′$ est non-triviale (orthogonalité
@@ -745,40 +748,95 @@ des caractères) et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(U
′) = \frac{q^{e - v(x)}}{1-q^{-1}}$.
\end{démo}
-\begin{proposition2}
-Soit $f ∈ 𝒮(K)$ et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif de $K$.
-La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
-\end{proposition2}
+\begin{corollaire2}
+Soient $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
+\begin{enumerate}
+\item La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à
+$L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
+\item La fonction $s ↦ ∫_{K^×} f χ ω_s  dμ^{\mbox{\minus $×$}}$
+est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>\Re(χ^{-1})=-\Re(χ)$.
+\end{enumerate}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
-
+(i) L'intégrabilité de la fonction sur l'ouvert $|x|>1$ résulte
+immédiatement du fait que $f$ est à décroissance rapide en
+l'infini. Pour démontrer l'intégrabilité sur le fermé $|x| ≤ 1$,
+il suffit de vérifier la convergence de l'intégrale
+\[
+∫_{|x|<1} ω_σ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁
+\]
+pour chaque $σ ∈ 𝐑^×_{>0}$. Ce résultat est classique dans
+le cas archimédien et résulte du calcul précédent dans le
+cas ultramétrique. On rappelle que, dans ce dernier cas, l'ensemble
+$\{x ∈ K: |x|<1\}$ est l'idéal maximal $𝔪$.
+
+(ii) Si $K$ est archimédien, l'holomorphie est classique ;
+cf. p. ex. \cite[V.2.20]{Elements@Colmez}.
+Si $K$ est ultramétrique, l'intégrale est une fraction
+rationnelle en $q^{-s}$. En effet, $f$ ne prend qu'un nombre
+fini de valeurs ; on utilise
+alors les formules explicites de \ref{calcul explicite
+intégrale quasi-caractère}, jointe à la formule triviale :
+$(χ ω_s)(y)=χ(y) |y|^{-s}$ pour $y ∈ K^×$.
+(On rappelle que $|y| ∈ q^𝐙$.)
\end{démo}
-$\chap{K^×}$ (un caractère), et $ψ ∈ \chap{K}-\{0\}$. et chaque $s ∈ 𝐂$ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+\subsubsection{Fonction zêta locale}
+\label{fonction zêta locale}
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$, et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
+Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
+intégrable, on pose :
\[
-ζ_ψ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
+ζ_ψ(χ,f)= ∫_{K^×} f χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ},
\]
+où l'on rappelle que la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$
+n'est autre que la mesure de Haar associée (\ref{sorites
+mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
+(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
+On a vu précédemment que $ζ_ψ(χ,f)$ à un sens dès lors que $\Re(s)>0$ et $f ∈ 𝒮(K)$.
+
+La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
+caractère additif non trivial, il existe une constante non
+nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ (cf.
+\emph{loc. cit.}).
+
+Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces fonctions zêta,
+on introduit la notation : $ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(χ ω_s,f)$.
+Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
+\ref{description quasi-caractères} — munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
+de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
+Nous ne le ferons pas.
-
-(Cette fonction zêta locale dépend de $ψ$ à une constante
-multiplicative non nulle près.)
-
-\begin{proposition2}
-Si $f=1_{𝒪^×}$ et $χ$ non ramifié, $ψ$ de niveau nul.
-$ζ(s,χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)q^{-s}}$.
-\end{proposition2}
+\subsubsection{}
+\label{zêta local dans cas net}
+Si $f=𝟭_𝒪$, $χ$ net, et $ψ$ de niveau nul, on
+a :
+\[
+ζ_ψ(χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)}.
+\]
+Cela résulte immédiatement de \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
+et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
+Compte tenu de l'égalité $(χ ω_s)(ϖ)=χ(ϖ)q^{-s}$,
+on peut réécrire la formule précédente sous la forme : $ζ_ψ(s,χ,f)=(1-χ(ϖ)q^{-s})^{-1}$.
+% [Bushnell-Henniart] 23.4
+Cette observation, généralement attribuée à Margaret
+Matchett (thèse, 1946), est le point de départ de la méthode de Iwasawa Kenkiti et John Tate pour
+l'étude des fonctions zêta \emph{globales}.
\begin{proposition2}
-Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
-Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
-pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+Soient $ψ$ un caractère additif non trivial d'un corps local $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
\begin{enumerate}
-\item la fonction $s ↦ ζ_ψ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
-\item l'équation fonctionnelle
+\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, la fonction $s ↦
+ζ_ψ(s,χ,f)$ définie \emph{a priori} sur le demi-plan $\Re(s) > \Re(χ^{-1})$ admet un
+prolongement méromorphe à $𝐂$.
+\item Il existe une fonction méromorphe $s ↦ γ(s,χ,ψ)$ telle que,
+pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'équation fonctionnelle
+suivante soit satisfaite :
\[
γ(s,χ,ψ)ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
\]
-est satisfaite.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -787,6 +845,9 @@ Cf. [Bump] p. 265 pour l'énoncé et [Tate] 2.4.2 pour une démonstration
plus jolie.
\end{démo}
+Pour un autre démonstration dans le cas ultramétrique, plus
+algébrique, voir par exemple \cite[§23]{Bushnell-Henniart}.
+
\begin{exemples2}
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}
@@ -795,11 +856,6 @@ Exemples de $γ$.
$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
-\subsection{Références}
-
-Deligne, Weil Ⅱ, chap. Ⅱ.
-
-
\section{Corps globaux}
\subsection{Définitions}