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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 21:05:45 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 21:05:45 (GMT)
commit6fa1384c8f268539702cfc7c639ee50d25a9a3c0 (patch)
treefd819cead6ef134cbee486791b13572c1c858f7f /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] clarification/réécriture dualité Pontrâgin pour les adèles (passage de K à L étale sur K)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex122
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index 311cfff..64543ab 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2861,7 +2861,8 @@ compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$
-pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$.
+pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$. En particulier, l'application
+trace $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}:L_𝐀 → K_𝐀$ est \emph{surjective}.
\end{théorème2}
Notons que la trace considérée est bien définie car
@@ -3628,19 +3629,19 @@ si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$, avec $c_i ∈ 𝐅
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
-$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$.% : le niveau de $ψ_∞$ est égal à $1$.
+$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$ :
+le niveau (\ref{niveau caractère}) de $ψ_∞$ est égal à $1$.
Rappelons (\ref{cocompacité}, démonstration) que
le morphisme canonique du compact $C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ vers le quotient
$𝐤_𝐀 \bo 𝐤$ est une surjection. Comme le caractère $ψ_∞$
-est trivial sur $𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞}$, le caractère composé
+est trivial sur $𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤,∞}$, le caractère composé
$∏_x 𝒪_{𝐤,x} ↠ 𝒪_{𝐤,∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
-induit un caractère additif (continu) $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x:$
-un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
-note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractère
-additif local $ψ_{𝐤,x}$ est par construction trivial
+induit un caractère additif (continu) $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$
+des adèles, trivial sur $𝐤$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractère
+local $ψ_{𝐤,x}$ est par construction trivial
sur $𝒪_{𝐤,x}$. Montrons qu'il est de niveau nul.
Notons $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant
-à $x$, que l'on peut écrire sous la forme $ϖ_x=t^{δ_x}u$
+à $x$, que l'on peut écrire sous la forme $ϖ_x=t^{δ_x}u$,
où $δ_x=\deg(ϖ)$ et $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ est de degré inférieur ou égal à $δ_x$
en $t^{-1}$.
Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
@@ -3653,20 +3654,26 @@ f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
pour un entier $r>0$ et des $λ_i$ dans $𝐅_p$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
-$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
-Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)$, qui coïncide avec $ψ_{𝐤,x}(f_-)$
+$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_-$ appartient à $𝒪_{𝐤,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
+Ainsi le nombre $ψ_{𝐤,x}(f)$, qui coïncide avec $ψ_{𝐤,x}(f_-)$,
est égal à $ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$.
% itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
-En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) = ψ_{𝐅_p}(-1)≠ 1$. Ceci montre que
-le niveau (\ref{niveau caractère}) de $ψ_{𝐤,x}$ est nul.
-(On utilise ici le fait que $t^{δ_x-1}$ est une unité en
-$x ≠ ∞$.)
+En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x)$, égal
+à $ψ_{𝐤,x}(ϖ_x^{-1})$ car $t^{δ_x-1}$ est une unité en
+$x ≠ ∞$, vaut $ψ_{𝐅_p}(-1) ≠ 0$.
+Ceci montre bien que le niveau de $ψ_{𝐤,x}$ est nul.
Montrons maintenant que le morphisme $𝐤_𝐀 → \chap{𝐤_𝐀}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
-isomorphisme et que $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
-La bijectivité résulte comme ci-dessus de \ref{dual corps local}
-et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils
-le soient presque tous suffirait.)
+isomorphisme.
+L'injectivité résulte, comme dans le cas du corps
+des rationnels, de la dualité locale \ref{dual corps local}
+et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont non triviaux.
+La surjectivité se démontre comme ci-dessus,
+le groupe profini $G$ remplacé par le produit $∏_x 𝒪_{𝐤,x}$,
+en utilisant le fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau
+nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils le soient presque tous suffirait.)
+
+Vérifions enfin que $𝐤$ est orthogonal à lui-même pour cet accouplement.
Soit $a_𝐀 ∈ 𝐤^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐤_𝐀 : ψ_𝐤(b_𝐀 𝐤)=\{1\}\}$.
On peut écrire $a_𝐀=f + c_𝐀$ où $f$ appartient à $𝐤$ (plongé
diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
@@ -3674,21 +3681,22 @@ diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ (\ref{cocompacité}
supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
Naturellement, $c_𝐀 ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
-$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
+$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$ et $𝐤$ donc
(\emph{loc. cit.}) sur $𝐤_𝐀$ tout entier. Finalement,
$c_𝐀=0$ et $a_𝐀 ∈ 𝐤$. CQFD.
\begin{exercice2}
-Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
+Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±1]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}
\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
\label{Pontrâgin pour adèles}
Soit $K$ un corps global.
-Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$.
+Il existe un caractère (additif) non trivial $ψ$ de $K_𝐀$, trivial sur $K$,
+% dire que OPS ψ_x tous non triviaux ?
Le morphisme $K_𝐀 → \chap{K_𝐀}$, $a↦ [×a]^*ψ$
est un isomorphisme. De plus, $K$ est orthogonal à lui-même :
-si $x ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ x)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $x ∈ K$.
+si $a_𝐀 ∈ K_𝐀$ et $ψ(λ a_𝐀)=1$ pour tout $λ ∈ K$, on a $a_𝐀 ∈ K$.
\end{théorème2}
Un mot sur la terminologie : le caractère $ψ$
@@ -3698,37 +3706,53 @@ orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
accouplement.
- \[⁂\]
-
-
\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
-de ce qui précède. Montrons que maintenant que le théorème
-il est vrai pour tout corps $L$ étale sur un corps $K$
-comme précédemment.
-D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
-cela permettra de conclure.
-Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
-(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
-que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$ est également
-non trivial (resp. et trivial sur $L$).
-Si $ψ_L(a L_𝐀)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
-on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo
-K_x}(L_x)=K_x$), ce qui est absurde. (Cf. calculs
-explicites ci-dessus : le niveau des $ψ_{K,x}$ est fini.)
-Ainsi $a=0$ et $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$ est donc injective.
-La surjectivité résulte formellement du fait
-que $L_𝐀 = K_𝐀^n$ (car si l'on note $b↦ (b₁,…,b_n)$
-cet isomorphisme, il existe des $a_i$ dans $K_𝐀$
-tels que $ψ(b)=ψ_K(⟨a,(b₁,…,b_n⟩)$) et que toute forme $K_𝐀$-linéaire
-$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$ (\emph{op. cit.}).
-Orthogonalité : il existe pour chaque $i$, un $l_i
-∈ L$ tel que $\Tr(a l_i K)=a_i K$. En conséquence,
-si $ψ_K ∘ \Tr (aL)=\{1\}$, on a $ψ_K(a_iK)=\{1\}$
-d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
-\XXX détailler cette esquisse.
+de ce qui précède. D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
+il suffit donc de vérifier que si le théorème est vrai pour un corps global $K$,
+il l'est également pour une extension étale $L$ de $K$.
+Fixons une telle extension et un caractère additif non trivial $ψ_{K}$
+de $K_𝐀$, trivial sur $K$. On peut également supposer
+que ses composantes locales sont toutes non triviales
+car c'est le cas pour $K=𝐐$ ou $𝐤$.
+
+\emph{Existence d'un caractère adélique non trivial.}
+Il résulte de la surjectivité de la trace adélique (\ref{adèles et cb})
+que le caractère $ψ_L:=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$
+est également non trivial. Comme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(L)=K$,
+ce caractère est trivial sur $L$.
+
+\emph{Injectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$.}
+Soient $a_𝐀 ∈ L_𝐀$ un adèle de $L$ et $x$ une place
+de $K$. Si  $ψ_L(a_𝐀 L_𝐀)=\{1\}$, on a en particulier
+$ψ_{K,x}(\Tr_{L_x \bo K_x}(a_x L_x))=\{1\}$, où
+$a_x=(a_y)_{y↦ x}$. Comme $ψ_{K,x}$ est supposé non trivial
+et que $\Tr_{L_x \bo K_x}(a_xL_x)=K_x$ sauf si $a_x=0$.
+Ceci permet de conclure.
+
+\emph{Surjectivité du morphisme $L_𝐀 → \chap{L_𝐀}$}.}
+Soit $ψ ∈ \chap{L_𝐀}$ et fixons un isomorphisme
+de $K_𝐀$-algèbres $ι:L_𝐀 ⥲ K_𝐀^n$ comme en \ref{adèles et cb}.
+Il résulte de la dualité pour $K_𝐀$ qu'il existe un vecteur
+adélique $v_𝐀 ∈ K_𝐀^n$ tel que $ψ(b_𝐀)=ψ_K(⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩)$ pour chaque $b_𝐀 ∈ L_𝐀$.
+\commentaire{un peu moche...}
+D'après \emph{loc. cit.}, il existe un élément $a_𝐀$
+tel que la forme linéaire $b_𝐀↦ ⟨v_𝐀, ι(b_𝐀)⟩$ soit
+$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$. CQFD.
+
+\emph{Orthogonalité.} Si $ι(a_𝐀)=({a₁}_𝐀,…,{a_n}_𝐀) ∈ K_𝐀^n$,
+$\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}(a_𝐀 L)=∑_i {a_i}_𝐀 K$.
+En conséquence, $ψ_L(a_𝐀 L)=\{1\}$ si et seulement
+on a $ψ_K({a_i}_𝐀 K)=\{1\}$ pour chaque $i$.
+Ceci ne se produit que si chaque ${a_i}_𝐀$ est dans $K$.
+\commentaire{mini-doute}
+L'isomorphisme $ι$ envoyant $L$ sur $K^n$, on a le résultat.
\end{démo}
+Question : si non trivial et trivial sur $K$,
+non trivialité partout n'est-elle pas automatique
+(par approximation) ? \XXX
+
\begin{proposition2}
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$