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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-07-13 12:32:53 +0200 |
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[LG] formule du produit (première démonstration) et un résultat de finitude.
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index e0afb5b..a8bfeb9 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -2730,10 +2730,16 @@ se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité} pour les propriétés topologiques de cette inclusion.) -\subsubsection{}On prendra garde de ne pas confondre +\subsubsection{} +\label{notation KAU} +On prendra garde de ne pas confondre l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$, pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$ des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$. +Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion, +le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ; +il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions. +D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}). %Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps %de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$. @@ -2902,33 +2908,62 @@ un isomorphisme modulo les compacts. \end{démo} \begin{corollaire2} -$K ∩ a^{-1}𝒪$ est fini pour chaque idèle $a$. +\label{finitude K inter O sur a} +Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}. +Pour tout $a ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}. \end{corollaire2} -\begin{proposition2} -\label{densité K dans AKS} -$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX]. -\end{proposition2} +Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est +le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} +𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps +de fonctions. -\begin{théorème2} +\begin{démo} +D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$. +D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie. +\end{démo} + + +\begin{théorème2}[Formule du produit] \label{formule du produit} -Formule du produit. +Soit $K$ un corps global. +Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs +absolues normalisées est égal à $1$. \end{théorème2} -\begin{démo}[Première démonstration] -Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$. +Notons que ce produit est bien défini d'après \ref{normes fonction presque +toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite. + +\begin{démo} +Il résulte du théorème de cocompacité précédent et +de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module quotient}) +que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$. +D'autre part, il résulte immédiatement de la construction +de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite}) +que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$. +Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD. \end{démo} -\begin{démo}[Seconde démonstration] -Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil]. -$|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme -est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est -égal à un par compacité (\ref{définition module et cas -compact ou commutatif}). +\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)] +On commence par vérifier la formule pour les rationnels +et les fractions rationnelles. +Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$ +de sorte que le résultat est évident. +Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles +unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$, +de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P +\deg(P)$. + +Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$. \XXX \end{démo} +\begin{proposition2} +\label{densité K dans AKS} +$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX]. +\end{proposition2} + \subsection{Idèles} \subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$. @@ -3712,8 +3747,9 @@ l'égalité : \] Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement \[ -∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀\big). +∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big), \] +la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}. Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur $\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$. |