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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 10:32:53 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-13 10:32:53 (GMT)
commit729c4b079f0c8715a2e6cba655b6091d1a710090 (patch)
tree2573dfb47e879df8aa5eaf2575098202c03cfdbe /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] formule du produit (première démonstration) et un résultat de finitude.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex70
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index e0afb5b..a8bfeb9 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2730,10 +2730,16 @@ se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
-\subsubsection{}On prendra garde de ne pas confondre
+\subsubsection{}
+\label{notation KAU}
+On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
+Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
+D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
%Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
@@ -2902,33 +2908,62 @@ un isomorphisme modulo les compacts.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
-$K ∩ a^{-1}𝒪$ est fini pour chaque idèle $a$.
+\label{finitude K inter O sur a}
+Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
+Pour tout $a ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
\end{corollaire2}
-\begin{proposition2}
-\label{densité K dans AKS}
-$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
-\end{proposition2}
+Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
+le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
+de fonctions.
-\begin{théorème2}
+\begin{démo}
+D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
+D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
+\end{démo}
+
+
+\begin{théorème2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
-Formule du produit.
+Soit $K$ un corps global.
+Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
+absolues normalisées est égal à $1$.
\end{théorème2}
-\begin{démo}[Première démonstration]
-Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
+Notons que ce produit est bien défini d'après \ref{normes fonction presque
+toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.
+
+\begin{démo}
+Il résulte du théorème de cocompacité précédent et
+de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module quotient})
+que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
+D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
+de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
+que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
+Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
\end{démo}
-\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
-$|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme
-est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est
-égal à un par compacité (\ref{définition module et cas
-compact ou commutatif}).
+\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
+On commence par vérifier la formule pour les rationnels
+et les fractions rationnelles.
+Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$
+de sorte que le résultat est évident.
+Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles
+unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
+de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
+\deg(P)$.
+
+Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$. \XXX
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+\label{densité K dans AKS}
+$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
+\end{proposition2}
+
\subsection{Idèles}
\subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
@@ -3712,8 +3747,9 @@ l'égalité :
\]
Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
\[
-∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀\big).
+∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big),
\]
+la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.