[LG] formule du produit (première démonstration) et un résultat de finitude.

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@@ -2730,10 +2730,16 @@ se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
 avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité}
 pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
 
-\subsubsection{}On prendra garde de ne pas confondre
+\subsubsection{}
+\label{notation KAU}
+On prendra garde de ne pas confondre
 l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
 pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
 des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
+Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
+D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
 
 %Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
 %de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
@@ -2902,33 +2908,62 @@ un isomorphisme modulo les compacts.
 \end{démo}
 
 \begin{corollaire2}
-$K ∩ a^{-1}𝒪$ est fini pour chaque idèle $a$.
+\label{finitude K inter O sur a}
+Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
+Pour tout $a ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
 \end{corollaire2}
 
-\begin{proposition2}
-\label{densité K dans AKS}
-$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
-\end{proposition2}
+Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
+le produit $∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x × ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+𝒪_{K,x}$, le premier facteur n'apparaissant pas lorsque $K$ est un corps
+de fonctions.
 
-\begin{théorème2}
+\begin{démo}
+D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
+D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
+\end{démo}
+
+
+\begin{théorème2}[Formule du produit]
 \label{formule du produit}
-Formule du produit.
+Soit $K$ un corps global.
+Pour tout $a ∈ K^×$, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} |a|_x$ des valeurs
+absolues normalisées est égal à $1$.
 \end{théorème2}
 
-\begin{démo}[Première démonstration]
-Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$.
+Notons que ce produit est bien défini d'après \ref{normes fonction presque
+toutes petites}, et l'observation lui faisant immédiatement suite.
+
+\begin{démo}
+Il résulte du théorème de cocompacité précédent et
+de la formule de multiplicativité des modules (\ref{module quotient})
+que le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$ est égal à $1$.
+D'autre part, il résulte immédiatement de la construction
+de la mesure de Haar adélique (\ref{mesure produit-colimite})
+que $\mod_K([×a])= ∏_x \mod_{K_x}([×a])$.
+Les facteurs sont respectivement égaux à $|a|_x$. CQFD.
 \end{démo}
 
-\begin{démo}[Seconde démonstration]
-Via module et compacité du quotient [Saitô], p.239--240 ou [Weil].
-$|a|=\mod_K([×a])⋅ \mod_{K_𝐀/K}([×a])$. Or le premier terme
-est égal à un car $K$ est \emph{discret} et le second est
-égal à un par compacité (\ref{définition module et cas
-compact ou commutatif}).
+\begin{démo}[Seconde démonstration (esquisse)]
+On commence par vérifier la formule pour les rationnels
+et les fractions rationnelles.
+Si $a = ±∏_p p^{n_p} ∈ 𝐐$, on a $|a|_p=p^{-n_p}$ et $|a|_∞= ∏_p p^{n_p}$
+de sorte que le résultat est évident.
+Si $f = λ ∏_P P^{n_p} ∈ 𝐅_p(t)$, où les $P ∈ 𝐅_p[t]$ sont irréductibles
+unitaires et $λ ∈ 𝐅_p^×$, on a $|f|_P=p^{-n_p \deg(P)}$ et $|f|_{∞}=p^{\deg(f)}$,
+de sorte que le résultat vient de l'égalité tautologique $\deg(f)=∑_P n_P
+\deg(P)$.
+
+Réduction aux cas : $K=𝐐$ et $K=𝐅_p(t)$. \XXX
 \end{démo}
 
 
 
+\begin{proposition2}
+\label{densité K dans AKS}
+$K$ est dense dans $A_{K,S}$ [ou variante \XXX].
+\end{proposition2}
+
 \subsection{Idèles}
 
 \subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
@@ -3712,8 +3747,9 @@ l'égalité :
 \]
 Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
 \[
-∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀\big).
+∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big),
 \]
+la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
 Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
 des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
 $\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.