summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 16:24:36 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 16:24:36 (GMT)
commit72a9bf95957e92236711d5200ac9ea73364b5263 (patch)
treec6b70ced8502f8e9e81a9c65f4e6d6a46d526da9 /chapitres/locaux-globaux.tex
parente90622cf02966ba8df46b8309228a1261bd49816 (diff)
downloadgalois-72a9bf95957e92236711d5200ac9ea73364b5263.zip
galois-72a9bf95957e92236711d5200ac9ea73364b5263.tar.gz
galois-72a9bf95957e92236711d5200ac9ea73364b5263.tar.bz2
[LG, AVD-D] théorème d'approximation pour les Dedekind (énoncé) et application (début)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex36
1 files changed, 27 insertions, 9 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index d78b608..047e05c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2354,9 +2354,11 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
\label{fonctorialité et clôture intégrale}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\begin{enumerate}
-\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal. C'est un anneau de
-Dedekind de corps des fractions $K$ sauf si celui-ci est de
-caractéristique $>0$ et $U=Σ(K)$.
+\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal. À moins
+que $K$ ne soit un corps de fonctions et $U=Σ(K)$,
+c'est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$
+et de spectre maximal naturellement en bijection avec $U$.
+
\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
@@ -2369,7 +2371,9 @@ Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
Questions : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?
-$\Spec(𝒪_K(U′))=\Spec(𝒪_K(U)) - (U ∖ U′)$ ? \XXX
+$\Spec(𝒪_K(U′))=\Spec(𝒪_K(U)) - (U ∖ U′)$ ? Sauf erreur oui d'après
+l'approximation dans les Dedekind.\XXX
+
\begin{démo}
(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
@@ -2401,8 +2405,7 @@ corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre
(i) La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
c'est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
-Si $K$ est un corps de fonctions, le reste de l'énoncé sera
-démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}. Si $K$ est
+Si $K$ est
un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
@@ -2410,7 +2413,23 @@ Il reste à montrer que l'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind.
Il est intégralement clos ; il suffit donc de montrer qu'il est nœthérien
de dimension $1$. Cela résulte du théorème de Krull-Akiduki
(\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
+Si $K$ est un corps de fonctions, le fait que $𝒪_K(U)$ soit
+un anneau de Dedekind sous les hypothèses faites
+est démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}.
% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
+Vérifions maintenant le dernier énoncé. Soit $u ∈ U$.
+L'application naturelle $U → \Specmax(A)$ n'est autre
+que le morphisme envoyant $u$ sur l'image du point fermé
+de $\Spec(K_u^+)$ dans $\Spec(A)$ déduit de l'inclusion
+$A ↪ K_u^+$. C'est un idéal \emph{maximal} car $A/𝔭_u$ s'injecte dans le
+corps fini $K_u^+ / K_u^{++}$.
+\commentaire{J'utilise de nouvelles notations...}
+Rappelons que $\Specmax(A)$ est naturellement en bijection avec un sous-ensemble
+$V$ de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ [détailler  ; cela entraîne injectivité
+de $U → \Specmax$ \XXX] et que $A = ⋂_{v} K_v^+$.
+L'application $U → \Specmax(A)$ est surjective car si $v ∉ U$,
+il existe d'après \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind}
+un élément de $K$ qui est $U$-entier, donc dans $A$, mais pas $v$-entier.
(iii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.
@@ -3384,10 +3403,9 @@ et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
\subsubsection{}
Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
Supposons que $𝒪_K(U)$ soit un anneau de Dedekind de corps
-des fractions $K$. (D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale},
+des fractions $K$. (D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale} (i),
il en est ainsi sauf si $K$ est un corps de fonctions et $U=Σ(K)$.)
-L'application $u ↦ 𝔭_u=(ϖ_u) ⊆ 𝒪_K(U)$, où $ϖ_u$ est une uniformisante
-[existence pas claire à ce stade \XXX], s'étend par linéarité
+L'application $U ⥲ \Specmax(𝒪_K(U))$ (cf. \emph{loc. cit.}), s'étend par linéarité
en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
Dedekind}, quotient du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de $𝒪_K(U)$