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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-10 18:32:33 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-10 18:32:33 +0200
commit72cb993ee3288bb123b52b6cdcf7782827aad805 (patch)
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[LG] sorites sur les コンパクト群を無視すれば同型
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex150
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index 13989bb..2da38d2 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2298,12 +2298,20 @@ quelconque car $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}
+[Supposer aux bons endroits les groupes abéliens \XXX]
+[Vérifier droite/gauche \XXX]
+
\subsubsection{Topologie quotient}
+\label{topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∼$
-rendant la surjection canonique $X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \emph{topologie
+rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \emph{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∼$ est ouvert si et seulement si son image
réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
+On dit que la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée} si $π$ est une application fermée
+ce qui revient ici à dire que le saturé de toute partie fermée est fermé.
+Dans ce cas, pour tout fermé $F$ de $X$, l'application $F/\hspace{-.3em}∼_F → π(F)$ est un
+homéomorphisme, où $∼_F$ désigne la relation d'équivalence induite.
\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe, muni
de la topologie induite.
@@ -2314,6 +2322,14 @@ sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.
+Si $H$ est un sous-groupe \emph{compact} de $G$,
+la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée}.
+En effet, le saturé $HF$ d'un fermé $F$ de $G$
+est l'image du morphisme propre — donc fermé —
+composé de l'isomorphisme $H×G ⥲ H×G$, $(h,g) → hg$, et
+du morphisme propre $\mathrm{pr}₂:H×G → G$, $(h,g)↦ g$.
+
+[définir « propre » ; compact = quasi-compact + séparé \XXX]
\begin{proposition2}
Soit $G$ un groupe topologique.
@@ -2354,15 +2370,9 @@ nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques » une
application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes.
\begin{définition2}
-Soit $f:G₁ → G₂$ un morphisme de groupes topologiques.
-On dit que $f$ est
-\begin{enumerate}
-\item \emph{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G₁/\Ker(f) → \Im(f)$
-associé est un isomorphisme de groupes topologiques ;
-\item un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict
-et si le sous-groupe $\Ker(f)$ de $G₁$ et l'espace topologique quotient $\Coker(f)=G₂/\Im(f)$
-de $G₂$ sont compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés).
-\end{enumerate}
+Soit $f:G → G′$ un morphisme de groupes topologiques.
+On dit que $f$ est \emph{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
+associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\end{définition2}
\begin{remarques2}
@@ -2376,40 +2386,118 @@ même groupe, muni de la topologie discrète.
\end{itemize}
\end{remarques2}
-\subsubsection{}Il résulte immédiatement des définitions
-qu'un morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict si et seulement
-si pour tout sous-groupe ouvert $H₁$ de $G₁$,
-le sous-groupe $f(H₁)$ est ouvert \emph{dans $f(G₁)$}.
-Utilisant par exemple ce critère, on observe que le
-composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
-est également strict lorsque $f$ est surjectif et
-lorsque $g$ est injectif.
-
-\subsubsection{}Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
-En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé, car le singleton l'est,
+\subsubsection{}
+\label{sorites sur stricts}
+Il résulte immédiatement des définitions
+qu'un morphisme $f:G → G′$ est strict si et seulement
+si pour tout sous-groupe ouvert $H$ de $G$,
+le sous-groupe $f(H)$ est ouvert \emph{dans $f(G)$}.
+À l'aide de cette caractérisation, ou bien directement à partir
+de la définition, on vérifie immédiatement les
+faits suivants :
+\begin{enumerate}
+\item le composé $g ∘ f$ de deux morphismes stricts $f$ et $g$
+est également strict lorsque $f$ est surjectif ou lorsque $g$ est injectif ;
+\item si $f:G → G′$ est strict et $H′$ est un sous-groupe de $G′$, la
+« restriction » $f×_{G′} H′ : f^{-1}(H′) → H′$ est également stricte.
+\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
+\end{enumerate}
+
+Vérifions brièvement (ii) et notons $H=f^{-1}(H′)$.
+Si $U$ est un ouvert de $G$ et $V=U∩H$ est un ouvert de $H$, on a $f(U) ∩ f(H) =
+f(V)$ (car $H$ est $f$-saturé) et $f(U)$ est, par hypothèse, ouvert dans $f(G)$.
+Vérifions brièvement (iii). En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé, car le singleton l'est,
donc $G₁/\Ker(f)$ est \emph{séparé}, et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte
de sorte que $\sur{f}$ est une bijection continue entre espaces topologiques
compacts ; c'est un homéomorphisme.
%(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
%est séparé.)
+\subsection{Isomorphismes modulo les compacts}
+
+
+\begin{définition2}
+Un morphisme de groupes topologiques est
+un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
+à noyau compact et à conoyau cocompact.
+\end{définition2}
+
+Rappelons (\ref{module quotient}) que $H ≤ G$ est \emph{cocompact} si $G/H$ est compact.
\begin{proposition2}
-Le fait d'être un isomorphisme modulo les compacts est stable par composition
-et restriction à un sous-groupe fermé.
+La restriction d'un isomorphisme modulo les compacts à un sous-groupe
+\emph{fermé} du but est également un isomorphisme modulo les compacts.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
-Le morphisme $G₀ → \Im(f)$ déduit de $f$ est strict et surjectif.
-Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
-donc de vérifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ déduit de $G$
-est également strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
-[...]
-Lemme : si $H ≤ G$ cocompact, $K ≤ G$ compact, alors $H → G/K$ est strict
-(et isom. modulo compacts).
+Notons $f:G → G′$ le morphisme, $H′$ le sous-groupe fermé de $G′$
+et $H=f^{-1}(H′)$ son image inverse, qui est un fermé de $G$.
+Le noyau de $f×_{G′} H′$ est $H ∩ \Ker(f)$ ; c'est
+un compact. Le morphisme $H′ ↪ G ′$ induit une injection
+continue $\Coker(f×_{G′} H′) ↪ \Coker(f)$ dont l'image coïncide
+avec celle de $H′$ dans $\Coker(f)$. Elle donc fermée et
+par conséquent compacte car $\Coker(f)$ l'est.
\end{démo}
+\begin{proposition2}
+Le composé de deux isomorphismes modulo les compacts est
+un isomorphisme modulo les compacts.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Vérifions que le composé de deux isomorphismes
+modulo les compacts est un morphisme strict.
+En particulier, si $H$ est un sous-groupe cocompact d'un groupe topologique $G$
+et $K$ un compact de $G$, alors $f:H → G/K$ — composé de
+$H ↪ G$ avec $G ↠ G/K$ — est strict :
+le morphisme $H/(H ∩ K) → HK/K$ est un isomorphisme.
+On a vu ci-dessus que la relation d'équivalence
+$x^{-1}y ∈ K$ est \emph{fermée} ; d'autre part,
+le sous-groupe $H$ est fermé car le quotient $G/H$ est séparé.
+Ceci suffit pour conclure (cf \ref{topologie quotient}).
+Le cas d'un composé général se ramène à ce cas particulier
+par un dévissage élémentaire s'appuyant sur \ref{sorites sur stricts} (i).
+%Soit $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux tels morphismes.
+%Le morphisme $G₀ → \Im(f)$ déduit de $f$ est strict et surjectif.
+%Pour montrer que $g ∘ f$ est strict, il suffit
+%donc de vérifier que le morphisme $\Im(f) → G₂$ déduit de $G$
+%est également strict, ou encore que $\Im(f) → G₁/\Ker(g)$ l'est.
+Soient $f:G₀ → G₁$ et $g:G₁ → G₂$ deux isomorphismes
+modulo les compacts. Montrons que $\Ker(g ∘ f)=f^{-1}(\Ker(g)$
+est compact. Il suffit de montrer que si $φ:G → G′$ est un
+isomorphisme modulo les compacts et $K′$ un compact de $G′$,
+$φ^{-1}(K′)$ est également compact. D'après la proposition
+précédente, on peut supposer $K′=G′$ auquel cas la
+compacité résulte du lemme ci-dessous.
+Enfin, le conoyau de $g ∘ f$ est extension du conoyau compact de $g$
+par $\Im(g)/g(\Im(f)$, compact car quotient (via $g)$ du conoyau de $f$.
+%Le noyau de $f$ est $H ∩ K$ est compact : c'est un fermé
+%du compact $K$. Enfin, le conoyau $(G/K)/(HK/K)$ est canoniquement
+%isomorphe à $G/HK$, qui est un quotient du groupe compact $G/H$ ;
+%il est donc compact.
+\end{démo}
+
+\begin{lemme2}
+Soient $G$ un groupe topologique et $K$ un sous-groupe compact
+et cocompact. Alors $G$ est compact.
+\end{lemme2}
+
+\begin{démo}
+Soit $ℱ$ une collection de fermés de $G$ telle
+que toute intersection \emph{finie} d'éléments de $ℱ$ soit
+non vide. On veut montrer que $⋂_{F ∈ ℱ} F ≠ ∅$.
+Soit $π:G → G/K$ la surjection canonique ; elle est fermée par compacité
+de $K$. Ainsi, $π(ℱ)=\{π(F)\}$ est une collection de fermés du quotient ;
+elle satisfaisait également la propriété de l'intersection finie. Par compacité
+de $G/K$, on a donc $⋂_F π(F) ≠ ∅$ et, \emph{a fortiori},
+$⋂_F F ≠ ∅$.
+\end{démo}
+
+% Références :
+% The three space problem in topological groups
+% uniform structures on topological groups and their quotients
+% Hewitt et Ross
+
\begin{propo