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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 14:20:09 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 14:20:09 (GMT)
commit73338f20ed08800ccd3869a2b6cae7d6a8ae83c4 (patch)
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[LG] formule générale de Poisson-Riemann-Roch : fin de la démonstration
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex91
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index 87a3ab1..a870a9b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4040,71 +4040,78 @@ sur tout compact de $𝐑^N$. La définition \ref{BS-local}
nous ramène à la convergence de la série $∑_{k ∈ 𝐙^N} \frac{1}{1+|k|^{s}}$ un
$s$ suffisamment grand ; chaque $s>N$ convient.
-\subsubsection{Démonstration du (iii) : suite et fin}
+\subsubsection{Formule de Poisson : démonstration}
Notons $G$ le groupe localement compact $K_𝐀$, $Γ$ son sous-groupe discret cocompact $K$
et $X$ le groupe abélien compact $G ∕ Γ$. Munissons $G$ d'une mesure
-de Haar et $X$ de la mesure quotient $\dot{μ}$ associée (\ref{mesure quotient}, \ref{domaine fondamental}).
-Soient $f$ comme dans l'énoncé et $F : X → 𝐂$ la fonction continue
-déduite de
+de Haar $μ_G$ et $X$ de la mesure quotient $μ_X$ associée (\ref{module et mesure quotients}).
+Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et considérons sa périodisée $F : X → 𝐂$, déduite de la
+fonction (continue)
\[
-g↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
+g ∈ G ↦ ∑_{γ ∈ Γ} f(g + γ)
\]
-par passage au quotient. Posons $v_μ=\dot{μ}(X)$
-Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée (\ref{} \XXX)
-de l'espace de Hilbert $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+par passage au quotient $G ↠ X=G ∕ Γ$. Notons $v_μ$ le volume $μ_{X}(X)$
+de $X$ et $μ′_X=v_μ^{-1} μ_X$ la mesure de probabilité sur $X$ déduite de $μ_X$.
+Les caractères continus de $X$ constituent une famille orthonormée
+de l'espace de Hilbert $L²(X,μ′_X)$ (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii), démonstration).
Il résulte d'autre part de \ref{caractères séparent les points} et du
théorème de densité de Stone-Weierstraß (\BourbakiTG{X.§4, th. 3})
-que toute fonction de $𝒞(X,𝐂)$ peut être uniformément approchée
-par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$ :
-la famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
-\emph{base hilbertienne} de $L²(X,v_μ^{-1}\dot{μ})$.
+que toute fonction continue sur $X$ à valeurs complexes peut être uniformément approchée
+par des combinaisons linéaires de caractères (continus) de $X$.
+La famille des caractères (continus) de $X$ est donc une
+\emph{base hilbertienne} de $L²(X,μ′_X)$.
On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
-où $(c_∙(F)) ∈ ℓ²(\chap{X})$.
-Nous allons montrer que cette famille de coefficients appartient
+où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\{\chap{x}\}$ de $X$
+(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)$
+appartient à $ℓ²(\chap{X})$.
+Nous allons montrer que cette famille appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
-est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
-et, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
+de $F$ est également valable dans l'espace de Banach $𝒞(X,𝐂)$
+et que l'on a, en évaluant en l'identité $0$ de $X$,
+l'égalité
\[
-∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F).
+∑_{γ ∈ Γ} f(γ)=F(0)=∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F),
\]
-Calculons.
+qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près).
+Calculons :
\[
-c_{\chap{x}}(F)
-=v_μ ^{-1} ∫_X F(\dot{g}) \sur{\chap{x}(\dot{g})} d \dot{μ}(\dot{g})
-=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ(g)
-=v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
+c_{\chap{x}}(F) := ⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}
+=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x)
+=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g)
+=:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
-où la dernière égalité est une définition du terme de droite.
-
-Considérons maintenant le cas où $μ=μ_ψ$ et reprenons les notations de l'énoncé.
-Rappelons que d'après \ref{dual des classes de adèles},
+où l'avant-dernière égalité est conséquence
+de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage
+sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite.
+Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée
+à un caractère non trivial $ψ$. D'après d'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
-un unique $λ ∈ K$. Par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
-\[
-ℱ_μ(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)
-\]
-Comme on l'a vu \emph{loc. cit.}, $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
-de sorte que, d'après \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
-$λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
+un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
+$ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$.
+Comme on l'a vu précédemment (\ref{définition Fourier adélique} et
+\ref{lemme de convergence normale sur compacts}), $ℱ_ψ(f) ∈ 𝒮(K_𝐀)$
+et $λ↦ ℱ_ψ(f)(λ)$ appartient à $ℓ¹(K)$.
On a donc montré l'égalité
\[
-∑_λ f(λ) = v_μ ^{-1} ℱ_ψ(f)(λ)
+∑_{λ ∈ K} f(λ) =c ⋅ ∑_{λ ∈ K} ℱ_ψ(f)(λ)
\]
-pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$.
+pour chaque fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$, où $c$ %=v_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ} ^{-1}$
+est une constante positive.
Il résulte immédiatement de la formule d'inversion (ii)
-et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $v_μ ^{-2} =1$ d'où $v_μ=1$
-car $v_μ$ est positif. Ceci démontre la formule de Poisson et (i).
-
-(iv) Résulte immédiatement de (iii) et des formules
-$ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
+et de l'égalité $-K=K$ dans $K_𝐀$ que l'on a $c²=1$, d'où $c=1$.
+CQFD.
+\subsubsection{Formule de Poisson-Riemann-Roch}
+La formule (iv) résulte de la formule de Poisson que l'on vient
+d'établir, appliquée à la fonction $[×ι]^*f$,
+et de l'égalité $ℱ_ψ([×ι]^*f)=|ι|^{-1}[× ι^{-1}]^* ℱ_ψ(f)$,
+elle-même conséquence immédiate de \ref{Fourier et mesure locaux}, (iii.a).
\begin{remarque2}
-Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
-\XXX
+Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II} ; cf.
+notes à la fin. \XXX
\end{remarque2}
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}