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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-23 15:45:39 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-23 15:45:39 +0100
commit745c6102c97d7898b53ba3846622521105a9152e (patch)
treed47b9f96a3e8f2298ab18c4b51ddc7a48c781161 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] finitude sur k : plus compliqué qu'annoncé...
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex60
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index eefb5c6..780a82c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2234,7 +2234,7 @@ l'anneau $𝒪_L(V)$ en est la clôture intégrale dans $L$.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-On montrera plus tard que l'anneau $𝒪_K(U)$
+On montrera plus tard (\ref{RR implique Dedekind}) que l'anneau $𝒪_K(U)$
est, sauf exception, un anneau de Dedekind de corps
des fractions $K$.
@@ -2254,9 +2254,7 @@ de l'exposant caractéristique de $K$ (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et con
Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $β ↦ |g(β)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
-et, finalement, $B=B′$.
-
-La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
+et, finalement, $B=B′$. La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
$A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
\end{démo}
@@ -3159,7 +3157,7 @@ Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \BourbakiTS{chap. II}.
\XXX
\end{remarque2}
-\subsection{Le théorème de Riemann-Roch pour les corps de fonctions algébriques}
+\subsection{Le théorème de Riemann-Roch}
\subsubsection{}
\label{définition classe canonique}
@@ -3257,46 +3255,44 @@ $g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
\end{corollaire2}
+\subsection{❡ Corps de fonctions et courbes algébriques}
+
+ Commençons par la conséquence suivante du théorème
+de Riemann-Roch.
+
\begin{proposition2}
+\label{RR implique Dedekind}
Soient $K$ un corps de fonctions et $U$ un ouvert dense.
Alors $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$
-sauf si $K$ est un corps de fonctions et $U=Σ(K)$,
-auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
-Dans tous les cas, c'est une algèbre de type fini sur $k$.
+sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Commençons par traiter l'exception.
Soit $K₀$ un sous-corps global premier de $K$.
-Il résulte de \ref{fonctorialité et clôture intégrale} que $𝒪_K(Σ(K))$ est la clôture
-intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ(K₀))$ dans $K$. On a vu
+Notons $Σ$ (resp. $Σ₀$) l'ensemble $Σ(K)$ (resp. $Σ(K₀)$)
+des places de $K$ (resp. $K₀$).
+Il résulte de \ref{fonctorialité et clôture intégrale} que $𝒪_K(Σ)$ est la clôture
+intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀)$ dans $K$. On a vu
en \ref{sections globales droite projective}
-que $𝒪_{K₀}(Σ(K₀))=𝐅_p$ ; ceci suffit pour conclure.
-Supposons donc maintenant qu'il existe une place $∞ ∈ Σ(K) - U$.
+que $𝒪_{K₀}(Σ₀)=𝐅_p$ ; ceci suffit pour conclure
+dans le cas $U=Σ$.
+Supposons donc maintenant qu'il existe une place $∞ ∈ Σ - U$.
Il résulte du théorème de Riemann-Roch qu'il existe une fonction
non constante $φ ∈ K$ ayant un pôle uniquement en $∞$.
-Soit $K₀=𝐅_p(φ)$ le sous-corps de $K$, purement transcendant
-sur $𝐅_p$, engendré par $φ$. L'extension
-$K \bo K₀$ est finie et, par construction,
-$U$ s'envoie par $π: Σ=Σ(K) → Σ₀=Σ(K₀)$
-sur les places « finies » de $K₀$.
+On peut supposer que $K₀$ est le sous-corps $𝐅_p(φ)$ de $K$
+engendré par $φ$. L'extension $K \bo K₀$ est finie et, par construction,
+$U$ s'envoie par $π: Σ → Σ₀$ sur les places « finies » de $K₀$.
L'anneau $B=𝒪_K(U)$ contient $A=𝒪_K(Σ-∞)$ qui est,
d'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale}
la clôture intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀-∞)$.
-Cet anneau est $𝐅_p[φ]$, de corps des fractions $K₀$.
+Ce dernier est l'anneau $𝐅_p[φ]$, de corps des fractions $K₀$.
Il en résulte (\refext{AC}{}) % commutation normalisation à localisation
que le corps des fractions de $𝒪_K(Σ-∞)$ — et \emph{a fortiori} celui de $𝒪_K(U)$ —
est $K$.
-Il résulte du théorème de Krull-\jap{秋月} (\refext{AVD-D}{Krull-Akizuki})
+Il résulte d'autre part du théorème de Krull-\jap{秋月} (\refext{AVD-D}{Krull-Akizuki})
que l'anneau $B$ est nœthérien, de dimension $1$.
-On sait d'autre part qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de
+On sait de plus qu'il est normal (cf. \ref{}) ; c'est donc un anneau de
Dedekind.
-Pour montrer qu'il est de type fini sur $k$, on peut rétrécir $U$ (ce
-qui agrandit $𝒪_K(U)$) et le supposer saturé relativement au sous-corps
-global premier $K₀$. Quitte à changer $K₀$, c'est-à-dire $φ$,
-on peut supposer $K \bo K₀$ séparable. Comme observé en \ref{normalisé dans étale donc fini},
-l'anneau $𝒪_K(U)$ est alors fini (comme module) sur $𝒪_{K₀}(U₀)$. D'après \ref{exemples U-entiers}, ce dernier
-est une $k$-algèbre de type fini. CQFD.
\end{démo}
\begin{remarque2}
@@ -3308,7 +3304,15 @@ sur $𝐅_p$.
\XXX
\end{remarque2}
-\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
+\begin{proposition2}
+Soit $K$ un corps de fonctions de corps des constantes $k$,
+et soit $U$ un ouvert dense.
+L'anneau de Dedekind $𝒪_K(U)$ est une $k$-algèbre de type fini.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+
+\end{démo}
\begin{proposition2}
Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme