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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-18 16:18:44 (GMT)
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@@ -217,11 +217,11 @@ bien sûr avec $μ^*$.
\label{Radon produit}
\paragraph{Produit fini}Soient $X$ et $Y$ deux espaces topologiques localement compacts
munis de mesures de Radon $μ_X$ et $μ_Y$.
-On vérifie sans difficulté (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊗ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
-de la forme $f ⊗ g:(x,y)↦ f(x)g(y)$ est dense
+On vérifie sans difficulté (\BourbakiINT{III.§4.1}) que le sous-espace $𝒞_c(X,𝐂) ⊠ 𝒞_c(Y,𝐂)$ des fonctions
+de la forme $f ⊠ g:(x,y)↦ f(x)g(y)$ est dense
dans $𝒞_c(X×Y,𝐂)$ et que la forme linéaire
-$f ⊗ g↦ μ_X(f)μ_Y(g)$ s'étend en une mesure de Radon,
-notée $μ_X ⊗ μ_Y$ sur $X×Y$. Plus généralement,
+$f ⊠ g↦ μ_X(f)μ_Y(g)$ s'étend en une mesure de Radon,
+notée $μ_X ⊠ μ_Y$ sur $X×Y$. Plus généralement,
on définit le produit d'un nombre fini de mesures de Radon.
\paragraph{Produit infini de compacts}
@@ -242,7 +242,7 @@ On vérifie par réduction au cas où $μ_s(𝟭_{X_s})=1$
(cf. \BourbakiINT{III.§4.6}) qu'il existe une unique mesure de
Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
\[
-μ(f_S ⊠ 𝟭)=(⨂_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
+μ(f_S ⊠ 𝟭)=(\bigboxtimes_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
\]
@@ -2718,11 +2718,22 @@ Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ(K)$
l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
-le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ relativement
-aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relativement
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\emph{anneau des adèles sur $K$}.
+Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
+pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
+
+\subsubsection{}
+\label{définition adèles ultramétriques}
+On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
+corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
+∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \emph{adèles ultramétriques}
+ou \emph{finis} (resp. \emph{archimédiens} ou \emph{infinis}).
+
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
@@ -2743,7 +2754,7 @@ l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
-le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \emph{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
@@ -2760,12 +2771,13 @@ La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit res
(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.
\begin{proposition2}
-Pour tout $a=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
-$[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a|=∏_{s
+Pour tout $a_𝐀=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
+$[×a_𝐀]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a_𝐀|=∏_{s
∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}
%Saïtô p. 239.
+[Détailler convergence] \XXX
\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
@@ -2777,8 +2789,8 @@ isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
-$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$
-pour un unique $a ∈ L_𝐀$.
+$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a_𝐀]$
+pour un unique $a_𝐀 ∈ L_𝐀$.
\end{théorème2}
Notons que la trace considérée est bien définie car
@@ -2916,7 +2928,7 @@ un isomorphisme modulo les compacts.
\begin{corollaire2}
\label{finitude K inter O sur a}
Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
-Pour tout $a ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
+Pour tout $a_𝐀 ∈ K_𝐀^×$, l'ensemble $K ∩ a_𝐀^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ est \emph{fini}.
\end{corollaire2}
Rappelons (\ref{notation KAU}) que $𝒪_{K_𝐀}$ est
@@ -3223,89 +3235,120 @@ et
\end{théorème2}
\begin{démo}
-Énoncé dans Weil 2.
+Énoncé dans Weil 2, §1.3.1.
\end{démo}
\begin{corollaire2}
$\Pic⁰_K$ est fini.
\end{corollaire2}
+\begin{remarque2}
+On a une classification des fibrés de rang $n$ comme
+un double quotient $\GL_n(K) ∖ \GL_n(K_𝐀) ∕ \GL_n(𝒪_{K_𝐀})$.
+\end{remarque2}
+
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
\subsection{Transformation de Fourier}
-\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
+\subsubsection{}
+\label{produit externe restreint}
+À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
+que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
+$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
+produit externe restreint
+\[
+\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x : K_𝐀 → 𝐂, (a_x)↦ ∏_x f_x(a_x).
+\]
+C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
+$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produit
+externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
+les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
+ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de distinguer les parties
+archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}$, produit externe fini $\bigboxtimes_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x
+: K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$,
+et ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, produit externe restreint
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x :
+K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
+Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
+
+\begin{définition2}[Espace de Bruhat-Schwartz adélique]
+\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
-On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires de produits
-externes restreints $f=⊠′_{x ∈ Σ(K)} f_x$, où chaque
-fonction $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
-du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}) % mettre des \bigboxtimes
-et pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$,
-$f_x=𝟭_{𝒪_x}$\footnote{D'après Kudla, « Tate's thesis »
-p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
-\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
-L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
-des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
-p. 178 et p. 189. \XXX}
-On écrit aussi $f=(f_x)_{x ∈ Σ(K)}$.
-Pour $f$ comme ci-dessus, on définit les fonctions
-\[
-f^{\mathrm{arch}} = ⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} K_x → 𝐂
-\]
-et
-\[
-f^{\mathrm{ultr}} = ⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x : ∏'_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} K_x → 𝐂,
-\]
-où $∏′$ désigne le produit tensoriel restreint relativement
-aux sous-anneaux compacts $𝒪_x$, $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-Cette dernière envoie une famille $(a_x)$ sur le produit $∏_x f_x(a_x)$.
-Par construction, on a $f=f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$.
-La fonction $f^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
-$⊠′_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_x}$ où $(a_x) ∈ 𝐀^{\mathrm{ultr}}_K$
+On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
+complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
+où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
+du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
+presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+\end{définition2}
+% cf. Kudla, « Tate's thesis »
+%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
+%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
+%L'inclusion stricte ne pouvant se produire que pour
+%des corps de nombres différents de $𝐐$, cf. Weil, [1964b]
+%p. 178 et p. 189. \XXX
+Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de fonctions
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
+𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
-D'après \ref{densité K dans AKS}, il existe $a ∈ K$
-tel que $a-a_x ∈ 𝒪_x$ pour chaque $x ∈ Σ(K)$.
+
+\begin{remarque2}
+Nous verrons ci-après (\ref{densité K dans AKS})
+\commentaire{cercle vicieux ?}
+qu'il existe $a ∈ K$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
-est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
+\end{remarque2}
-\subsubsection{Caractères additifs $𝐀_{𝐐}$}
-Reprenons les notations de la proposition \ref{caractère corps local}.
-Le produit externe restreint
-\[
-ψ_{𝐐}=⊠′_{p ∈ Σ(𝐐)} 𝐞_{p}
-\]
-\[
-a=(a_p)↦ ∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{x_p\}_p -x_∞)
-\]
-est bien défini — car $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$, de sorte que pour chaque
-adèle $a$ le produit ci-dessus est à support fini — et induit
-un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
+\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
+\label{caractères additifs QA}
+Notons $ψ_𝐐$ le produit externe restreint des caractères $𝐞_{p}$
+définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant
+la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
+Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
+sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
+-x_∞)$, où $𝐞(x)=\exp(2iπx)$.
+C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
+Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive
+évidente du morphisme $𝐐_𝐀 ↠ 𝐐_p$ : $a_p^𝐀=(a_ℓ)_{ℓ ∈ Σ(𝐐)} ∈ 𝐐_𝐀$, où $a_ℓ$
+vaut $0$ si $ℓ ≠ p$ et $a_p$ sinon ; par construction, $(a_p b_p)^𝐀=a_p^𝐀
+b_p^𝐀$ et $ψ_𝐐(a_p^𝐀)=𝐞_p(a_p)$.
+
+Montrons que le morphisme $a_𝐀↦ [×a_𝐀]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$
+est un \emph{isomorphisme}, où $\chap{𝐐_𝐀}$ désigne le groupe
+additif des caractères \emph{continus} de $𝐐_𝐀$
+à valeurs dans $𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
+L'injectivité de $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$ résulte de \ref{dual corps local}
+et de l'égalité $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐(a_𝐀 b_p^𝐀)$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$
+et tout $b_p ∈ 𝐐_p$. Pour démontrer la surjectivité,
+il suffit d'après \emph{loc. cit.} de vérifier que tout
+caractère $ψ ∈ \chap{𝐐_𝐀}$ est un produit restreint
+de caractères $ψ_p$, triviaux sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$.
+Or, $ψ$ induit un caractère \emph{continu} $Ψ$ du produit
+$G=∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$, c'est-à-dire du complété
+profini $\lim_n 𝐙/n$ de $𝐙$.
+C'est un groupe \emph{profini} (cf. \refext{Krull}{}).
+\commentaire{déplacer dans [Krull] ?}
+(Le groupe $G$ est habituellement noté $\chap{𝐙}$.) Soit $V ⊆ 𝐔$
+un voisinage ouvert de $1$ ne contenant pas de sous-groupe non trivial,
+par exemple $V=\{z ∈ 𝐂: |z-1|<1\} ∩ 𝐔$.
+Alors $Ψ^{-1}(V)$ est ouvert, contient un \emph{sous-groupe} ouvert compact $C=nG$ de $G$
+— car ceux-ci forment une base de la topologie de $G$ —
+et $\Ker(Ψ) ⊆ C$. Le caractère $Ψ$ est donc trivial sur les $𝐙_p$
+pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. Ceci achève la démonstration
+du caractère isomorphique de $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$.
+
+Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
+un élément $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
+$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, c'est-à-dire si et seulement si la
+restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
+Si $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b_𝐀 𝐐)=\{1\}\}$,
+[...]
-Le morphisme $a↦ [×a]^*ψ_𝐐$, $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$
-est un \emph{isomorphisme} et $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
-un élément $a$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
-$ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b∈𝐐$, c'est-à-dire si et seulement si la
-restriction de $[×a]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
-
-En effet, on a :
-
-— injectivité car si $ψ_𝐐(ab)=1$ pour tout $b
-∈ 𝐐_𝐀$, on a $𝐞_p(a_p b_p)=ψ_𝐐((…,0,a_p b_p,0,…))=1$ pour tout $p ∈ Σ(𝐐)$, tout $b_p ∈ 𝐐_p$
-et, d'après \ref{dual corps local}, ceci entraîne $a_p=0$ ;
-
-— surjectivité car tout caractère est de la forme
-$⊠′ ψ_p$, où $ψ_p$ est la restriction de $ψ$ au facteur
-$𝐐_p$, trivial sur $𝐙_p$ pour presque tout $p$\footnote{C'est un
-fait général : tout caractère (continu) d'un produit
-de groupes compacts est trivial sur presque tous les
-facteurs. \XXX}, et chaque $ψ_p$ est, d'après \emph{loc. cit.},
-de la forme $[× a_p]^* e_p$ ;
-
-— si $a ∈ 𝐐^⊥ =\{b ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b 𝐐)=\{1\}\}$,
on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
(\ref{cocompacité}). Naturellement,
@@ -3321,6 +3364,13 @@ car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.
+
+\begin{remarque2}
+On peut montrer que tout caractère continu d'un produit
+de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
+\end{remarque2}
+
+
\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_𝐤$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
@@ -3808,7 +3858,8 @@ notera $𝔠$.
\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
Considérons la fonction caractéristique $\mathbf{1}=⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$
-(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_𝐀=∏_x 𝒪_x$ de $K_𝐀$.
+(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}=∏_x
+𝒪_x$ des adèles entiers de $K_𝐀$.
Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
@@ -3821,7 +3872,7 @@ Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big),
\]
la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
-Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_𝐀$ n'est autre que l'ensemble
+Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble
des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
(Noter le signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$