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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-06 16:31:18 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-06 16:31:18 (GMT)
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[LG] groupes de Picard, finitude (méthode adélique)
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@@ -128,7 +128,7 @@ ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son
sous-anneau compact maximal, appelé \textbf{anneau des
entiers}, $𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
et enfin $q$ le cardinal de $k$. L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
-On appelle \emph{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
+On appelle \textbf{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
@@ -252,7 +252,7 @@ Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
-où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
+où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
@@ -269,7 +269,7 @@ la mesure d'un tel ensemble. On dit qu'un sous-ensemble $E$
de $X$ est \textbf{mesurable} (sous-entendu : relativement à $μ$) si pour tout compact $C$ de $X$,
l'intersection $E ∩ C$ est intégrable.
-\subsubsection{}Considérons maintenant un \emph{groupe topologique} $G$,
+\subsubsection{}Considérons maintenant un \textbf{groupe topologique} $G$,
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
@@ -466,7 +466,7 @@ $ν(ψ)$ arbitrairement proche de $1$. Nécessairement, $μ(φ)=ν(φ)$ ; CQFD
Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_G f ∘ φ^{-1}   d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
-réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
+réel $\mod(φ)>0$, appelé \textbf{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$ ; il
ne dépend pas du choix de $μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module
@@ -498,7 +498,7 @@ compact. CQFD.
\label{module quotient}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
-\emph{cocompact} dans $G$.
+\textbf{cocompact} dans $G$.
Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
@@ -539,7 +539,7 @@ soit satisfaite.
\subsubsection{Domaine fondamental}
\label{domaine fondamental}
Une autre approche pour intégrer sur le quotient
-consister à définir un \emph{domaine fondamental}
+consister à définir un \textbf{domaine fondamental}
dans $G$ et intégrer dessus.
Esquissons une construction en conservant les notations du paragraphe précédent.
Soit $U$ un voisinage ouvert de l'identité tel
@@ -917,7 +917,7 @@ voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.
\subsection{Caractères additifs d'un corps local}
\begin{définition2}
-On appelle \emph{caractère additif} d'un corps local $K$
+On appelle \textbf{caractère additif} d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}
@@ -930,7 +930,7 @@ corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
\label{niveau caractère}
Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
+On appelle \textbf{niveau} \index{niveau} de $ψ$, noté $n(ψ)$, le plus grand
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=\{1\}$ si $ψ$ est non trivial
et $+∞$ sinon.
\end{définition2}
@@ -1092,8 +1092,8 @@ dérivées partielles $g$ soit à décroissante rapide : pour tout $n ∈ 𝐍
la fonction $x ↦ |x|^n g(x)$ est bornée.
Lorsque $K$ est ultramétrique, on
pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
-constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
-de \emph{Bruhat-Schwartz}.
+constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \textbf{espace de Schwartz} ou
+de \textbf{Bruhat-Schwartz}.
\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
@@ -1146,7 +1146,7 @@ où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
+\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \textbf{auto-duale}
(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{-n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
@@ -1276,10 +1276,10 @@ ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $𝒰$
\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
-On appelle \emph{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
+On appelle \textbf{quasi-caractère} (resp. caractère) multiplicatif d'un corps local $K$
tout morphisme continu de groupes $ χ : K^× → 𝐂^×$ (resp. $χ: K^× →
-𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \emph{non
-ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
+𝐔=\{z ∈ 𝐂^×: |z|=1\}$). Un quasi-caractère est dit \textbf{non
+ramifié} ou \textbf{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
compact $𝒰=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}
@@ -1291,13 +1291,13 @@ Supposons $K$ ultramétrique. Les sous-groupes $1+𝔪^n$ de $𝒰$ forment u
de voisinages (compacts ouverts) de l'unité.
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
-On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+On appelle \textbf{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention d'écriture que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
-aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
+aussi $𝔣_χ$ l'\textbf{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.
\subsubsection{}
@@ -1361,7 +1361,7 @@ $t↦ t^s$, où $s ∈ 𝐂$ est bien défini modulo $2 π i / \log(r)$.
\begin{définition2}
\label{partie réelle quasi-caractère local}
Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
-local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
+local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \textbf{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}
@@ -1412,7 +1412,7 @@ et poser
\]
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
-commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
+commun, on définit la \textbf{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
@@ -1963,7 +1963,7 @@ le quotient $ζ_ψ(f,χ)/L(χ)$.
\subsubsection{}
\label{définition facteur epsilon local}
D'après \ref{prolongement méromorphe et équation
-fonctionnelle cas local}, il existe un « \emph{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
+fonctionnelle cas local}, il existe un « \textbf{facteur epsilon} »\index{facteur epsilon},
indépendant de $f$, tel que l'on ait :
\[
ε_ψ(χ)×\frac{ζ_ψ(f,χ)}{L(χ)}=\frac{ζ_ψ(ℱ_ψ(f),\chap{χ})}{L(\chap{χ})}.
@@ -2038,7 +2038,7 @@ Finalement,
\[
ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
\]
-où la constante multiplicative est la \emph{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
+où la constante multiplicative est la \textbf{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
@@ -2123,7 +2123,7 @@ Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert den
(Insistons sur le fait que l'on ne topologise pas $K$ et qu'il s'agit d'une convention de langage.)
% choix terminologique discutable \XXX
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
-l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \emph{anneau des entiers} de $K$.
+l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \textbf{anneau des entiers} de $K$.
\subsubsection{}
\label{notation OLU}
@@ -2368,7 +2368,8 @@ $𝒪_L(U)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
-Question : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ? \XXX
+Questions : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ?
+$\Spec(𝒪_K(U′))=\Spec(𝒪_K(U)) - (U ∖ U′)$ ? \XXX
\begin{démo}
(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
@@ -2431,7 +2432,7 @@ de $𝒪_K(U)∖ \{0\}$. Quitte à rétrécir encore $U$, on peut supposer que
\label{topologie quotient}
Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient ensembliste $X /\hspace{-.3em}∼$
-rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \emph{topologie
+rendant la surjection canonique $π:X ↠ X/\hspace{-.3em}∼$ est appelée \textbf{topologie
quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/\hspace{-.3em}∼$ est ouvert si et seulement si son image
réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
On dit que la relation d'équivalence $∼$ est \emph{fermée} si $π$ est une application fermée
@@ -2449,7 +2450,7 @@ Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.
-\subsubsection{}Un morphisme \emph{propre} est, par définition,
+\subsubsection{}Un morphisme \textbf{propre} est, par définition,
un morphisme $f:X → Y$ d'espaces topologiques
« universellement fermé » au sens suivant : pour tout
espace topologique $Z$, le morphisme $f× \Id_Z: X × Z → Y × Z$ est fermé
@@ -2509,7 +2510,7 @@ application \emph{continue} $f:G₁ → G₂$ respectant la structure de groupes
\begin{définition2}
Soit $f:G → G′$ un morphisme de groupes topologiques.
-On dit que $f$ est \emph{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
+On dit que $f$ est \textbf{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G/\Ker(f) → \Im(f)$
associé est un isomorphisme de groupes topologiques.
\end{définition2}
@@ -2555,7 +2556,7 @@ compacts ; c'est un homéomorphisme.
\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est
-un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
+un \textbf{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
à noyau compact et à conoyau cocompact.
\end{définition2}
@@ -2752,7 +2753,7 @@ le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ(K)$, relat
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
-\emph{anneau des adèles sur $K$}.
+\textbf{anneau des adèles sur $K$}.
Un élément de $K_𝐀$ est souvent noté $a=(a_x)$, ou parfois $a_𝐀$
pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
@@ -2761,8 +2762,8 @@ pour éviter toute confusion avec un élément de $K$.
On note aussi $K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ (resp. $K_𝐀^{\mathrm{arch}}$) le produit restreint des
corps locaux $K_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, relativement
aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
-∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \emph{adèles ultramétriques}
-ou \emph{finis} (resp. \emph{archimédiens} ou \emph{infinis}).
+∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \textbf{adèles ultramétriques}
+ou \textbf{finis} (resp. \textbf{archimédiens} ou \textbf{infinis}).
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
@@ -2773,7 +2774,7 @@ Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à travers l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
avec son image dans les adèles sur $K$, constituée des
-\emph{adèles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
+\textbf{adèles principaux}. (Voir \ref{cocompacité}
pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\subsubsection{}
@@ -2783,7 +2784,7 @@ l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
Lorsque cela ne semble pas prêter à confusion,
-le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \emph{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
+le sous-anneau $K_𝐀(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$ des \textbf{adèles entiers} de $K_𝐀$ est parfois noté $𝒪_{K_𝐀}$ ;
il est \emph{compact} lorsque $K$ est un corps de fonctions.
D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =𝒪_K$ (\ref{U-entiers}).
@@ -3021,7 +3022,7 @@ le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
-\emph{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
+\textbf{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
@@ -3115,8 +3116,8 @@ Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
avec son image dans les idèles sur $K$, constituée des
-\emph{idèles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
-quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \emph{classes d'idèles} et
+\textbf{idèles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
+quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \textbf{classes d'idèles} et
$C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀 /K^×$ son sous-groupe des classes
d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
\emph{pas} compact. Cependant on a le résultat suivant.
@@ -3292,61 +3293,137 @@ le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.
\subsection{Groupes de Picard}
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
-\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}}
+\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}
-\subsubsection{}Soit $K$ un corps global. Notons
-$\Div(K)$ le groupe abélien $⨁_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝐙$ des
-\emph{diviseurs} de $K$. On peut reformuler \ref{normes fonction presque toutes petites}
-en disant que toute élément non nul $f$ de $K$ définit
-un diviseur, en posant :
+\subsubsection{}Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
+dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie
+de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$.
+Notons $\Div(U)$ le groupe abélien $⨁_{u ∈ U} 𝐙$ des
+\textbf{diviseurs} sur $U$.
+Tout idèle $(f_x)$ de $K$ définit naturellement un diviseur
\[
-\div(f)=∑_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} v_x(f) ⋅ x ∈ \Div(K),
+\div_U((f_x))=∑_{u ∈ U} v_u(f_u) ⋅ u ∈ \Div(U),
\]
-où $v_x:K_x^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisée. 
-Les diviseurs obtenus ainsi sont appelés \emph{diviseurs principaux} de $K$.
-(On peut bien sûr définir le diviseur d'un idèle quelconque de $K$ ;
-le morphisme $K^×_𝐀 → \Div(K)$ ainsi obtenu est alors surjectif.)
-On appelle \emph{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
-« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
-général.} tout élément du sous-monoïde $\Div_+(K)$ de $\Div(K)$
-des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
-À ce sous-monoïde est associé une relation d'ordre :
-on dit que $D=∑_x n_x ⋅ x$ est supérieur ou égal à $D′ = ∑_x n_x′ ⋅ x$
-si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(K)$, c'est-à-dire $n_x ≥ n_x′$ pour
-chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}$.
+où $v_u:K_u^× ↠ 𝐙$ est la valuation normalisée.
+On note également $\div$ le morphisme $\div_X$.
+
+\subsubsection{}
+L'application $\div_U:K^×_𝐀 → \Div(U)$ est surjective,
+de noyau $K^×_𝐀(U)= ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K_u}^× × ∏_{y ∈ Σ(K)-U} K_y^×$.
+(Si $U=X$, on note aussi $𝒪_{K_𝐀}^×$ ce sous-groupe de $K^×_𝐀$.)
+Les diviseurs dans le sous-groupe $\div_U(K^×)$ de $\Div(U)$
+sont appelés \textbf{diviseurs principaux} (sur $U$).
+On appelle \textbf{groupe de Picard} de $U$, le quotient
+\[
+\Pic(U)=\Div(U)∕\div_U(K^×)=\mathrm{coker}(K^× → ⨁_u 𝐙).
+\]
+D'après ce qui précède, on a un isomorphisme naturel, induit par $\div_U$,
+\[
+K^× \backslash K^×_𝐀∕K^×_𝐀(U) ⥲ \Pic(U),
+\]
+ou encore
+\[
+C_K/C_K(U) ⥲ \Pic(U),
+\]
+où l'on note
+$C_K(U)$ l'image de $K^×_𝐀(U)$ dans le groupe $C_K$ des classes d'idèles.
\subsubsection{}
\label{formule du produit additive}
Si $K$ est de caractéristique \mbox{$p>0$} de corps des
-constantes $k$, considérons également l'application
+constantes $k$, il est intéressant de considérer l'application \textbf{degré}
\[
-\deg:\Div(K) → 𝐙
+\deg:\Div(X) → 𝐙
\]
\[
∑_x n_x ⋅ x ↦ ∑_x n_x [κ(x):k].
\]
En d'autres termes, on étend la fonction $\deg(x)=[κ(x):k]$
-à $\Div(K)$ par additivité. La formule du produit
+à $\Div(X)$ par additivité. La formule du produit
(\ref{formule du produit}) se traduit en la « formule des résidus » suivante :
\[\deg ∘ \div =0.\]
-
-\subsubsection{}
-\label{définition Pic}
-On note $\Pic_K$ le conoyau du morphisme $\div$.
-Comme $K^×_𝐀/K^{×,∞}_𝐀=⨁_{x ∈ Σ_f(K)} K_x^×/𝒪_x^× ⥲ \Div(K)$, on a un
-isomorphisme canonique
+Le morphisme degré se factorise donc en un morphisme $\Pic(X) → 𝐙$,
+on note $\Pic⁰(X)$ le noyau, constitué des \textbf{classes de diviseurs de degré nul}.
+La description adélique précédente devient
+\[
+K^× \backslash K^{×,=1}_𝐀∕𝒪^×_{K_𝐀} ⥲ \Pic⁰(X),
+\]
+ou encore
\[
-C_K/\sur{K}^{×,∞}_𝐀 ⥲ \Pic_K
+C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X),
\]
-où $\sur{K}^{×,∞}_𝐀$ désigne l'image de $K^{×,∞}_𝐀$ dans $C_K$.
-[notation : $K^×_{𝐀}(∞)$ ? \XXX]
-Définir $\div(\text{idèle})$.
+où l'on note
+$C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles.
-\begin{proposition2}
-Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪_K)$.
-\end{proposition2}
+\begin{théorème2}
+Soit $K$ un corps global.
+\begin{enumerate}
+\item Si $K$ est un corps de fonctions, $\Pic⁰(X)$ est fini.
+\item Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic(X)$ est fini.
+\end{enumerate}
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+(i) On a vu en \ref{theoreme-unites-abstrait} que le groupe $C^{=1}_K$ est
+compact. Le sous-groupe $K_𝐀^×(X)$ de $K^{×,=1}_𝐀$ étant ouvert,
+il en est de même de $C^{=1}_K(X)$ dans $C^{=1}_K$. Le quotient $C^{=1}_K ∕
+C^{=1}_K(X)$ est donc à la fois compact et discret donc fini (\ref{discrétion et
+séparation quotient}). (ii) Pour la même raison que précédemment, le quotient $C_K ∕ C_K(X)$
+est discret. Pour montrer qu'il est fini, il suffit de montrer que le morphisme
+continu $C^{=1}_K → C_K ∕ C_K(X)$ est \emph{surjectif}. Montrons
+plus précisément que le morphisme $K^{×,=1}_𝐀 → K^×_𝐀 / K^×_𝐀(X)$ est surjectif,
+c'est-à-dire que l'on a l'égalité $K^×_𝐀 = K^{×,=1}_𝐀 K^×_𝐀(X)$,
+ou encore, par translation multiplicative, qu'il existe des idèles dans $ K^×_𝐀(X)$ de norme
+arbitraire. Cela résulte de l'existence
+d'une place archimédienne $∞ ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$
+et de la surjectivité de la norme $K^×_∞ → 𝐑_{>0}$.
+[détailler \XXX]
+\end{démo}
+
+
+\subsubsection{}
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
+Supposons que $𝒪_K(U)$ soit un anneau de Dedekind de corps
+des fractions $K$. (D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale},
+il en est ainsi sauf si $K$ est un corps de fonctions et $U=Σ(K)$.)
+L'application $u ↦ 𝔭_u=(ϖ_u) ⊆ 𝒪_K(U)$, où $ϖ_u$ est une uniformisante
+[existence pas claire à ce stade \XXX], s'étend par linéarité
+en une application surjective $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$, où le terme de droite
+est le groupe de Picard défini en \refext{AVD-D}{définition groupe Picard
+Dedekind}, quotient du groupe des idéaux fractionnaires inversibles de $𝒪_K(U)$
+par le sous-groupe de ses idéaux fractionnaires principaux. Le noyau de $\Div(U) → \Pic(𝒪_K(U))$
+étant $\div_U(K^×)$ [détailler \XXX], on a :
+
+\begin{théorème2}
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$,
+supposé distinct de $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ si $K$ est un corps de fonctions.
+Le morphisme naturel $\Pic(U) → \Pic(𝒪_K(U))$ est un
+\emph{isomorphisme}.
+\end{théorème2}
+
+\begin{corollaire2}
+Soit $K$ un corps de nombres.
+Le groupe $\Pic(𝒪_K)$ est fini.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration]
+Cf. p. ex. Ribenboim.
+\end{démo}
+
+
+\subsubsection{}
+On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
+« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus
+général.} sur $U$ tout élément du sous-monoïde $\Div_+(U)$ de $\Div(U)$
+des diviseurs à coordonnées toutes positives ou nulles.
+À ce sous-monoïde est associé une relation d'ordre :
+on dit que $D=∑_u n_u ⋅ u$ est supérieur ou égal à $D′ = ∑_u n_u′ ⋅ u$
+si et seulement si $D - D′ ∈ \Div_+(U)$, c'est-à-dire si et seulement si
+$n_u ≥ n_u′$ pour chaque $u ∈ U$.
+
+
+ \[*\]
-Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
\subsubsection{}Dans le cas des corps de fonctions,
on a $\Pic_K → 𝐙$ [qui se trouve être surjectif] (bien définie
@@ -4103,6 +4180,9 @@ Alors $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
\end{proposition2}
+De plus, $\Spec(𝒪_K(U))=U ∪ \{(0)\}$.
+Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
+
\begin{démo}
Supposons $U ≠ Σ(K)$. D'après \ref{existence de fonctions ayant pôles imposés},
il existe une fonction non constante $f ∈ K$ dont l'ensemble des pôles est exactement $Σ(K)-U$.