summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 08:57:45 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-12 08:57:45 (GMT)
commit7b6bf9ce6f19801d6f1353beda6e43d7bbbf4354 (patch)
tree34985f0ea3c872d4709bd24b002960bcde9a2b91 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent68b6ddca0a0334b584eed38c7f01e9fa6269f302 (diff)
downloadgalois-7b6bf9ce6f19801d6f1353beda6e43d7bbbf4354.zip
galois-7b6bf9ce6f19801d6f1353beda6e43d7bbbf4354.tar.gz
galois-7b6bf9ce6f19801d6f1353beda6e43d7bbbf4354.tar.bz2
[LG] légère réécriture finitude Pic(O_K)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex19
1 files changed, 6 insertions, 13 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index a5207c7..a6ac5df 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3430,25 +3430,18 @@ il existe par le principe des tiroirs deux éléments
$b=∑_{x ∈ ℬ} n_x x$ et $b′=∑_{x ∈ ℬ} m_x x$, où $0 ≤ n_x,m_x ≤ r$,
tels que $a=b-b′=∑_x a_x x$ appartienne à  l'idéal $𝔞$. Par construction, on a
$N_{K \bo 𝐐}(a)=∏_σ |σ(a)| ≤ r^d μ_ℬ$ car chaque coefficient $|a_x|$ est majoré
-par $r$.
+par $r$ et $\# \Hom_𝐐(K,𝐂)=d$.
Pour achever la démonstration du corollaire, il suffit de vérifier
que tout idéal non nul $𝔞$ de $𝒪_K$ est dans la classe d'un idéal
de norme inférieure ou égale à $μ_ℬ$.
-Soit $𝔞$ un idéal non nul ; il existe un élément non nul $x ∈ 𝒪_K$
-tel que $𝔟=x 𝔞^{-1}$ soit contenu dans $𝒪_K$. (En effet, $𝔞^{-1}$
-est un \emph{idéal fractionnaire}, cf. \refext{}{}. \XXX)
-Soit maintenant $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b) ≤ N(𝔟) μ_ℬ$.
-Montrons que la norme $N(𝔞 x^{-1} b)$ est majorée par $μ_ℬ$, ce qui
-suffit pour conclure. De façon équivalente, on veut montrer l'inégalité
-\[
-N(𝔟) × N(𝔞 x^{-1} b) ≤ N(𝔟) × μ_ℬ .
-\]
-Or, par multiplicativité de la norme et par définition de l'idéal $𝔟$,
-le terme de gauche est $N(𝔟 ⋅ 𝔟^{-1}) N((b))=N_{K \bo 𝐐}(b)$.
+Soit $𝔞$ un idéal non nul. Il existe un idéal $𝔟$ de $𝒪_K$
+dans la classe de $𝔞^{-1}$. D'après ce qui précède,
+il existe $b ∈ 𝔟$ non nul tel que $N_{K \bo 𝐐}(b)=N((b))$ soit
+inférieur ou égal à $N(𝔟) μ_ℬ$. Comme $(b) ⊆ 𝔟$, on a $(b)=𝔟 𝔠$ ; l'idéal $𝔠$ est dans la classe
+de $𝔞$. D'autre part, on a $N((b))=N(𝔟)N(𝔠)$ d'où $N(𝔠) ≤ μ_ℬ$.
CQFD.
\end{démo}
-
\subsubsection{}
On appelle \textbf{diviseur effectif}\footnote{On évite la terminologie
« diviseur positif » qui peut prêter à confusion dans un contexte plus