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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 16:15:05 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-01 16:15:05 +0100
commit7f484af67c870adf9cf6db77bfaf1761b2d3e9c6 (patch)
treeaf5c26a8a52e5f6c7fe61cd9ddfa1836f796bfa6 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] ε=𝔤
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--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1170,6 +1170,7 @@ dans $𝐙[1/q]$, $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est à valeurs
dans $𝐙[1/ √q]$ si le niveau de $ψ$ est impair.
\begin{exemple2}
+\label{exemple Fourier et Gauss}
Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
@@ -1184,7 +1185,8 @@ où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
-Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
+Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez} et \ref{facteur epsilon ultramétrique},
+\emph{infra}.
\end{exemple2}
%Cas géométrique : il résulte du théorème qu'il existe $ψ$ tel que $μ_ψ(𝒪)=1$
@@ -1913,6 +1915,7 @@ et \ref{Fourier et mesure locaux} (formule d'inversion).
% détailler ? \XXX
\begin{proposition2}
+\label{epsilon par translation et produit}
Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour tout $a ∈ K^×$, $ε_{ψ_a}(χ)=χ(a)|a|^{-½}ε_ψ(χ)$.
@@ -1922,7 +1925,7 @@ Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non trivial et $χ$ un c
Notons que les mêmes formules sont valables pour le facteur $γ$.
D'après (i), la détermination de ces facteurs se ramène au cas particulier où le caractère
-additif $ψ$ est fixé.
+additif $ψ$ est de niveau fixé.
\subsubsection{Formulaire archimédien}
@@ -1942,22 +1945,55 @@ de $g_𝐑$ et utiliser le fait que la transformation de Fourier échange
dérivation et multiplication par $i$.
\subsubsection{Formulaire ultramétrique}
+\label{facteur epsilon ultramétrique}
Lorsque $χ$ est net et $ψ$ de niveau nul, on a :
\[
ε_ψ(χ)=1.
\]
En effet, $ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=𝟭_𝒪$ donc $ζ_ψ(ℱ_ψ(𝟭_𝒪),\chap{χ})=L(\chap{χ})$
et, plus trivialement encore, $ζ_ψ(𝟭_𝒪,χ)=L(χ)$.
-Lorsque $χ$ est ramifié, de conducteur $c$, on a :
+Considérons maintenant le cas général : $χ$ est éventuellement ramifié,
+de conducteur $a=a(χ) ≥ 0$ (\ref{définition conducteur})
+et $ψ$ de niveau $n=n(ψ)$. Considérons la fonction $f=χ^{-1} 𝟭_{𝒪^×}$,
+où $χ^{-1}$ désigne abusivement le prolongement par zéro de la
+fonction $χ^{-1}:K^× → 𝐂$ à $K$. Elle appartient à $𝒮(K)$ et
+est constante sur les classes modulo $𝔪^a$ : si $x ∈ 𝒪^×$
+et $y ∈ 𝒪$, on a $χ(x)=χ(x+y ϖ^a)$ car $χ(1+x^{-1}y ϖ^a)=1$.
+En conséquence (\ref{Fourier et mesure locaux}, (ii) et (iii).b),
+sa transformée de Fourier $ℱ_ψ(f)$ est à support contenu dans $𝔪^{-(n+a)}$.
+Pour simplifier les calculs, supposons dorénavant que $n+a=0$,
+comme il est loisible d'après \ref{epsilon par translation et produit}, (ii).
+Ainsi, $ℱ_ψ(f)$ est à support dans $𝒪$. D'autre part, par définition,
+c'est la fonction $x↦ ∫_{𝒪^×} χ^{-1}(y) ψ(xy)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(y)$.
+À moins que $χ_{|𝒪^×}$ ne soit trivial (c'est-à-dire $χ$ net, ou encore $a=0$).
+on a $ℱ_ψ(f)(0)=0$. Le cas $a=0$ ayant déjà été traité, supposons maintenant $a>0$.
+Pour $x ∈ 𝒪-\{0\}$, le changement de variable $z=xy$
+et la formule \ref{module=module} entraîne :
+$ℱ_ψ(f)(x)=\chap{χ}^{-1}(x) ∫_{x^{-1} 𝒪^×} χ^{-1}(z) ψ(z)   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}(z)$.
+Pour la même raison que précédemment, cette intégrale est nulle
+si $x$ n'appartient pas à $𝒪^×$. (Si $x ∈ 𝔪$, la fonction $χ^{-1} 𝟭_{x^{-1}𝒪}$
+est constante modulo $𝔪^{a-1}$ et la valeur en $1$ de sa transformée
+de Fourier est nulle.)
+Finalement,
\[
-ε_ψ(χ)=χ(ϖ)^c 𝔤(χ,ψ),
+ℱ_ψ(χ^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×})=𝔤(χ,ψ) ⋅ \big( \chap{χ}^{-1} ⋅ 𝟭_{𝒪^×} \big),
\]
-où $𝔤(χ,ψ)$ est la \emph{somme de Gauß}
+où la constante multiplicative est la \emph{somme de Gauß} \index{somme de Gauß}
\[
-...
+𝔤(χ,ψ)=∫_{𝒪^×} χ^{-1} ⋅ ψ   dμ_ψ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
-cf. Kudla p. 124 et Deligne, 3.4.3.2.
+Ceci est une généralisation du calcul \ref{exemple Fourier et Gauss}.
+Enfin, par construction, $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)(=μ_ψ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×))$
+et, d'après ce qui précède, $ζ_ψ(\chap{f},\chap{χ})=𝔤(χ,ψ) ζ_ψ(𝟭_{𝒪^×},1)$.
+En résumé, on a a démontré la proposition suivante :
+\begin{proposition2}
+Sous l'hypothèse que $a(χ)+n(ψ)=0$, on a :
+\[
+ε_ψ(χ)=𝔤(χ,ψ).
+\]
+\end{proposition2}
+Notons que cette formule est également valable lorsque $χ$ est net.
\subsection{Fonctorialité}