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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-08 17:38:04 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-08 17:38:04 (GMT)
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[LG] début comparaison topologies adélique et idélique
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex103
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index 5367f90..8c6817b 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2077,7 +2077,7 @@ cette place (ultramétrique).
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
classe $x$ ; c'est un corps local
-au sens de \ref{définition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
+au sens de \ref{definition corps locaux}, cf. \ref{Kx sont locaux}
\emph{infra}. (Réciproquement, il n'est pas difficile
de montrer que tout corps local s'obtient de cette manière.)
% Si $G$ est un
@@ -2620,8 +2620,8 @@ craindre, le produit
\[
∏_{s ∉ U} 𝒳_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s
\]
-d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une injection continue
-$(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
+d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une immersion
+ouverte (continue) $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s ;𝒱_s)$, ou simplement
$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
@@ -2631,6 +2631,7 @@ $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ}
tout $s$, l'élément $x_s$ appartient à $𝒱_s$. Topologiquement, les
ouverts de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ sont les sous-ensembles dont les intersections
avec chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, $U ⊆ Σ$ cofini, sont ouvertes dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$.
+En particulier, les $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ sont ouverts dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$.
\begin{remarque2}
Cette construction s'étend immédiatement au cas où
@@ -2734,7 +2735,6 @@ aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (resp. le produit fini des $K_x$ pour $x
∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$). C'est l'anneau des \emph{adèles ultramétriques}
ou \emph{finis} (resp. \emph{archimédiens} ou \emph{infinis}).
-
\subsubsection{}
\label{adèles principaux}
Pour chaque $x ∈ Σ(K)$, le corps $K$ se plonge
@@ -2762,7 +2762,6 @@ D'autre part, lorsque $K$ est un corps de nombres, on a $𝒪_{K_𝐀} ∩ K =
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
%\XXX À inclure ?
-
\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}).
@@ -2772,12 +2771,13 @@ La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit res
\begin{proposition2}
Pour tout $a_𝐀=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
-$[×a_𝐀]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a_𝐀|=∏_{s
-∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
+$[×a_𝐀]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a_𝐀| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où
+$|a_𝐀|=∏_{x ∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}
-%Saïtô p. 239.
-[Détailler convergence] \XXX
+Notons que pour presque tout $x$, on a $a_x ∈ 𝒪_{K,x}$
+c'est-à-dire $|a_x|_x ≤ 1$ de sorte que la convergence du produit
+est \emph{a priori} évidente.
\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
@@ -2843,7 +2843,6 @@ Ainsi, quitte à rétrécir $U$, on peut supposer $⟨ ,⟩_U$ parfait.
Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
\end{démo}
-
\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
Soit $K$ un corps global.
@@ -2941,7 +2940,6 @@ D'après le théorème précédent, $K$ est discret dans $K_𝐀$.
D'autre part, $𝒪_{K_𝐀}$ est compact. L'intersection est donc finie.
\end{démo}
-
\begin{théorème2}[Formule du produit]
\label{formule du produit}
Soit $K$ un corps global.
@@ -2979,7 +2977,6 @@ la formule $|\N_{L\bo K}(λ)|_x = ∏_{y↦ x} |λ|_y$
et, par conséquent, $∏_y |λ|_y = ∏_x |\N_{L\bo K}(λ)|_x$.
\end{démo}
-
\subsection{Idèles}
\subsubsection{}
@@ -2992,31 +2989,28 @@ le produit restreint $K^×_𝐀$ des groupes multiplicatifs $K^×_x$ des corps
locaux $K_x$, relativement aux sous-groupes  $𝒪_{K,x}^×$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
C'est la colimite des groupes topologiques $K^×_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪^×_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
-\emph{groupe des idèles sur $K$}.
+\emph{groupe des idèles sur $K$}. L'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
+\emph{continue} \XXX et son image est le groupe des éléments inversibles de
+l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
\begin{remarques2}
\label{discontinuité adélique}
-L'\emph{ensemble} sous-jacent au groupe des idèles est bien le groupe
-des éléments inversibles de l'anneau $K_𝐀$ des adèles.
-Cependant, la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas} la topologie
-induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$}.
-Considérons par exemple pour chaque nombre premier $p$
-l'idèle $x_p ∈ 𝐐^×_𝐀$ dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$.
-La suite $x_p$ converge vers $1$ dans $𝐐_𝐀$
-mais pas dans $𝐐^×_𝐀$.
-Notons également que la norme $K^×_𝐀 → 𝐑^×$,
-$a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$, n'est pas continue
-pour la topologie induite par les adèles,
-alors qu'elle l'est — essentiellement par définition —
-pour la topologie des idèles.
-Par exemple, si $x_n$ est l'adèle de $𝐐$
-tel que $x_{n,∞}=1$ et $x_{n,p}=n!+1$ pour tout $p$,
-on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$ avec $n$,
-tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
-On a cependant le résultat positif suivant,
-dont nous ferons usage ci-après.
+Prendre cependant garde au fait que la topologie de $K^×_𝐀$ est n'est \emph{pas}
+la topologie induite par l'inclusion ensembliste \mbox{$K^×_𝐀 ⊆ K_𝐀$} :
+si pour chaque nombre premier $p$, $x_p$ désigne l'idèle de $𝐐$
+dont la seule coordonnée non triviale vaut $p$ en $p$, la suite $x_p$ converge
+vers $1$ dans $𝐐_𝐀$ mais pas dans $𝐐^×_𝐀$
+
+Notons également que la norme $K_𝐀 → 𝐑_{≥0}$, $a↦ \mod_{K_𝐀}([×a])=∏_x |a_x|_x$,
+n'est \emph{pas} continue pour la topologie adèlique, alors que sa restriction
+en $K^×_𝐀 → 𝐑_{>0}$ l'est — essentiellement par définition — pour la topologie
+idélique : si pour chaque entier $n$, $x_n$ désigne l'adèle de $𝐐$ tel que $x_{n,∞}=1$ et
+$x_{n,p}=n!+1$ pour tout premier $p$, on a $|x_n|=(n!+1)^{-1}$, qui tend vers $0$
+avec $n$, tandis que $x_n → 1$ dans $𝐐_𝐀$.
\end{remarques2}
+On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.
+
\begin{proposition2}
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
@@ -3025,14 +3019,38 @@ par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$
\begin{démo}
Commençons par montrer que pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$,
-le sous-ensemble $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| ≥ c\}$ est fermé
+le sous-ensemble $K^{×, ≥ c}_𝐀=\{g ∈ K^×_𝐀:|g| ≥ c\}$ est fermé
dans $K_𝐀$ ou, de façon équivalente, que son complémentaire
-$\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Soit $f$ un élément de ce
-complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
+$K^{×, < c}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Fixons $c$ et considérons
+un élément $f$ de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{x ∉ U} |f_x|_x <c$.
-[...] Cf. \jap{斎藤-加藤}.\XXX
-
+Le complémentaire de l'ensemble $U$ dans $Σ(K)$ étant cofini,
+l'application $a↦ ∏_{x ∉ U} |a_x|_x$ est \emph{continue}.
+Il existe donc un voisinage $𝒱 ⊆ K_𝐀(U)$ de $f$ dans $K_𝐀$
+tel que pour chaque $f′ ∈ 𝒱$ on ait $∏_{x ∉ U} |f′_x|_x < c$.
+Pour un tel $f′$, on a $|f′| ≤ ∏_{x ∉ U} |f′_x|_x <c$
+de sorte que l'ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.
+
+Montrons maintenant que l'inclusion $K_𝐀^{×, ≥ c} ↪ K_𝐀$ induit un
+homéomorphisme sur son image, c'est-à-dire que les deux topologies sur $K_𝐀^{×, ≥ c}$
+déduites des inclusions dans $K^×_𝐀$ et $K_𝐀$ coïncident.
+Pour chaque ouvert $U$ de $K$ les deux topologies sur $K^×_𝐀(U)$ coïncident
+avec la topologie produit ; d'autre part, l'inclusion $K^×_𝐀 ↪ K_𝐀$ est
+continue. Il résulte de ces deux observations qu'il suffit \XXX
+de vérifier que pour chaque $f ∈ K^{×, ≥ c}_A$ il existe
+un voisinage $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$ et un ouvert $U$ de $K$
+tels que l'on ait l'inclusion
+\[
+K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱 ⊆ K^×_𝐀(U).
+\]
+Soit $V$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(V)$
+et soit $ρ$ un réel strictement supérieur au produit (fini) $∏_{x ∉ V} |f_x|_x$.
+Comme précédemment, il existe un ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$
+contenu dans
+\[K_𝐀(V) ∩ \{f′ ∈ K_𝐀 : ∏_{x ∉ V} |f_x|_x\}.\]
+[...]
+% 斎藤 p. 243.
\end{démo}
\subsubsection{}
@@ -3259,16 +3277,17 @@ que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
produit externe restreint
\[
-\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x : K_𝐀 → 𝐂, (a_x)↦ ∏_x f_x(a_x).
+\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x : K_𝐀 → 𝐂, (a_x)↦ ∏_{x
+∈ Σ(K)} f_x(a_x).
\]
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produit
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
-ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de distinguer les parties
+ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}$, produit externe fini $\bigboxtimes_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x
-: K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$,
-et ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, produit externe restreint
+: K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, et la partie ultramétrique
+$f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, produit externe restreint
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x :
K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
@@ -3299,7 +3318,7 @@ Nous verrons ci-après (\ref{densité K dans AKS})
qu'il existe $a ∈ K$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
-est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_x 𝔪_x^{n_x}$
+est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
\end{remarque2}