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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2012-01-06 14:29:25 +0100
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[LG] petites permutations et clarifications (ζ/Mellin local)
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@@ -1066,7 +1066,7 @@ $ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
+On note $ℱ_ψ$ la transformation de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
@@ -1163,9 +1163,9 @@ Tout élément $x ∈ K^×$ peut s'écrire de façon unique
\[
x=x₁ ρ,
\]
-où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$ et $ρ>0$ (resp. $ρ ∈ ϖ^𝐙$) si $K$
-est archimédien (resp. ultramétrique). De plus, $x ↦ x₁$
-est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
+où $x₁$ appartient au groupe \emph{compact} $𝒰=\{y ∈ K^×:|y|=1\}$,
+et $ρ>0$ si $K$ est archimédien ou $ρ ∈ ϖ^𝐙$ si $K$ est ultramétrique.
+De plus, $x ↦ x₁$ est un épimorphisme continu, qui coïncide avec l'identité
sur $𝒰$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $𝒰 × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
@@ -1192,16 +1192,19 @@ Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ de $K$
est donc trivial sur l'un d'entre eux.
On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
-que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
+que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention d'écriture que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
quasi-caractère $χ$.
-\subsubsection{}Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+\subsubsection{}
+\label{notation omega-s et remarque sur caractères}
+Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net. On a $ω_s=ω₁^{s}$, où $ω₁:x ↦ |x|$ est à
-valeurs dans $𝐑^×_+$.
+valeurs dans $𝐑^×_+$. Le quasi-caractère $ω_s$ est un \emph{caractère}
+si et seulement si $s ∈ 𝐑$.
\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
@@ -1247,12 +1250,15 @@ local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}
-\subsection{Transformée de Mellin}
+\subsection{Transformation de Mellin}\footnote{Nous conseillons au lecteur
+d'omettre cette section en première lecture. Elle n'est pas utile
+avant la démonstration des résultats
+énoncés en \ref{énoncé équation fonctionnelle zêta}.}
-\subsubsection{Transformée de Mellin réelle : généralités}
-\label{transformée Mellin réelle}
+\subsubsection{Transformation de Mellin réelle : généralités}
+\label{transformation Mellin réelle}
Afin de motiver les considérations qui vont suivre, nous
-esquissons ci-dessous la définition de la transformée
+esquissons ci-dessous la définition de la transformation
de Mellin usuelle et son application à l'étude de la
fonction zêta. Pour de plus amples développements,
incluant la formule d'inversion, voir par exemple
@@ -1287,20 +1293,23 @@ et poser
Lorsque les deux fonctions $ζ_{≤ 1}(f)$ et $ζ_{≥1}(f)$
se prolongent en des fonctions méromorphes sur un domaine
commun, on définit la \emph{transformée de Mellin} \index{transformée de Mellin}
+de $f$ comme la fonction
\[
ζ(f,s)=ζ_{≤ 1}(f,s) + ζ_{ ≥ 1}(f,s) = \text{« } ∫₀^{+∞} f(t)t^{s} \frac{dt}{t} \text{ »}.
\]
\begin{remarque2}
-On vérifie sans peine (\XXX) que les caractères du groupe topologique localement
-compact $G=𝐑^×_+$ ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
+Comme on l'a vu en \ref{notation omega-s et remarque sur caractères},
+les caractères du groupe topologique localement compact $G=𝐑^×_+$
+ne sont autres que les $t↦ t^{s}$ pour $s$ imaginaire
pur. D'autre part, la mesure $\frac{dt}{t}$ est une mesure de Haar
-sur $G$. Ainsi, la transformée de Mellin, du moins restreinte à des
+sur $G$ (voir \ref{sorites mesures multiplicatives locales}).
+Ainsi, la transformation de Mellin, du moins restreinte à des
droites verticales de $𝐂$, peut être vue comme un cas particulier
-de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., Katznelson,
-« An introduction… », chap. VII). Notons également que
-ce lien est également visible en faisant le changement de variable
-$t=e^x$, qui échange transformée de Mellin et transformée de Fourier
+de transformation de Fourier générale (cf. p. ex., Bourbaki,
+Théories spectrales, II.§1.nº2 ou Katznelson, « An introduction… », chap. VII).
+Notons également que ce lien est également visible en faisant le changement de variable
+$t=e^x$, qui échange transformation de Mellin et transformation de Fourier
sur $𝐑$. %Dym, McKean, « Fourier… », § 2.6 p. 103
\end{remarque2}
@@ -1348,7 +1357,7 @@ D'autre part, il résulte de la formule de Poisson
appliquée à $f(x)=e^{- π t x²}$ que
$θ(t)=\frac{1}{√{t}} ψ(\frac{1}{t})$ où
$θ(t)=𝟭+2 ψ(t)=∑_{n ∈ 𝐙} e^{-π n² t}$.
-En appliquant la transformée de Mellin à cette
+En appliquant la transformation de Mellin à cette
équation fonctionnelle (due à Jacobi),
on trouve immédiatement $ζ(θ,s)=ζ(θ,½-s)$ et de même pour $ψ$
car $ζ(𝟭)=0$. On a donc démontré le théorème suivant,
@@ -1436,7 +1445,6 @@ f ↦ \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
\]
est une mesure de Radon positive, invariante par
multiplication (cf. \ref{module=module}).
-
On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{mesures Tamagawa locales}).
@@ -1444,23 +1452,23 @@ multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
\begin{proposition2}
Si $K$ est ultramétrique, on a l'égalité
\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒰)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪),
+μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
-où l'on rappelle que $𝒰=𝒪^×$. En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$.
+En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
-$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒰)$.
-Or, $𝒰$ est extension du groupe $k^×$ (de
+$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
+Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
-$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒰)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
\end{démo}
-\subsubsection{Fonction zêta locale}
+\subsubsection{Fonction zêta locale : définition}
\label{fonction zêta locale}
Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local $K$ et soit $ψ$ un caractère additif de $K$.
Pour toute fonction $f$ sur $K$ telle que $f_{|K^×} ⋅ χ$ soit
@@ -1473,24 +1481,85 @@ n'est autre que la mesure de Haar associée (selon
le procédé expliqué en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}) à la mesure additive
$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ auto-duale relativement à $ψ$
(\ref{Fourier et mesure locaux}, (v)).
-
La dépendance en $ψ$ est triviale : si $ψ ′$ est un autre
caractère additif non trivial, il existe une constante non
nulle $c∈ 𝐑^×_{>0}$ telle que $ζ_{ψ ′}= c ζ_ψ$ ; si les
-niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}). Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
+niveaux $n(ψ)$ et $n(ψ ′)$ sont égaux, $c=1$ (cf. \emph{loc. cit.}).
+Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
+nous nous autorisons à l'omettre des notations.
+Pour étudier la dépendance en $χ$ de ces
transformées de Mellin, appelées fonctions zêta, on introduit la notation :
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=ζ_ψ(f,χ ω_s).
\]
(On a alors $ζ_ψ(f,χ)=ζ_ψ(f,χ,0)$.)
-Alternativement, on pourrait — à l'aide de la proposition
-\ref{description quasi-caractères} — munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
+
+\begin{remarque2}
+Plutôt que de fixer $χ$ et introduire la variable complexe $s$
+on pourrait — à l'aide de la proposition \ref{description quasi-caractères} —
+munir l'espace des quasi-caractères d'une structure
de variété analytique (cf. p. ex. \cite[chap. Ⅱ]{Weil2@Deligne}, \cite{Tate}).
-Nous ne le ferons pas.
+\end{remarque2}
-\subsubsection{}
+\subsubsection{Cas archimédien réel : interprétation}
+\label{fonction zêta archimédienne}
+Si $K=𝐑$ et $ψ=𝐞_∞$ (\ref{exemples caractères additifs locaux}),
+la mesure $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}$ est la mesure
+de Lebesgue usuelle (cf. \ref{Fourier et mesure locaux}) et l'on a :
+\[
+ζ_{𝐞_∞}(f,1,s)=ζ(f,s),
+\]
+où le terme de droite est la transformée de Mellin réelle de $f$
+considérée en \ref{transformation Mellin réelle}
+et $1$ désigne le caractère multiplicatif trivial.
+
+\subsubsection{Cas archimédien : calculs}
+Supposons maintenant le corps local $K$ archimédien quelconque.
+Les gaussiennes
+\[
+g_𝐑(x)=\exp(- π xx) ∈ 𝒮(𝐑)
+\]
+et
+\[
+g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π z \sur{z}) ∈ 𝒮(𝐂),
+\]
+jouent un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ dans le cas ultramétrique.
+Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
+positive, on a
+\[
+ζ_𝐑(s):=ζ(g_𝐑,1,s)=π^{-½s}Γ(½s)
+\]
+et
+\[
+ζ_𝐂(s):=ζ(g_𝐂,1,s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
+\]
+Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
+$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
+\[
+ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
+\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
+complexe\footnote{Explicitement :
+\[
+ζ_𝐂(s)
+:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π z \sur{z}} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
+=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
+=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
+\]}.
+À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
+zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
+On suit ici le choix de P. Deligne (\cite[§3.2]{constantes@Deligne}) ;
+voir aussi \cite[§3.1]{NTB@Tate}.
+Pour une variante, voir par exemple \cite{Facteurs@Serre}.
+Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
+\[
+ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
+\]
+(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
+
+\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
-Supposons $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le translaté $𝒰_n$ de $𝒰$ par $ϖ^n$ :
+Supposons maintenant $K$ ultramétrique et considérons pour chaque $n ∈ 𝐙$ le
+translaté $𝒰_n$ du groupe des unités $𝒰=𝒪^×$ par $ϖ^n$ :
\[
𝒰_n=\{x ∈ K^×:|x|=q^{-n}\}=\{x ∈ K^×:v(x)=n\}.
\]
@@ -1512,11 +1581,58 @@ domaine $\Re(s)> -\log_q(ρ_{f,χ})$ et l'on a
\[
ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s}).
\]
-Si $ψ$ est de niveau nul, c'est-à-dire si $μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ=μ^{\mbox{\minus$×$}}₁$,
-nous nous autorisons à l'omettre des notations.
-Observons que si $f ∈ 𝒮(K)$ est telle que $f(0)=0$, la série $Z(f,χ,X)$
-appartient à $𝐂[X^{±1}]$. \XXX
+\subsubsection{Cas ultramétrique : calculs}
+\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
+Toute fonction dans $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
+fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
+le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
+au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
+à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
+distinguer les deux cas $x ∈ 𝔪^e$, c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$, et $x ∉ 𝔪^e$,
+c'est-à-dire $f(0)=0$.
+
+Il est immédiat que $z(𝟭_{𝔪^e},χ)_n$ vaut $χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
+si $n ≥ e$ et est nul sinon. (On rappelle que $χ₁$ est la restriction
+à $𝒰$ de $χ$.) D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
+et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'intégrale
+$∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ vaut $1$ si $χ₁$ est trivial, c'est-à-dire
+si $χ$ est net, et $0$ sinon. Ainsi,
+\[
+Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)=
+\begin{cases}
+\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
+\displaystyle 0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
+Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)$
+est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$.
+
+Considérons maintenant le second cas : l'élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
+à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
+𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
+de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
+$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
+que $z(𝟭_{x+𝔪^e},χ)_n=χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus
+$×$}}₁$ si $n =r$ et $0$ sinon. Il résulte à nouveau de
+l'orthogonalité des caractères et de
+l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
+\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que
+$Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$ vaut $\frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r}$
+si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$ et $0$ sinon.
+
+\begin{remarque2}
+La formule
+\[
+ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net},s)=\frac{1}{1-χ(ϖ)|ϖ|^s}
+\]
+rappelle sans équivoque un facteur eulérien, analogue
+des facteurs Gamma considérés ci-dessus.
+Généralement attribuée à Margaret Matchett (thèse, 1946),
+cette formule est un des points de départ de la méthode
+— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
+démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
+\end{remarque2}
\begin{théorème2}
\label{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}
@@ -1524,7 +1640,7 @@ Soient $K$ un corps local, $ψ$ un caractère additif non
trivial et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif.
\begin{enumerate}
\item Pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, l'intégrale
-$∫_{K^×} f ω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
+$∫_{K^×} f χω_s  d μ^{\mbox{\minus $×$}}_ψ$ est absolument
convergente et définit une fonction holomorphe $ζ_ψ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>-\Re(χ)$.
Si de plus $f$ est nulle au voisinage de $0$, l'intégrale est
absolument convergente et holomorphe sur $𝐂$.
@@ -1547,8 +1663,7 @@ La démonstration du théorème occupe les trois paragraphes suivants.
\subsubsection{}
Si $K$ est ultramétrique, il résulte des
-calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère I}
-et \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère II}
+calculs effectués en \ref{calcul explicite intégrale quasi-caractère}
que $ζ_ψ(f,χ,s)=Z_ψ(f,χ,q^{-s})$ où $Z_ψ(f,χ,X)$ est
une fraction rationnelle dont l'ensemble des pôles
est inclus dans $\{0,χ(ϖ)^{-1}\}$.
@@ -1610,7 +1725,7 @@ h_{f,g}(y)= ∫_{K^×} f(x)\chap{g}(xy)|x| d μ^{\mbox{\minus
$×$}}(x)=(\text{constante } ≠ 0) ⋅ ∫_{K} f(x)\Big(∫_K g(z) ψ(xyz)  d
μ^{\mbox{\minus$+$}}(z)\Big)  d μ^{\mbox{\minus$+$}}(x).
\]
-La seconde égalité résulte de la définition de la transformée de
+La seconde égalité résulte de la définition de la transformation de
Fourier et \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
Enfin, une seconde application du théorème de Fubini donne
\[
@@ -1691,144 +1806,7 @@ de l'égalité $Δ([×a]^*f)=χ^{-1}(a)X^{-v(a)} Δ(f)$, on
a $Δ(f)=0$. CQFD.
Pour une discussion du cas archimédien, voir \cite[§1]{Fonction@Weil}.
-\subsection{Calculs explicites}
-\label{calculs explicites zêta}
-Nous regroupons ici quelques calculs, ultramétriques puis
-archimédiens. Nous conseillons au lecteur de ne s'y reporter
-qu'en cas de nécessité.
-
-\subsubsection{}\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère I}
-Toute fonction $𝒮(K)$, où $K$ est local ultramétrique, étant combinaison linéaire de
-fonctions caractéristiques $f=𝟭_{x+𝔪^e}$ ($x ∈ K, e ∈ 𝐙$),
-le calcul de fonctions zêta locales ultramétriques se ramène
-au calcul des séries $Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)$, relativement
-à un caractère additif que l'on peut supposer de niveau nul. Nous allons
-distinguer les cas $x ∈ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $x+𝔪^e=𝔪^e$) et $x ∉ 𝔪^e$ (c'est-à-dire $f(0)=0$).
-Il est immédiat que
-\[
-z(𝟭_{𝔪^e},χ)_n=
-\begin{cases}
-\displaystyle χ(ϖ)^n ⋅ ∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁ & \text{si $n ≥ e$}\\
-\displaystyle 0 & \text{sinon}.
-\end{cases}
-\]
-D'autre part, il résulte de l'orthogonalité des caractères
-et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒰)=1$ que l'on a
-\[
-∫_𝒰 χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
-\begin{cases}
-1 & \text{si $χ₁=1$, c'est-à-dire si $χ$ est net}\\
-0 & \text{sinon}.
-\end{cases}
-\]
-Ainsi,
-\[
-Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)=
-\begin{cases}
-\displaystyle \frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)X} & \text{si $χ$ est net}\\
-\displaystyle 0 & \text{sinon}.
-\end{cases}
-\]
-Dans le premier cas, le rayon de convergence de $Z(𝟭_{𝔪^e},χ,X)$
-est $|χ(ϖ)|^{-1}=q^{-\Re(χ)}$. Notons en particulier la
-formule
-\[
-ζ(𝟭_𝒪,χ \text{ net})=\frac{1}{1-χ(ϖ)},
-\]
-qui rappelle sans équivoque un facteur
-eulérien. Généralement attribuée à Margaret
-Matchett (thèse, 1946), cette formule est un des points de départ de la méthode
-— due indépendamment à Iwasawa Kenkiti et John Tate — pour
-démontrer l'équation fonctionnelle des fonctions zêta \emph{globales}.
-
\subsubsection{}
-\label{calcul explicite intégrale quasi-caractère II}
-Soit maintenant un élément $x$ de $K$ n'appartenant pas
-à $𝔪^e$, c'est-à-dire tel que $r=v(x)<e$. Tout élément de $x +
-𝔪^e$ est de valuation $r$. D'autre part, un élément
-de $x+𝔪^e$ s'écrit de manière unique sous la forme
-$x(1+y)$ où $y ∈ 𝔪^{e-r}$. Il en résulte immédiatement
-que l'on a
-\[
-z(𝟭_{x+𝔪^e},χ)_n=
-\begin{cases}
-\displaystyle χ(x) ⋅ ∫_{1+𝔪^{e-r}} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁ & \text{si $n =r$}\\
-\displaystyle 0 & \text{sinon}.
-\end{cases}
-\]
-Il résulte à nouveau de l'orthogonalité des caractères et de
-l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(1+𝔪^i)=
-\frac{q^i}{1-q^{-1}}$ ($i ≥ 1$) que l'on a :
-\[
-Z(𝟭_{x+𝔪^e},χ,X)=
-\begin{cases}
-\displaystyle \frac{χ(x) q^e }{1-q^{-1}} (\frac{X}{q})^{r} & \text{si ${χ₁}_{| 1+𝔪^{e-r}}=1$}\\
-\displaystyle 0 & \text{sinon}.
-\end{cases}
-\]
-
-\subsubsection{}
-\XXX
-\[
-γ(χ,s)=?
-\]
-
-\subsubsection{}
-\label{fonction zêta archimédienne}
-Supposons maintenant $K=𝐑$ ou $𝐂$ archimédien,
-dont on note $d$ le degré sur $𝐑$. La gaussienne $g_K ∈ 𝒮(K)$ définie par
-$g_K(x)=\frac{2}{μ₁^{\mbox{\minus $+$}}(\{x: |x| ≤ 1\})}
-\exp(- d π |x|²)$ — où $|x|$ désigne la norme usuelle —
-joue un rôle semblable à celui de la fonction $𝟭_𝒪$ considérée dans le cas ultramétrique.
-Ainsi :
-\[
-g_𝐑(x)=\exp(- π |x|²)
-\]
-et
-\[
-g_𝐂(z)=\frac{1}{π} \exp(- 2 π |z|²).
-\]
-On s'intéresse donc à la fonction
-\[
-ζ_K(s):=ζ(g_K,χ \text{ trivial},s).
-\]
-Pour chaque nombre complexe $s$ de partie réelle strictement
-positive, on a
-\[
-ζ_𝐑(s)=π^{-½s}Γ(½s)
-\]
-et
-\[
-ζ_𝐂(s)=2(2 π)^{-s} Γ(s).
-\]
-Pour démontrer ces formules, il suffit d'effectuer le changement de variable
-$x=√r$ dans le cas réel\footnote{Explicitement :
-\[
-ζ_𝐑(s):=∫_{𝐑^×} e^{-π x²} x^s \frac{dx}{x}= ∫₀^{+∞} e^{-π r} r^{s/2} \frac{dr}{r}.
-\]} ou $x=√r e^{i θ}$ dans le cas
-complexe\footnote{Explicitement :
-\[
-ζ_𝐂(s)
-:=\frac{1}{π}∫_{𝐂^×} e^{-2 π |z|} |z|_𝐂^s \frac{dxdy}{|z|_𝐂}
-=\frac{1}{π} ∫_{𝐑_× × [0, 2 π]} e^{-2 π r} r^s \frac{dr}{r} dθ
-=2 (2 π)^{-s} ∫_{𝐑_×} e^{-u} u^s \frac{du}{u}.
-\]}.
-
-\begin{remarque2}
-À une constante multiplicative près dépendant des auteurs, ces fonctions
-zêta locales sont appelées « facteurs Gamma » et classiquement notés $Γ_𝐑$ et $Γ_𝐂$.
-On suit ici le choix de P. Deligne, « Les constantes
-des équations fonctionnelles des fonctions $L$ », §3.2 ;
-voir aussi J. Tate, « Number theoric background », §3.1.
-Pour une variante, voir par exemple J.-P. Serre, « Facteurs locaux des fonctions zêta des variétés algébriques »
-Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
-\[
-ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
-\]
-(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une
-interprétation.)
-\end{remarque2}
-
\XXX
\[
γ(χ,s)=?
@@ -2082,6 +2060,9 @@ existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
on ait $a_{n,x}-b_x ∈ 𝒪_x$ lorsque $x ∉ S$
et $|a_{n,x}-b_x |_x < ε$ sinon.
+Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
+de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
+
\subsubsection{Mesure}
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
@@ -2328,7 +2309,7 @@ $\Pic⁰_K$ est fini.
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
-\subsection{Transformée de Fourier}
+\subsection{Transformation de Fourier}
\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
@@ -2566,7 +2547,7 @@ Ceci résulte du fait que $x ∉ K$ et de l'égalité
$K^⊥=K$ (\ref{Pontrâgin pour adèles}).
\end{démo}
-\subsubsection{Transformée de Fourier sur $K_𝐀$}
+\subsubsection{Transformation de Fourier sur $K_𝐀$}
\label{définition Fourier adélique}
Soit $ψ= (ψ_x)_x$ un caractère non trivial de $K_𝐀$, trivial
sur $K$. Il résulte de ce qui précède
@@ -2839,7 +2820,8 @@ $ℱ([×a]^*f)=…$ \XXX
\begin{remarque2}
-Mentionner des généralités d'analyse harmonique. \XXX
+Mentionner des généralités d'analyse harmonique. Bourbaki, TS,
+chap. II. \XXX
\end{remarque2}
\subsection{Le théorème de Riemann-Roch pour les corps de fonctions algébriques}
@@ -3110,6 +3092,21 @@ obtenue en appliquant la formule de Poisson réelle à $ψ$ (ou plutôt $θ=1+2
Nous verrons ci-après des généralisations (corps global quelconque)
de ce fait, démontrées par voie adélique.
+L'intérêt de ces fonctions pour l'étude de la théorie des nombres
+est connue depuis longtemps\footnote{Cf. Dirichlet,
+« Sur l′usage des séries infinies dans la théorie des nombres », 1838
+et Hadamard, « Sur la distribution des zéros de la fonction $ζ(s)$ et
+ses conséquences arithmétiques » (1896). [Gallica].}.
+Par exemple, l'existence d'un pôle
+simple en $s=1$ de $ζ$ et l'existence du produit eulérien
+entraîne l'égalité
+\[
+\text{« }∑_{p \text{ premier}} \frac{1}{p} = \log(∞) \text{ »}
+\]
+découverte par Euler, précisant ainsi le théorème d'Euclide sur
+l'infinité des nombres premiers.
+Nous en verrons de nombreux autres exemples dans les chapitres suivants.
+
\begin{exercice2}[Démonstration de $ζ(2k) ∈ π^k 𝐐$ par récurrence]
Soit $k ≥ 4$ un nombre pair. Considérons
la fraction rationnelle
@@ -3177,7 +3174,7 @@ et ayant un résidu en $s=1$ égal à $\frac{-1}{1-p}$.
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
\subsection{L'équation fonctionnelle de la fonction zêta : énoncé}
-
+\label{énoncé équation fonctionnelle zêta}
Objectif : démontrer le théorème suivant.
\begin{théorème2}