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authorFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-08 17:20:27 +0100
committerFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-08 17:20:27 +0100
commit84d2fe1f7279decc99efd703107960c3af42e2ed (patch)
tree610d8c828d32c9cd37e4927a32758265f5a68161 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] K = Frac 𝒪_K(U)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex84
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 2853896..e8ccb36 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1625,6 +1625,7 @@ Notons qu'avec notre convention, on a la \emph{formule de duplication} :
ζ_𝐂(s)=ζ_𝐑(s)ζ_𝐑(s+1).
\]
(Cf. P. Deligne, \emph{op. cit.}, prop. 3.8 pour une interprétation.)
+% attribuée à Legendre par Neukirch.
\subsubsection{Cas ultramétrique : réécriture}
\label{Mellin et Z}
@@ -2021,6 +2022,7 @@ est un \textbf{corps de fonctions algébriques} sur le corps
fini $𝐅_p$.
\subsubsection{}
+\label{notation places infinies}
On appelle \textbf{point} de $K$ une classe d'équivalence de
valeurs absolues non triviales sur $K$ ; on note $Σ(K)$ leur ensemble.
Un point est dit \textbf{ultramétrique} (resp.
@@ -2031,7 +2033,8 @@ Nous faisons le choix de \emph{pas} utiliser les notations
traditionnelles $Σ_f(K)$ et $Σ_∞(K)$, afin d'éviter la possible
confusion entre les places archimédiennes et les places « à l'infini »
en égale caractéristique, comme par exemple la classe de la valuation
-$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(T)$.
+$P↦ p^{-\deg(P)}$ dans $𝐅_p(t)$. Nous noterons d'ailleurs souvent $∞$
+cette place (ultramétrique).
\subsubsection{}Si $x ∈ Σ(K)$, on note $K_x$ le complété de $K$ pour la
topologie induite par une valeur absolue quelconque dans la
@@ -2057,9 +2060,12 @@ lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
\subsubsection{}
+\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
qui sont \textbf{$U$-entiers}, c'est-à-dire appartenant à $𝒪_x$ pour chaque $x ∈ U$.
De façon équivalente : $|f|_x ≤ 1$ pour tout $x ∈ U$.
+Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert dense} de $K$.
+% choix terminologique discutable \XXX
\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
@@ -2158,6 +2164,8 @@ $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
\label{normes fonction presque toutes petites}
Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
+De façon équivalente, $K=\colim_U 𝒪_K(U)$, où $U$ parcourt
+les ouverts denses de $K$.
\end{proposition2}
Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
@@ -2170,13 +2178,16 @@ de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
-tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse, pour presque
-tout $x ∈ Σ(K)$, on a $|a_i|_x ≤ 1$ (c'est-à-dire $a_i ∈ 𝒪_x$,
-ou encore : « les $a_i$ sont $x$-entiers »).
-D'après \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}, ce résultat
-est également vrai pour presque tout $y ∈ Σ(L)$.
-Or, pour chaque $y$ tel que les $a_i$ soient $y$-entiers,
-il en est de même de $f$.
+tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse,
+les $a_i$ sont \emph{$U$-entiers} pour un ouvert dense
+convenable de $K$. (On rappelle
+que cela signifie que pour chaque $i$ et chaque $x ∈ U$, on a l'inégalité $|a_i|_x ≤ 1$.)
+Utilisant la finitude (des fibres) de l'application $π:Σ(L) → Σ(K)$
+(\refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}),
+il existe donc un ouvert dense $V$ de $L$
+(que l'on peut prendre égal à $π^{-1}(U)$)
+telle que les $a_i$, vus dans $L$, soient $V$-entiers.
+Il en est alors de même de $f$.
En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
@@ -2193,6 +2204,53 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}
+\subsubsection{}Dans le langage de \refext{AC}{normalisation,normal}, on a montré
+ci-dessus le résultat intermédiaire suivant : \emph{la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$ est contenue
+dans $𝒪_L( π^{-1}(U))$}. (Il s'agit en fait d'une égalité.)
+Le lien entre $𝒪_K(U)$ et $K$ est précisé par la proposition suivante.
+
+\begin{proposition2}
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense.
+Le sous-ensemble $𝒪_K(U)$ est un sous-anneau intègre de $K$ et
+\[
+K=\Frac   𝒪_K(U).
+\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Le fait que $𝒪_K(U)$ soit un sous-anneau est trivial car les valeurs
+absolues considérées sont ultramétriques. Il est donc intègre : c'est un
+sous-anneau d'un corps.
+Si $K$ est un corps global premier, l'égalité à démontrer
+est immédiate. En effet, si $K=𝐐$, la donnée de $U$ est équivalente à celle
+d'un ensemble fini $\{p₁,…,p_r\}$ de nombres premiers
+(pour lesquels $| ⋅|_{p_i} ∉ U$) et
+$𝒪_𝐐(U)=𝐙[1/n]$ où $n= p₁ \cdots p_r$.
+Si $K=𝐅_p(X)$, on peut supposer la place $∞$
+(cf. \ref{notation places infinies}) dans $U$
+car $𝒪_K(U)$ décroît avec $U$.
+Les éléments de $𝒪_K(U)$ sont alors les fractions
+rationnelles de degré négatif dans $𝐅_p[X][1/P₁ \cdots P_r]$,
+où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles de $𝐅_p[X]$
+(pour lesquels $| ⋅ |_{P_i} ∉ U-\{∞\}$).
+Toute fraction rationnelle est quotient de telles
+fractions rationnelles.
+Montrons que l'on peut ramener le cas général
+au cas particulier que nous venons de traiter.
+Soient $L$ est une extension finie de $K$,
+$V$ un ouvert dense de $L$, et $f ∈ L$. Cet élément est algébrique sur $K$ :
+$f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a₀=0$.
+Soit $U$ l'ouvert dense de $K$ image de $V$.
+Il existe $b ∈ 𝒪_K(U)$ tel que chaque $b a_i ∈ 𝒪_K(U)$.
+En multipliant l'équation précédente par $b^n$, on constate
+donc que $bf$ est entier sur $𝒪_K(U)$, c'est-à-dire racine
+d'un polynôme unitaire à coefficients dans cet anneau.
+Comme on l'a vu dans démonstration précédente, $bf$ appartient donc
+à $𝒪_L(π^{-1}(U)) ⊆ 𝒪_L(V)$. L'inclusion est conséquence
+de l'inclusion $V ⊆ π^{-1}(U)$.
+Comme d'autre part $𝒪_K(U)$ est contenu dans $𝒪_L(V)$
+on a bien $f ∈ \Frac   𝒪_L(V)$. \end{démo}
+
\begin{proposition2}
\label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$
@@ -2206,14 +2264,6 @@ $𝐞_{K_x,ω_x}(𝒪_x)=\{1\}$.
\end{démo}
-\subsubsection{}
-
-\subsection{}
-
-\[\Frac 𝒪_K(U)=K.\]
-\[\colim_U 𝒪_K(U)=K.\]
-
-
\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
\begin{proposition2}
@@ -2223,7 +2273,7 @@ intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
-Plus précisément, il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ(K)$ et
+Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}