summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 17:25:14 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 17:25:14 +0200
commit872ca046b6fa8e4f33b5e0eb7c385ffa99714de8 (patch)
tree46a14dc05f6b8e439b73f0bb5126e091209bf3ae /chapitres/locaux-globaux.tex
parent97aa941f360c514104c8aa190d1e0ce9eedafc4a (diff)
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[LG] début cocompacité
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex18
1 files changed, 15 insertions, 3 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index b71f44f..28a2249 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2733,21 +2733,33 @@ admettons. Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
\begin{théorème2}
\label{cocompacité}
+Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, l'inclusion canonique
-$𝒪_K(U) → ∏_{v ∉ U} K_v$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
+$𝒪_K(U) → ∏_{s ∉ U} K_s$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
\begin{démo}
-(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
-(i). Cas $K=𝐐$ : explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238)
+(i). Démontrons le lorsque $K=𝐐$.
+Soient $C=[-½,½]× ∏_p 𝐙_p$ le sous-ensemble compact de $𝐐_𝐀$,
+où le premier facteur est dans $𝐐_∞=𝐑$,
+et $C°$ le voisinage ouvert $]-½,½[× ∏_p 𝐙_p$ de l'origine dans $𝐐_𝐀$.
+Il est clair que $C ° ∩ 𝐐=\{0\}$ : tout rationnel qui, vu dans chaque $𝐐_p$,
+est en fait dans $𝐙_p$ est entier. D'autre part, le seul entier dans $]-½,½[$ est
+l'entier nul.
+
+[...]
+
+
+ explicite (p. 237). $K=𝐅_q(X)$ itou (238)
ou Weil, p 65.
Cas général : cf. \ref{adèles et cb}.
+(i) ⇒ (ii). Cf. Saitô, p. 236.
\end{démo}
\begin{corollaire2}