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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 17:15:56 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 17:15:56 (GMT)
commit8744084e9ec80d43d46765df500bffcf89b71d81 (patch)
tree22347a30d15cd3e94bfd0de0626dd80a45cf1a8d /chapitres/locaux-globaux.tex
parent1e47ff89911a6d823e24c4bb13872e1c6f71d660 (diff)
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[LG] esquisse démonstration existence diviseur degré 1 sur courbe
modulo formule d'extension des scalaires (facile [?])
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex44
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9a2a55c..99fb4cf 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4812,15 +4812,14 @@ où $κ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}
et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus
\[
-ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}
+ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}
\]
-et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
+et $P_K(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, où $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
-\item $P(0)=1$ et $P(1)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard.
-\commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic}
+\item $P_K(0)=1$ et $P_K(1)=h_K$, où $h_K$ est le nombre de classes de diviseurs de degré $0$ de $K$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -5063,7 +5062,7 @@ Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents,
il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$
dans (v) (localisation des pôles et le calcul des résidus),
où l'on rappelle que $d$ est le plus petit degré $>0$
-d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{} \XXX que l'on a $d=1$.
+d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{existence diviseur degré 1} que l'on a $d=1$.
\end{démo}
\begin{remarque2}
@@ -5105,14 +5104,29 @@ est une fonction \emph{entière} telle que $P_K(0)=1$.
Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$
satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation
$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$.
-Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h}{(q-1)\log(q)}$.
-Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h$.
-Ceci achève la démonstration du théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}.
-
-%\begin{lemme2}
-%\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
-%\end{lemme2}
-
+Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$.
+Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h_K$.
+
+\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$}
+\label{existence diviseur degré 1}
+Pour conclure la démonstration du théorème \ref{pôles et équation
+fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorème
+\ref{équation fonctionnelle zêta}), il faut vérifier que, pour tout
+corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Ce fait
+étant pour l'instant inconnu, on a seulement démontré une variante
+affaiblie de \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii) : la fonction
+$Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$ en $T^d$, où $d$ est le
+plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$, et $Q$ a un pôle simple
+en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). En particulier, toute fonction Zêta $Z_L$ d'un
+corps de fonctions $L$ a un pôle simple en $1$ et il en est de même de
+$Z_L(T^n)$ pour tout $n$. Appliquons cette remarque au corps $K_d=K
+⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires
+de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. C'est un
+fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$.
+Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit
+$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un
+pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de
+multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD.
\[⁂\]
@@ -5136,7 +5150,7 @@ $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=
\section{Fonctions $L$}
-[...]
+Cf. Tate ou Swinnerton-Dyer. [...]
\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}
@@ -5309,7 +5323,7 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$.
\XXX
-Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
+Cf. Katz, « Lectures on Deligne's proof of the RH for
varieties over finite fields » (1973-74) et
\cite{Counting@Bombieri}.