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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-13 18:15:56 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-13 18:15:56 +0100 |
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[LG] esquisse démonstration existence diviseur degré 1 sur courbe
modulo formule d'extension des scalaires (facile [?])
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 44 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 9a2a55c..99fb4cf 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -4812,15 +4812,14 @@ où $κ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$. \item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus \[ -ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)} +ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)} \] -et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$. +et $P_K(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$. La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes : \begin{enumerate} \item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ; \item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, où $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$. -\item $P(0)=1$ et $P(1)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard. -\commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic} +\item $P_K(0)=1$ et $P_K(1)=h_K$, où $h_K$ est le nombre de classes de diviseurs de degré $0$ de $K$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -5063,7 +5062,7 @@ Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents, il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$ dans (v) (localisation des pôles et le calcul des résidus), où l'on rappelle que $d$ est le plus petit degré $>0$ -d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{} \XXX que l'on a $d=1$. +d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{existence diviseur degré 1} que l'on a $d=1$. \end{démo} \begin{remarque2} @@ -5105,14 +5104,29 @@ est une fonction \emph{entière} telle que $P_K(0)=1$. Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$ satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation $P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$. -Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h}{(q-1)\log(q)}$. -Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h$. -Ceci achève la démonstration du théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}. - -%\begin{lemme2} -%\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\] -%\end{lemme2} - +Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$. +Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h_K$. + +\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$} +\label{existence diviseur degré 1} +Pour conclure la démonstration du théorème \ref{pôles et équation +fonctionnelle Iwasawa-Tate} (et par conséquent, du théorème +\ref{équation fonctionnelle zêta}), il faut vérifier que, pour tout +corps de fonctions $K$, il existe un diviseur de degré $1$. Ce fait +étant pour l'instant inconnu, on a seulement démontré une variante +affaiblie de \ref{équation fonctionnelle zêta} (iii) : la fonction +$Z_K(T)$ est une fraction rationnelle $Q(T^d)$ en $T^d$, où $d$ est le +plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$, et $Q$ a un pôle simple +en $1$ (cf. $h_K ≠ 0$). En particulier, toute fonction Zêta $Z_L$ d'un +corps de fonctions $L$ a un pôle simple en $1$ et il en est de même de +$Z_L(T^n)$ pour tout $n$. Appliquons cette remarque au corps $K_d=K +⊗_{𝐅_q} 𝐅_{q^d}$ obtenu à partir de $K$ par extension des scalaires +de $𝐅_q$ à $𝐅_{q^d}$ et à l'entier $n=d$. C'est un +fait général (indépendant de l'hypothèse faite sur $d$) \XXX que $Z_{K_d}(T^d)= ∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. +Comme $Z_K$ ne dépend que de $T^d$, cette formule se réécrit +$Z_{K_d}(T^d)=Z_K(T)^d$. Le terme de gauche a un +pôle simple en $T=1$ et le terme de droite un pôle de +multiplicité $d$. On a donc $d=1$. CQFD. \[⁂\] @@ -5136,7 +5150,7 @@ $ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}= \section{Fonctions $L$} -[...] +Cf. Tate ou Swinnerton-Dyer. [...] \section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications} @@ -5309,7 +5323,7 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier Si $\deg(𝔞)>2g-2$, $l(𝔠-𝔞)=0$. \XXX -Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for +Cf. Katz, « Lectures on Deligne's proof of the RH for varieties over finite fields » (1973-74) et \cite{Counting@Bombieri}. |