summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 14:36:33 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-30 14:36:33 (GMT)
commit8a8832fbcf061f55836892b165f523b3fc2e5aaf (patch)
treefc94faea0ff712625fa254f2a6fbcc88ada7caf0 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent7a9bd78f653fe7d82d5601e01999c26df62ee85f (diff)
downloadgalois-8a8832fbcf061f55836892b165f523b3fc2e5aaf.zip
galois-8a8832fbcf061f55836892b165f523b3fc2e5aaf.tar.gz
galois-8a8832fbcf061f55836892b165f523b3fc2e5aaf.tar.bz2
[LG] Dirichlet abstrait ⇒ Dirichlet usuel
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex123
1 files changed, 79 insertions, 44 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 2a2c2be..ca26f4e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2539,7 +2539,6 @@ compacts ; c'est un homéomorphisme.
\subsection{Isomorphismes modulo les compacts}
-
\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est
un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict,
@@ -2868,10 +2867,13 @@ discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image d
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Soit $U$ un ouvert dense de $K$. L'inclusion
$𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
-continue et est un isomorphisme modulo les compacts.
+un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
+Ici et ci-dessous, « isomorphisme modulo les compacts » est synonyme de
+« morphisme \emph{continu} et isomorphisme modulo les compacts ».
+
\begin{démo}
(i). On procède, grâce au théorème précédent, par réduction à deux cas
particuliers, que nous traitons d'abord et de façon identique.
@@ -3099,29 +3101,20 @@ Ainsi l'inclusion diagonale $K^× ↪ ∏_{x ∈ Σ(K)} K^×_x$
se factorise à travers l'inclusion $K^× ↪ K^×_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K^×$
avec son image dans les idèles sur $K$, constituée des
-\emph{idèles principaux}.
-
-\subsubsection{}$K^{×,S}_𝐀$ ; $K^×_𝐀$ ; $K^{×,=1}_𝐀$ ; $C_K=K^×_𝐀/K^×$ ; $C¹_K=K^{×,=1}_𝐀/K^×$.
-$K^{×,∞}_𝐀=∏_{v ∤ ∞} 𝒪_v^× × ∏_{v ∣ ∞} K_v^×$.
-☡ $C_K$ n'est *pas* compact. \XXX Utiliser d'autres notations :
-$K^×_𝐀$ etc.
-
-
-\subsubsection{}Mesure.
+\emph{idèles principaux}. On note $C_K$ le groupe topologique
+quotient $K^×_𝐀/K^×$ des \emph{classes d'idèles} et
+$C_K^{=1}=K^{×,=1}_𝐀 /K^×$ son sous-groupe des classes
+d'idèles de norme $1$. Prendre garde au fait que $C_K$ n'est
+\emph{pas} compact. Cependant on a le résultat suivant.
\begin{théorème2}
-\begin{enumerate}
-\item L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
-topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
-\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient les places infinies,
-l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
-(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
-\end{enumerate}
+\label{theoreme-unites-abstrait}
+L'inclusion canonique $K^× → K^{×,=1}_𝐀$, où $K^×$ est muni de la
+topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts.
\end{théorème2}
\begin{démo}
-(i) ⇒ (ii). [Saitô] p. 236.
-(i). $K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
+$K^×$ est discret dans $K^{×,=1}_𝐀$ car $K$ est discret dans $K_𝐀$ et
la topologie de $K^{×,=1}_𝐀$ induite
$A^×_K ⊆ K_𝐀$ est continu. Il « suffit » de montrer
que $μ(K^×_𝐀/K^×)$ est fini. C'est assez formel grâce à la compacité
@@ -3130,37 +3123,81 @@ Voir aussi [Weil, BNT] IV.§4. Dans [Rosen] lemme 5.6, la démonstration
repose sur RR.
\end{démo}
-corollaire :
+Le théorème précédent a fameux corollaire suivant.
-\begin{théorème2}
-Sous l'hypothèse de (ii),
-\[
-𝒪_K(U)^× ≃ 𝐙^r ⊕ (\text{groupe fini}),
-\]
-où $r=♯U-1$.
+\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
+\label{theoreme-unites-Dirichlet}
+Soit $U$ un ouvert de $K$. L'application « logarithme »
+$f ↦ (\log(|f|_x))_{x ∉ U}$ de $𝒪_K(U)^×$
+vers l'hyperplan $(⨁_{x ∉ U} 𝐑)⁰$ des éléments de somme nulle
+est un isomorphisme modulo les compacts et
+le groupe $𝒪_K(U)^×$ est isomorphe à la somme directe de $𝐙^r$, où $r =
+\max\{\mathrm{card}( Σ(K)∖U)-1,0\}$, et d'un groupe abélien fini.
+En particulier, si $K$ un corps de nombres, $r_{\RR},r_{\CC}$ sont les entiers tels que
+la $𝐑$-algèbre $K_𝐑=K\otimes_{\QQ} \RR$ se décompose en
+$\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$, alors le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entiers $𝒪_K$
+est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}
+\begin{remarque2}
+Lorsque $K$ est un corps de fonctions de corps des constantes $K$,
+il résulte de ce qui précède que le quotient $𝒪_K(U)^×/k^×$ est
+libre de rang $r$. Sous cette forme, c'est un résultat initialement
+dû à F. K. Schmidt (1931) ; cf. \cite[14.2]{Number@Rosen} ou
+\cite[chap. 29]{Zahlen@Hasse} pour des démonstrations non adéliques.
+\end{remarque2}
\begin{démo}
-Point clef : si $𝐑^n/Γ$ est compact et $Γ$ discret,
-alors $Γ$ est un réseau.
+Soit $U$ comme dans l'énoncé.
+Montrons le premier point.
+Le groupe $𝒪_K(U)^×$ n'est autre que l'image inverse du sous-groupe
+$G=\big(∏_{x ∉ U} K^×_x × ∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×\big)^{=1}$ de $K^{×,=1}_𝐀$
+par le plongement diagonal $K^× → K^{×,=1}_𝐀$. D'après le théorème
+\ref{theoreme-unites-abstrait} précédent et \ref{restriction isomorphisme modulo
+compacts}, le morphisme $𝒪_K(U)^× → G$ est donc un isomorphisme modulo les compacts.
+Il en est de même de la projection $G ↠ \big(∏_{x ∉ U} K^×_x \big)^{=1}$,
+par compacité du produit $∏_{u ∈ U} 𝒪_u^×$.
+Enfin, chaque logarithme $K_x^× → 𝐑$, $f↦ \log(|f|_x)$ étant également un isomorphisme
+modulo les compacts (que $x$ soit archimédienne ou ultramétrique),
+il en est de même du produit $ ∏_{x ∉ U} K^×_x → ∏_{x ∉ U} 𝐑$ et de sa restriction à l'hyperplan de somme nulle.
+Par composition (\ref{composé isomorphismes modulo compacts}), on en déduit
+que $𝒪_K(U)^× → \big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ est un isomorphisme modulo les compacts.
+Si $U=Σ(U)$ est vide — cas qui ne peut se produire que si $K$ est un corps
+de fonctions —, le groupe $𝒪_K^×(U)$ est un sous-groupe \emph{compact} du
+groupe \emph{discret} $K^×$ : c'est un groupe abélien fini
+(\ref{discrétion et séparation quotient}, (i)).
+Si $U ≠ Σ(U)$, notons $V$ le $𝐑$-espace vectoriel $\big(∏_{x ∉ U} 𝐑\big)⁰$ ;
+il est de dimension $r$. D'après ce qui précède, $𝒪_K(U)^×$
+est extension de son image $Γ$ par le logarithme, qui est
+un sous-groupe \emph{discret} et \emph{cocompact} de $V$,
+par un sous-groupe fini de $K^×$. La conclusion résulte alors du lemme
+(\ref{reseau-discret-cocompact}) ci-dessous.
\end{démo}
-En particulier :
+\begin{lemme2}
+\label{reseau-discret-cocompact}
+Soient $V$ un $𝐑$-espace vectoriel de dimension finie $r$
+et $Γ$ un sous-groupe discret de $V$ tel que le quotient $V/Γ$
+soit compact. Alors $Γ$ est isomorphe à $𝐙^r$.
+\end{lemme2}
-\begin{théorème2}[Théorème des unités de Dirichlet]
-\XXX
-Soit $K$ un corps de nombres. Soient $r_{\RR},r_{\CC}$ les entiers tels que :
-$$K\otimes_{\QQ} \RR=:K_{\RR} ≃ _{\RR} \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}.$$
-Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
-est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
-\end{théorème2}
+\begin{démo}
+Soit $𝐑 Γ$ le $𝐑$-espace vectoriel engendré par $Γ$ dans $V$.
+Le quotient $V/𝐑 Γ$ est séparé et est l'image continue du compact
+$V/Γ$ ; c'est donc un compact. Comme c'est un $𝐑$-espace vectoriel,
+on a nécessairement $V=𝐑 Γ$ : le groupe discret $Γ$ contient
+une base de $V$. Soit $Γ′$ un sous-groupe engendré par une telle
+base ; on a $Γ′ ⊆ Γ$. Le quotient $Γ/Γ′$ est discret, car $Γ$ l'est,
+et compact, car fermé dans $V/Γ′$ isomorphe au tore $(𝐑/𝐙)^r$.
+Ainsi, $Γ/Γ′$ est un groupe abélien fini et, en particulier,
+il existe un entier non nul $n$ tel que $n(Γ/Γ′)=0$,
+c'est-à-dire $Γ′ ⊆ Γ ⊆ \frac{1}{n} Γ′$.
+La conclusion résulte aussitôt de la théorie
+(élémentaire) des groupes abéliens de type fini.
+Cf. \cite{} \XXX.
+\end{démo}
-\begin{remarque2}
-Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
-F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.
-Cf. p. ex., [Hasse], chap. 29 ou [Rosen, chap. 14] pour démonstrations non adéliques.
-\end{remarque2}
+\subsubsection{}Mesure.
\begin{théorème2}
Soit $K$ un corps global.
@@ -3179,8 +3216,6 @@ Le fait que l'on tombe sur $q^𝐙$ et pas $q^{n 𝐙}$,
c'est-à-dire qu'il existe un diviseur de degré $1$, est non
trivial. (Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
-
-
\subsection{Quasi-caractères multiplicatifs d'un corps global}
\label{quasi-caractères globaux}
D'après \ref{quasi-caractères Rplusétoile} et