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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 11:47:23 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 11:47:23 (GMT)
commit8b2f0fd949c235af04c9997e8480f26ed41e112f (patch)
tree836c114f1fc6b8cefe6c6cf19000f2d31898af72 /chapitres/locaux-globaux.tex
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index d880836..79c6280 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4260,7 +4260,7 @@ d'oĂč $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≄ 0$. Absurde.
\begin{corollaire2}
\label{existence de fonctions ayant pÎles imposés}
Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
-\emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$, dont l'ensemble des pÎles est exactement $Y$.
+\emph{fini}. Il existe une fonction $f ∈ K$ dont l'ensemble des pÎles est exactement $Y$.
\end{corollaire2}
\begin{démo}
@@ -4273,17 +4273,12 @@ en ce point. La fonction $f = ∑_{y ∈ Y} f_y$ convient.
%Cf. Mittag-Leffler, problĂšme de Cousin etc. \XXX
-\subsection{❡ Corps de fonctions et courbes algĂ©briques}
-Dans ce bref paragraphe, on fait le lien entre les corps
-de fonctions et les courbes algébriques.
-Commençons par la conséquence suivante du théorÚme de Riemann-Roch.
-
-\begin{proposition2}
+\begin{corollaire2}
\label{RR implique Dedekind de type fini}
-Soient $K$ un corps de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
+Soient $K$ un corps global de fonctions, de corps des constantes $k$, et $U$ un ouvert dense.
Le sous-anneau $đ’Ș_K(U)$ de $K$ est un anneau de Dedekind de type fini sur $k$.
De plus, son corps des fractions est $K$ sauf si $U=Σ(K)$, auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
-\end{proposition2}
+\end{corollaire2}
\begin{démo}
Supposons $U ≠ ÎŁ(K)$. D'aprĂšs \ref{existence de fonctions ayant pĂŽles imposĂ©s},
@@ -4311,59 +4306,10 @@ les fonctions rationnelles sans pĂŽles sont les constantes.
La conclusion en résulte.
\end{démo}
- \[⁂\]
-
De plus, $\Spec(đ’Ș_K(U))=U âˆȘ \{(0)\}$.
Cf. [Rosen, p. 247] \XXX
-\subsubsection{}Si l'on muni l'ensemble $Σ$ de la topologie
-de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
-en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
-vide, le foncteur $đ’Ș_K:U↩ đ’Ș_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
-$(ÎŁ,đ’Ș_K)$ est \textbf{espace annelĂ©} d'un type particulier, appelĂ© \textbf{schĂ©ma}.
-Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$.
-\XXX
-\item Les résultats de la proposition précédente ont
-été établis en \ref{sections globales droite projective}
-lorsque $K=𝐅_p(t)$.
-\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
-affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
-%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
-
-\begin{proposition2}
-Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynÎme
-géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
-intĂšgre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
-\begin{enumerate}
-\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
-\item $ÎŁ(K_f) ∌ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection Ă  ensemble fini prĂšs).
-Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
-un Ă©lĂ©ment non nul $a ∈ X_f$ tels que $đ’Ș_K(U)$ soit
-$k$-isomorphe Ă  $X_f[a^{-1}]$.
-\end{enumerate}
-\end{proposition2}
-
-\begin{démo}
-(i) Le corps $K_f$ est de type fini et de degré de transcendance $1$ sur $k$.
-(Le polynÎme $f$ est irréductible donc non constant.) C'est donc un corps
-global. L'anneau $K_f ⊗_k k\alg$ est isomorphe Ă  un localisĂ© de l'anneau $X_f ⊗_k k\alg$.
-Le polynÎme $f$ étant \emph{géométriquement} irréductible), l'anneau
-$X_f ⊗_k k\alg$ est intĂšgre (et rĂ©ciproquement), et par consĂ©quent $K_f ⊗_k
-k\alg$ aussi.
-D'aprÚs \refext{AC}{}, le corps $k$ est intégralement clos dans $K_f$ : c'est
-son corps des constantes.
-(ii) Soit $U$ un ouvert arbitraire strict de $Σ(K)$. Les $k$-algÚbres $A=X_f$
-et $B=đ’Ș_{K_f}(U)$ sont de type fini et ont mĂȘme corps des fractions. Il en rĂ©sulte (\XXX)
-qu'il existe $a ∈ A-\{0\}$ et $b ∈ B-\{0\}$ tels que $A[a^{-1}]$ et $B[b^{-1}]$ soient
-$k$-isomorphes. Soit $S$ le support (fini) de $\div₀(b)$. Le sous-anneau $B[b^{-1}]$
-de $K_f$ est inclus dans $đ’Ș_{K_f}(U - S)$. Cette inclusion est une Ă©galitĂ© car si $g ∈ đ’Ș_{K_f}(U
-- S)$, il existe un entier $n$ tel que la fonction $b^n g$ n'ait pas de pÎle en les points
-de $S$ et, partant, appartienne à $đ’Ș_{K_f}(U)$.
-\end{démo}
-
-
-
\subsection{Calculs de volumes}
\subsubsection{IdÚle différentiel}
@@ -5214,6 +5160,55 @@ Utilise :
— transformĂ©e de Mellin + formule de Poisson pour dĂ©montrer Ă©quation fonctionnelle.
+
+
+\section{Courbes algébriques}Si l'on munit l'ensemble $Σ$ des places d'un corps global
+de caractéristique positive la topologie
+de Zariski (cf. \refext{AC}{espace-topologique-SpecA}),
+en décrétant qu'un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou
+vide, le foncteur $đ’Ș_K:U↩ đ’Ș_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneaux et la paire
+$(ÎŁ,đ’Ș_K)$ est \textbf{espace annelĂ©} d'un type particulier, appelĂ© \textbf{schĂ©ma}.
+Plus précisément, c'est une courbe projective lisse sur $k$.
+\XXX
+\item Les résultats de la proposition précédente ont
+été établis en \ref{sections globales droite projective}
+lorsque $K=𝐅_p(t)$.
+\item \XXX Attention : il existe des anneaux de Dedekind dont un ouvert
+affine n'est pas un ouvert principal. (Cf. torsion dans le groupe de Picard.)
+%(Cf. Joël Riou, forum 2007.)
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynÎme
+géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
+intĂšgre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
+\begin{enumerate}
+\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
+\item $ÎŁ(K_f) ∌ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection Ă  ensemble fini prĂšs).
+Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
+un Ă©lĂ©ment non nul $a ∈ X_f$ tels que $đ’Ș_K(U)$ soit
+$k$-isomorphe Ă  $X_f[a^{-1}]$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+(i) Le corps $K_f$ est de type fini et de degré de transcendance $1$ sur $k$.
+(Le polynÎme $f$ est irréductible donc non constant.) C'est donc un corps
+global. L'anneau $K_f ⊗_k k\alg$ est isomorphe Ă  un localisĂ© de l'anneau $X_f ⊗_k k\alg$.
+Le polynÎme $f$ étant \emph{géométriquement} irréductible), l'anneau
+$X_f ⊗_k k\alg$ est intĂšgre (et rĂ©ciproquement), et par consĂ©quent $K_f ⊗_k
+k\alg$ aussi.
+D'aprÚs \refext{AC}{}, le corps $k$ est intégralement clos dans $K_f$ : c'est
+son corps des constantes.
+(ii) Soit $U$ un ouvert arbitraire strict de $Σ(K)$. Les $k$-algÚbres $A=X_f$
+et $B=đ’Ș_{K_f}(U)$ sont de type fini et ont mĂȘme corps des fractions. Il en rĂ©sulte (\XXX)
+qu'il existe $a ∈ A-\{0\}$ et $b ∈ B-\{0\}$ tels que $A[a^{-1}]$ et $B[b^{-1}]$ soient
+$k$-isomorphes. Soit $S$ le support (fini) de $\div₀(b)$. Le sous-anneau $B[b^{-1}]$
+de $K_f$ est inclus dans $đ’Ș_{K_f}(U - S)$. Cette inclusion est une Ă©galitĂ© car si $g ∈ đ’Ș_{K_f}(U
+- S)$, il existe un entier $n$ tel que la fonction $b^n g$ n'ait pas de pÎle en les points
+de $S$ et, partant, appartienne à $đ’Ș_{K_f}(U)$.
+\end{démo}
+
+
\section{Notes}
Pour la transformation de Fourier :