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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-26 15:03:01 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-26 15:03:01 +0200
commit917d103a2e4caf53b8e61397980e9780ea33d012 (patch)
tree0954d85b772835deb77b0bfa0c81551d9cff63a5 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] sorite sur les quotients de groupes topologiques (séparation, etc.)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex33
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 8ce7279..9112efc 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2300,12 +2300,10 @@ quelconque car $ūĚí™_K(U)$ est une alg√®bre de type fini sur un corps
\subsubsection{Topologie quotient}
Soient¬†$X$ un espace topologique et¬†$‚ąľ$ une relation d'√©quivalence
-sur¬†$X$. La topologie la plus fine sur le quotient¬†$X / ‚ąľ$
-rendant la surjection canonique $X ‚܆ X/‚ąľ$ est appel√©e \emph{topologie
-quotient}¬†: sous-ensemble¬†$V$ de¬†$X/‚ąľ$ est ouvert si et seulement si son image
+sur¬†$X$. La topologie la plus fine sur le quotient¬†$X /\hspace{-.3em}‚ąľ$
+rendant la surjection canonique $X ‚܆ X/\hspace{-.3em}‚ąľ$ est appel√©e \emph{topologie
+quotient}¬†: sous-ensemble¬†$V$ de¬†$X/\hspace{-.3em}‚ąľ$ est ouvert si et seulement si son image
r√©ciproque¬†$ŌÄ^{-1}(V)$ est un ouvert de¬†$X$.
-Ce quotient est séparé si et seulement si chaque classe d'équivalence est fermée.
-\XXX
\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe.
Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
@@ -2316,14 +2314,12 @@ Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
avec cette structure : on obtient un groupe topologique.
-Pour référence ultérieure, résumons les observations précédentes sous la forme d'une proposition.
-
\begin{proposition2}
-Soit¬†$G$ un groupe topologique et soit¬†$H ‚ȧ G$ un sous-groupe topologique.
+Soit $G$ un groupe topologique.
\begin{enumerate}
\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
-\item Le quotient $G/H$ est discret (resp. séparé) si et seulement si le
-sous-groupe $H$ est ouvert (resp. fermé).
+\item Le quotient $G/H$ de $G$ par un sous-groupe $H$ est discret (resp. séparé)
+si et seulement si $H$ est ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2337,10 +2333,19 @@ est quasi-compact mais pas nécessairement discret.) % cf. topologie discrète p
(ii) Le quotient $G/H$ est discret si et seulement si chaque singleton est ouvert,
ou encore ‚ÄĒ¬†l'action transitive de¬†$G$ √©tant continue¬†‚ÄĒ,
si et seulement si le singleton $\{\sur{e}\}$ correspondant à la classe de l'élément neutre
-de¬†$G$ est ouvert. Or, par d√©finition, $ŌÄ^{-1}(\{\sur{e}\})=H$.
-D'après les rappels ci-dessus
-Considérons maintenant la question de la séparabilité du quotient $X=G/H$.
-[...]
+de $G$ est ouvert. Or, par définition, l'image inverse de ce singleton
+par la surjection canonique $G ↠ G/H$ est le sous-groupe $H$ ; il est donc
+ouvert dans $G$. Considérons maintenant la question de la séparation du quotient.
+Si $G/H$ est séparé, le singleton $\{\sur{e}\}$ est fermé,
+ainsi donc que son image inverse $H$.
+Afin d'établir la réciproque, supposons maintenant $H$ fermé. Soient $x,y
+‚ąą G$ tels que $xH ‚Ȇ yH$, ce qui correspond √† l'in√©galit√© des points $\sur{x} ‚Ȇ \sur{y}$ dans le quotient.
+L'application $őľ:(g,g‚Ä≤)‚ܶ g^{-1} g‚Ä≤$, $G√óG ‚Üí G$ est continue et le compl√©mentaire
+$G-H$ est ouvert. L'image réciproque de $G-H$ dans le produit $G×G$ est donc un
+ouvert, contenant la paire $(x,y)$. Il existe donc deux voisinages ouverts $V_x$
+et¬†$V_y$ de¬†$x$ et¬†$y$ respectivement tels que $őľ(V_x √ó V_y) ‚äÜ G-H$. On a $V_x H
+‚ą© V_y H =‚ąÖ$¬†: les voisinages ouverts de¬†$\sur{x}$ et¬†$\sur{y}$ dans¬†$G/H$ sont
+donc disjoints.
\end{démo}