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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:14:07 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:14:07 +0100
commit922fb007996288ce3b8c3874113d050a029d1ea5 (patch)
tree9258aa4b028e77e602b043c700155d4cd67370ef /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] suppression démonstration ad hoc pôle simple en s=1
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex79
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 7945c3e..db3d99a 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3036,85 +3036,6 @@ soit de cardinal fini, équivalent à $N_{\mathsf{C}}\cdot t$ pour $t→ +\infty
Ce corollaire est le point clef permettant d'établir
le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
-Le lecteur pourra être intéressé par la démonstration relativement
-directe et élémentaire de ce fait, qui n'utilise aucune technique
-adélique ni analyse harmonique.
-
-\begin{démo}[Esquisse de démonstration directe du corollaire \ref{pôle simple en 1 cdn}]
-Soit $\mathsf{C}\in \Pic(𝒪_K)$. Choisissons un idéal $\got{b_{\mathsf{C}}}\in \mathsf{C}^{-1}$.
-La correspondance
-$$
-\got{a} \mapsto (\alpha_{\got{a}}):=\got{a}\got{b}_{\mathsf{C}}\subset 𝒪_K
-$$
-établit une bijection entre l'ensemble dont on veut estimer la taille et
-$$
-\{(\alpha)\subset 𝒪_K,\ \alpha\in \got{b}_{\mathsf{C}}-\{0\},\
-|\mathrm{N}_{K/\QQ}(\alpha)|\leq t \mathrm{N}(\got{b}_{\mathsf{C}})\}.
-$$
-Compter les idéaux principaux $(\alpha)$ revient à « compter les $\alpha$ modulo
-les unités ». Le groupe des unités pouvant être infini, il faut faire attention.
-Négliger les unités revient à considérer l'ensemble
-quotient $P(\got{b}_\mathsf{C}):=\got{b}_\mathsf{C} / 𝒪_K^{\times}$,
-où $𝒪_K^{\times}$ agit naturellement par multiplication : il classifie
-en effet les idéaux principaux contenus dans $\got{b}_\mathsf{C}$.
-C'est naturellement un monoïde multiplicatif, à travers lequel
-la norme $x\in \got{b}_\mathsf{C}\subset 𝒪_K\mapsto N(x):=|\mathrm{N}_{K/\QQ}(x)|\in \ZZ$
-se factorise.
-Quitte à normaliser $t$, et rajouter l'idéal nul, on veut donc compter
-$$
-\{ x \in P(\got{b}_\mathsf{C}),\ N(x)\leq t\}.
-$$
-Soit $X_{\got{b}_\mathsf{C}}$ une partie de $ \got{b}_\mathsf{C}$ s'envoyant isomorphiquement sur
-$P(\got{b}_\mathsf{C})$ :
-$$
-\xymatrix{
-\got{b}_\mathsf{C} \ar@{->>}[r] & P(\got{b}_\mathsf{C}) \\
-X_{\got{b}_\mathsf{C}} \ar@{^(->}[u] \ar[ur]^{\sim} \ar@{^(->}[r] & K_{\RR}
-}
-$$
-Le sous-ensemble $X_{\got{b}_\mathsf{C}} \cap \{x\in K_{\RR}, N(x)\leq t\}$ de $K_{\RR}$,
-dont on veut estimer la taille, est compliqué pour un relèvement
-arbitraire.
-On va voir, à l'aide du logarithme, qu'il existe une partie
-$X\subset K_{\RR}$ (indépendante de $\got{b}_{\mathsf{C}}$), sorte
-de domaine fondamental pour l'action de $𝒪_K^{\times}$, telle
-que $X_{\got{b}_\mathsf{C}}=\got{b}_\mathsf{C}\cap X$ et $X_t:=\{x\in X, N(x)\leq t\}$
-soit égal à $t^{1/[k:\QQ]} X_{1}$.
-Le théorème résultera alors du fait suivant et du fait que $\vol(X_1)\neq 0$.
-
-\begin{quote}
-Soient $Y$ un partie mesurable [OU MIEUX] bornée de $\RR^{n}$ et $B$ un réseau de $\RR^{n}$.
-Alors, si $\vol(Y)>0$,
-$$
-\#(B\cap aY)\dessusdessous{a→ +\infty}{\sim} \frac{\vol(Y)}{\mathrm{covol}(B)} a^{n}.
-$$
-\end{quote}
-
-
-Pour simplifier les notations, posons $\sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}:=\RR^{r_\RR+r_\CC}\coprod
-\{\infty\}$
-et posons $\log(x)=\infty$ pour tout $x\in K_{\RR}-K_{\RR}^{\times}$. C'est encore
-un morphisme de monoïdes, si l'on pose $v+\infty=\infty$ pour tout $v\in \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$.
-On a vu au cours de la démonstration de \ref{Dirichlet-unités}
-que $\log:𝒪_K→ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}$ a un noyau fini,
-nécessairement contenu dans l'ensemble des unités, et que
-l'image de celles-ci forme un réseau $\Lambda$ de l'hyperplan $H:=\{\sum x_i = 0\}$.
-Ainsi, le logarithme induit une injection :
-$P(\got{b}_\mathsf{C})↪ \sur{\RR}^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
-
-Soit $D:=(\underbrace{1,\dots,1}_{r_{\RR}},\underbrace{2,\cdots,2}_{r_\CC})$ un supplémentaire
-de $H$ dans $\RR^{r_\RR+r_\CC}$ et $P$ un parallélotope fondamental semi-ouvert
-de $\Lambda$ dans $H$, de sorte que l'on a une bijection
-$D\oplus P ⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$ induite par la projection
-canonique $D\oplus H=\RR^{r_\RR+r_\CC}↠ \RR^{r_\RR+r_\CC}/\Lambda$.
-[FIGURE]
-Soit $X\subset K_{\RR}$ la préimage de $D\oplus P\coprod \{\infty\}$ par le
-logarithme ; il répond à notre question. En effet, comme
-$N(ax)=a^{[K:\QQ]}N(x)$ pour tout $a\geq 0$ et $x\in K_{\RR}$,
-la propriété $X_{t}=t^{1/[K:\QQ]}X_1$ est équivalente au fait que pour
-tout $a\in \RR$, $aX\subset X$. Or, si $x\in X$, $\log(ax)=\log(x)+ \log(|a|)(1,\cdots,1,2,\cdots,2)$. (On pose $\log(0)v=\infty$.)
-Enfin, $X_1$ est mesurable, de volume non nul.
-\end{démo}
\subsection{$ζ(s,χ,f)$}