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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-08 14:43:22 +0100
committerFabrice (Phare) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-08 14:43:22 +0100
commit926c58dc24de5fa13037ff5b5611abb3704d2076 (patch)
treeb44dfee8eea09288b2a2cc9085b9c10dbbd84315 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent7cc5c99986e22152c133dfe7dcffbdd467967044 (diff)
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[LG] les éléments d'un corps global sont entiers en presque tout point.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex47
1 files changed, 39 insertions, 8 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 43bcaea..2853896 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -791,6 +791,11 @@ Cela résulte de \refext{AVD-D}{EVT sur corps valué
complet}. (Notons que $L$ est non discret
car son sous-corps $K$ ne l'est pas.)
+De plus, le corps $L$ est isomorphe comme $K$-espace
+vectoriel topologique à $K^d$ où $d=[L:K]$.
+Il en résulte que la restriction à $K$ du
+module $| ⋅ |_L$ est $| ⋅|_K^d$.
+
\subsection{Mesure de Tamagawa locales}
\label{mesures Tamagawa locales}
@@ -2109,7 +2114,11 @@ Or, on a vu ci-dessus que si $K=𝐐$ ou $K=𝐅_p(t)$,
chaque $K_x$ est un corps local ; tout corps global $L$
étant extension finie d'un tel corps global « premier » $K$,
les $L_y$ sont locaux.
-
+Rappelons (\ref{extension finie corps local est local})
+que la restriction à $K_x$ de la valeur
+absolue normalisée $|⋅|_y$ n'est en général pas égale à $|⋅|_x$
+(mais plutôt à la puissance $[L_y:K_x]$-ième
+de celle-ci). Voir aussi \refext{AVD-D}{définition indice de ramification}.
\begin{proposition2}
\label{toute courbe est revêtement ramifié de P1}
@@ -2151,15 +2160,37 @@ Soit $K$ un corps global et soit $f ∈ K$.
Pour presque tout $x ∈ Σ(K)$, $|f|_x ≤ 1$.
\end{proposition2}
-Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x ≤ 1$ et $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x ≤ 1$
-donc $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.
+Si $f ∈ K^×$, on a $|f|_x^{-1}=|f^{-1}|_x$
+de sorte qu'il résulte de la proposition précédente
+que $|f|_x=1$ pour presque tout $x$.
\begin{démo}
-Caractéristique $p$ : facile (réduction au cas $𝐅_p(t)$
-en regardant $𝐅_p(f)$.
-Caractéristique $0$ : bidouille à faire.
-Argument général ?
-\XXX
+Si $K$ est un corps global \emph{premier} cela résulte
+de la description explicite de ses valeurs absolues (cf. \refext{}{}).
+Il nous suffit donc de montrer que si $L \bo K$ est une extension
+finie de corps globaux, la conclusion est valide pour $L$ si elle
+l'est pour $K$. Soit $f ∈ L$. Il existe des éléments $a_i ∈ K$ et un entier $n$
+tels que $f^n=a₁ f^{n-1} + \cdots + a_n$. Par hypothèse, pour presque
+tout $x ∈ Σ(K)$, on a $|a_i|_x ≤ 1$ (c'est-à-dire $a_i ∈ 𝒪_x$,
+ou encore : « les $a_i$ sont $x$-entiers »).
+D'après \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}, ce résultat
+est également vrai pour presque tout $y ∈ Σ(L)$.
+Or, pour chaque $y$ tel que les $a_i$ soient $y$-entiers,
+il en est de même de $f$.
+En effet, on peut réécrire la relation de dépendance algébrique
+$1=a₁ f^{-1} + \cdots + a_n f^{-n}$ ; si $|f|_y > 1$,
+le terme de droite est de valeur absolue strictement inférieure à $1$.
+Absurde.
+\end{démo}
+
+\begin{démo}[Seconde démonstration dans le cas d'un corps de fonctions]
+Si l'élément $f ∈ K$ est algébrique sur $𝐅_p$, et non nul,
+il est multiplicativement d'ordre fini donc $|f|=1$ pour toute
+valeur absolue. Dans le cas contraire, l'extension $K \bo 𝐅_p(f)$ est finie
+et, comme indiqué ci-dessus, le résultat est connu
+pour le corps de fonctions transcendant pur $K₀=𝐅_p(f)$.
+Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un entier $n$
+(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}
\begin{proposition2}