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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 16:28:08 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-29 16:28:08 +0200
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[LG] précisions + calcul d'intégrale
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex157
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@@ -133,7 +133,7 @@ l'intégration. Cf. Bourbaki, \emph{op. cit.} et les rappels
\subsection{Mesures}
-
+\label{généralités sur mesures}
On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
@@ -384,8 +384,10 @@ $𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
\begin{remarque2}
L'existence d'un caractère non trivial a été établie
-ci-dessus. C'est également un fait général qui résulte
-de la dualité de Pontrâgin.
+ci-dessus ; pour une autre démonstration de ce fait,
+cf. \cite[8.1.1]{introduction@Igusa}.
+Signalons que la non-trivialité de $\chap{K}$ est également
+un corollaire de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
@@ -585,7 +587,8 @@ sur $U$. Ainsi, le groupe topologique $K^×$
est isomorphe au produit direct $U × K^×_{>0}$,
où l'on note $K^×_{>0}$ le sous-groupe $𝐑^×_{>0}$
(resp $ϖ^𝐙$) de $K^×$. (Notons que dans le cas
-ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$.)
+ultramétrique $K^×_{>0}$ est isomorphe au groupe $𝐙$ et $U$
+égal à $𝒪^×$.)
\begin{définition2}
\label{quasi-caractère}
@@ -596,17 +599,37 @@ ramifié} ou \emph{net} s'il est trivial sur le sous-groupe
$U=\{y ∈ K^×: |y|=1\}$ de $K^×$.
\end{définition2}
-\subsubsection{}Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné}.
-Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
+\begin{définition2}
+\label{définition conducteur}
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
+ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
+noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
+que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
+\end{définition2}
+
+En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
+d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
+si il est de conducteur nul. Traditionnellement, on note
+aussi $𝔣_χ$ l'\emph{idéal conducteur} $𝔪^{a(χ)}$ d'un
+quasi-caractère $χ$.
+
+Un caractère multiplicatif est un quasi-caractère \emph{borné} ; si $K^×$ était compact, tout
+quasi-caractère serait un caractère.
+
+\subsubsection{}Pour tout nombre complexe $s$, la fonction $ω_s: K^× → 𝐂^×$, $x ↦ |x|^s$ est un quasi-caractère
multiplicatif net.
\begin{proposition2}
\label{description quasi-caractères}
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
-où $χ₁$ est un caractère de $U$ et $s$ est un nombre complexe $s$ bien défini
+où $χ₁$ est un caractère de $U$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
-(resp. archimédien). De plus, $χ$ est net si et seulement si $χ₁=1$.
+(resp. archimédien). Si $K$ est archimédien (resp.
+ultramétrique), le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^n$,
+où $n ∈ 𝐙$, unique si $K=𝐂$ et unique modulo $2$ si $K=𝐑$
+(resp. se factorise de façon unique à travers un caractère du groupe
+fini $U/(1+𝔣_χ)$, où $𝔣_χ$ est l'idéal conducteur de $χ$).
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -632,60 +655,111 @@ immédiat.
\end{démo}
\begin{définition2}
-Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps local
-ultramétrique $K$. On appelle \emph{conducteur} de $χ$,
-noté $a(χ)$, le plus petit entier $n ≥ 0$ tel
-que $χ(1+𝔪^n)=\{1\}$, où l'on fait la convention que $1+𝔪⁰=𝒪^×$.
+Soit $χ=χ₁ ω_s$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
+local. Le nombre réel $\Re(s)$ est appelé \emph{partie
+réelle} de $χ$, noté $\Re(χ)$.
\end{définition2}
-En particulier, un quasi-caractère multiplicatif
-d'un corps local ultramétrique est net si et seulement
-si il est de conducteur nul.
\subsection{Transformée de Mellin}
- \[⁂\]
-
-\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
-sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
-multiplicative sur $K^×$ définie par
-\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
-\]
-c'est-à-dire
+\subsubsection{Mesures multiplicatives}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive sur
+un corps local $K$. Rappelons que l'on note $q$ le cardinal du corps résiduel
+lorsque $K$ est ultramétrique ; convenons ici de poser $q=∞$
+si $K$ est archimédien.
+La mesure sur $K^×$ définie par
\[
-∫_{K^×} f d μ^{\mbox{\minus $×$}} = \frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}}
-f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
+μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅
+μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
\]
-pour chaque $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$ si $K$ est ultramétrique et
+où l'on convient que $∞^{-1}=0$, est une mesure de Haar (cf.
+§\ref{généralités sur mesures}) : si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
+la fonction $f ω_{-1}$, ou plutôt son prolongement
+$\gtilde{f ω_{-1}}$ par $0$ en zéro,
+appartient à $𝒞_c(K,𝐂)$ et la forme linéaire
\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
+f ↦ \frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(\gtilde{f ω_{-1}})=
+\frac{1}{1-q^{-1}} ∫_{K-\{0\}} f(x)|x|^{-1} d μ^{\mbox{\minus $+$}}(x)
\]
-sinon.
+est une mesure de Radon positive, invariante par
+multiplication (cf. \ref{module=module}).
-Dans le cas ultramétrique, on utilise
-implicitement le fait que si $f ∈ 𝒞_c(K^×,𝐂)$,
-la fonction $f ω_{-1}$, prolongée par zéro à $K$,
-est également dans $𝒞_c(K^×,𝐂)$. Détailler \XXX
-Notons que, dans ce cas,
+On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ la mesure de Haar
+multiplicative associée à la mesure de Tamagawa $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+(\ref{mesures Tamagawa locales}).
+
+\begin{lemme2}
+Si $K$ est ultramétrique, on a
+l'égalité
\[
μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
+En particulier, $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(𝒪^×)=1$.
+\end{lemme2}
+\begin{démo}
+En effet, le terme de gauche est, par construction, égal à
+$\frac{1}{1-q^{-1}} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)$.
+Or, $𝒪^×$ est extension du groupe $k^×$ (de
+cardinal $q-1$) par le groupe $1+𝔪=1+ϖ 𝒪$. On a donc
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪^×)=(q-1) μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(1+𝔪)$. D'autre part, $μ^{\mbox{\minus $+$}}(1+𝔪)=μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(𝔪)=q^{-1} μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)$, où
+la dernière égalité résulte de \ref{module=module}.
+\end{lemme2}
\begin{lemme2}
-Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
+Soit $χ$ un quasi-caractère multiplicatif d'un corps
+ultramétrique $K$, de partie réelle $\Re(χ)>0$. Alors, pour tout $x ∈ K$ et tout $e ∈ 𝐙$
+la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ ∈ L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$
+et l'on a l'égalité :
+\[
+∫_{x+𝔪^e} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=
+\begin{cases}
+\frac{χ(ϖ)^e}{1-χ(ϖ)} & \text{si $v(x) ≥ e$ et $χ₁=1$} ;\\
+χ(x) \frac{q^{e-v(x)}}{1-q^{-1}} & \text{si $v(x)< e$ et ${χ₁}_{|1 + 𝔪^{e-v(x)}}=1$} ;\\
+0 & \text{sinon}.
+\end{cases}
+\]
\end{lemme2}
-(Cette condition est bien indépendante du choix
-de $μ^{\mbox{\minus $+$}})$.)
+\begin{démo}
+Supposons $x ∈ 𝔪^e$. Pour chaque $r ≥ e$, on a l'égalité
+\[
+∑_{i=e}^r ∫_{𝔪^i U} χ  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=(∑_e^r
+χ(ϖ)^i) ⋅ ∫_U χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁.
+\]
+Si $χ₁$ est non-trivial, cette somme est nulle
+(cf. \ref{Fourier et mesure locaux}, démonstration) ;
+sinon, elle vaut $∑_e^r χ(ϖ)^i$, où $|χ(ϖ)|<1$ par
+hypothèse sur $\Re(χ)$. L'intégrabilité
+de la fonction $𝟭_{x+𝔪^e} χ$ ainsi que le calcul de
+l'intégrale sont maintenant évident. (Noter que
+$\Re(|χ|)=\Re(χ)$.) Si $x ∉ 𝔪^e$, tout élément de $x + 𝔪^e$ s'écrit de façon
+unique $x ⋅ u ′$ où $u ′$ appartient au sous-groupe $U ′ =1
++ 𝔪^{e-v(x)}$ de $U$. La conclusion résulte alors
+immédiatement de l'égalité $χ(x u ′)=χ(x) χ₁(u ′)$,
+du fait que $∫_{U ′} χ₁  dμ^{\mbox{\minus $×$}}₁=0$
+si la restriction de $χ₁$ à $U′$ est non-triviale (orthogonalité
+des caractères) et de l'égalité $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁(U
+′) = \frac{q^{e - v(x)}}{1-q^{-1}}$.
+\end{démo}
+
+\begin{proposition2}
+Soit $f ∈ 𝒮(K)$ et $χ$ un quasi-caractère multiplicatif de $K$.
+La fonction $f_{|K^×} ⋅ χ$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$ dès lors que $\Re(χ)>0$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
-Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, chaque $ψ
-∈ \chap{K}-\{0\}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+\end{démo}
+
+$\chap{K^×}$ (un caractère), et $ψ ∈ \chap{K}-\{0\}$. et chaque $s ∈ 𝐂$ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
\[
ζ_ψ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
\]
+
(Cette fonction zêta locale dépend de $ψ$ à une constante
multiplicative non nulle près.)
@@ -721,6 +795,11 @@ Exemples de $γ$.
$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
+\subsection{Références}
+
+Deligne, Weil Ⅱ, chap. Ⅱ.
+
+
\section{Corps globaux}
\subsection{Définitions}