summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-19 17:25:42 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-19 17:25:42 +0200
commit9406753bd2176c03ca8ed8ac73de2ed6e3d64b48 (patch)
tree59c41a24b641de0dd390a9bad499f3be77a83235 /chapitres/locaux-globaux.tex
parentb69de5b220eb7d0cb6dacf9c98735ca03cc81f48 (diff)
downloadgalois-9406753bd2176c03ca8ed8ac73de2ed6e3d64b48.tar.gz
galois-9406753bd2176c03ca8ed8ac73de2ed6e3d64b48.tar.bz2
galois-9406753bd2176c03ca8ed8ac73de2ed6e3d64b48.zip
[LG] début sorites sur groupes topologiques (bientôt : idèles)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex51
1 files changed, 46 insertions, 5 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index cf66e57..8ce7279 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -16,7 +16,6 @@
\input{.cv}
\usepackage{stmaryrd}
-%\usepackage{MnSymbol}
\usepackage{graphics}
\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{srcltx}
@@ -2288,21 +2287,63 @@ $A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
\begin{remarque2}
\label{normalise dans étale donc fini}
-Il résulte de \refext{AC}{} que si $L\bo K$ est étale,
-$𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
+Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
+que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
+Ce résultat de finitude est encore vrai lorsque $L\bo K$ est une extension finie
+quelconque car $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
+(cf. \ref{RR implique Dedekind de type fini}).
\end{remarque2}
\section{Adèles, idèles}
\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}
+\subsubsection{Topologie quotient}
+Soient $X$ un espace topologique et $∼$ une relation d'équivalence
+sur $X$. La topologie la plus fine sur le quotient $X / ∼$
+rendant la surjection canonique $X ↠ X/∼$ est appelée \emph{topologie
+quotient} : sous-ensemble $V$ de $X/∼$ est ouvert si et seulement si son image
+réciproque $π^{-1}(V)$ est un ouvert de $X$.
+Ce quotient est séparé si et seulement si chaque classe d'équivalence est fermée.
+\XXX
+
+\subsubsection{}Soit $G$ un groupe topologique et soit $H$ un sous-groupe.
+Comme à notre habitude, on note $G/H$ le quotient de $G$ par la relation d'équivalence
+$x ∼ y$ si et seulement si $x^{-1}y ∈ H$ ; sauf mention du contraire,
+il est équipé de la topologie quotient. On vérifie immédiatement que l'action de $G$
+sur $G/H$ par translation est continue ; elle est bien sûr transitive.
+Lorsque $H$ est distingué dans $G$, l'espace homogène $G/H$
+est naturellement un groupe et sa topologie est compatible
+avec cette structure : on obtient un groupe topologique.
+
+Pour référence ultérieure, résumons les observations précédentes sous la forme d'une proposition.
+
\begin{proposition2}
+Soit $G$ un groupe topologique et soit $H ≤ G$ un sous-groupe topologique.
\begin{enumerate}
-\item compact et discret implique fini.
-\item $G/H$ discret (resp. séparé) ↔ $H$ ouvert (resp. fermé).
+\item Si $G$ est quasi-compact et discret, il est \emph{fini}.
+\item Le quotient $G/H$ est discret (resp. séparé) si et seulement si le
+sous-groupe $H$ est ouvert (resp. fermé).
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+(i) Cette implication est vraie pour tout espace topologique $X$.
+Si $X$ est discret, les singletons $\{x\}$, pour $x ∈ X$, sont ouverts et
+recouvrent $X$. Si $X$ est de plus quasi-compact, il en existe un
+sous-recouvrement fini, CQFD. (Notons qu'un espace topologique fini
+est quasi-compact mais pas nécessairement discret.) % cf. topologie discrète par exemple.
+
+(ii) Le quotient $G/H$ est discret si et seulement si chaque singleton est ouvert,
+ou encore — l'action transitive de $G$ étant continue —,
+si et seulement si le singleton $\{\sur{e}\}$ correspondant à la classe de l'élément neutre
+de $G$ est ouvert. Or, par définition, $π^{-1}(\{\sur{e}\})=H$.
+D'après les rappels ci-dessus
+Considérons maintenant la question de la séparabilité du quotient $X=G/H$.
+[...]
+\end{démo}
+
+
\begin{définition2}
Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes