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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 21:42:20 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-01 21:42:20 +0100
commit955717c0ed42ef87c8ce2cb49894b294c21d28d0 (patch)
tree381567221e9dd110b8534e29a2353618ccaabd27 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] début argument zêta(corps de fonctions)=fraction rationnelle
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex56
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index 5f93a2a..edbe568 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2751,8 +2751,8 @@ on a :
\end{théorème2}
\begin{remarques2}
-\begin{itemize}
-\item
+\begin{enumerate}
+\item
Le fait que la mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ est indépendante
de $ψ$, qui est un corollaire du théorème précédent, résulte
immédiatement des calculs locaux (\ref{Fourier et mesure locaux}),
@@ -3088,6 +3088,7 @@ puissance de $q$ dans le cas d'un corps de fonctions. \XXX)
\subsection{Fonctions zêta de Dedekind : définitions}
\subsubsection{}
+\label{définition zêta Dedekind}
Soit $K$ un corps global. Notons $|d_K|$ la norme d'un idèle
différentielle (\ref{idèle différentiel}) et, le cas
échéant, $q$ le cardinal du corps des constantes.
@@ -3435,11 +3436,12 @@ En particulier, si ni $χ$ ni $\chap{χ}$ n'appartiennent
\end{théorème2}
\begin{remarques2}
-Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
+\begin{enumerate}
+\item Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
(resp. un singleton).
-Enfin, notons que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
+\item Notons également que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$
et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
\[
@@ -3450,6 +3452,7 @@ au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
+\end{enumerate}
\end{remarques2}
\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}
@@ -3460,28 +3463,51 @@ f= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
où les fonctions $g_{K_x}$ sont comme en \ref{fonction zêta archimédienne} et $χ$ est le caractère trivial.
-Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S$ l'ensemble
+Fixons un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ et notons $S_ψ$ l'ensemble
de $x ∈ Σ(K)$ tels que $n(ψ_x) ≠ 0$ ou $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$.
Il résulte de la formule
\[
ζ(f,χ,s)=∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)
\]
-et de \ref{Matchett} que l'on a
+appliquée au caractère trivial $χ=1$ et de \ref{Matchett} que l'on a
\[
-ζ(f,1,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,1,s)}{ζ_{K_x}(s)}.
+ζ(f,s)=\sur{ζ}_K(s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(f_x,s)}{ζ_{K_x}(s)},
\]
-On obtient
+où l'on note $ζ(f,s)$ pour $ζ(f,1,s)$.
+D'autre part,
\[
-ζ_K(s)/ζ_K(1-s) = ∏_{x ∉ S} \text{ facteurs locaux simples}.
+ℱ_ψ(f)=\big(⊠′ _{x ∉ S_ψ} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠ \big(⊠_{x ∈ S_ψ} ℱ_{ψ_x}(f_x)\big)
\]
-D'autre part,
+d'où
\[
-ℱ_ψ(f)=\big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
-\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},s)=\sur{ζ}_K(1+s) × ∏_{x ∈ S_ψ} \frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1+s)}{ζ_{K_x}(1+s)}.
\]
-[...]
-Voir Weil, p. 130 pour un argument formel faisant apparaître le
-polynôme numérateur de $ζ_K$ dans le cas des corps de fonctions.
+Comme $ζ(f,1,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{1},-s)$, on en déduit :
+\[
+\frac{ζ_K(s)}{ζ_K(1-s)} = ∏_{x ∈ S_ψ}
+\frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(f_x,s)} ⋅ \frac{ζ_{K_x}(s)}{ζ_{K_x}(1-s)}.
+\]
+Remarquons que l'on a déjà vu que les facteurs
+$\frac{ζ_{ψ_x}(ℱ_{ψ_s}(f_x),1-s)}{ζ_{ψ_x}(f_x,s)}$ ne dépendent pas de $f_x$.
+(On pourrait utiliser l'égalité précédente pour en donner une seconde
+démonstration, « globale ».)
+
+\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
+Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
+du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$,
+que la fonction zêta d'un corps de fonctions $K$
+s'écrit $ζ_K(s)=Z_K(q^{-s})$ où $Z_K$ est une fonction méromorphe sur $𝐂^×$.
+Cette fonction satisfait les propriétés suivantes :
+\begin{enumerate}
+\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
+\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
+\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
+\end{enumerate}
+
+Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$
+est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$.
+Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte
+aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$.
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.