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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 17:05:02 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-06-14 17:05:02 +0200
commit97aa941f360c514104c8aa190d1e0ce9eedafc4a (patch)
tree1d555115139562f62c2186fdfc03e9a16076abf6 /chapitres/locaux-globaux.tex
parentbbee11008e36ad502b715ebcef1e686995cfb603 (diff)
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[LG] esquisse K_𝐀 ⊗_K L = L_𝐀 dans cas étale.
⚠ Il manque des références et c'est mal rédigé... Il faudra aussi traiter le cas radiciel qui devrait être plus facile en fait {s′↦ s} de cardinal 1 dans les bons cas.
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex77
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index c338878..b71f44f 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -90,7 +90,7 @@ Soit $K$ un corps topologique. Les conditions suivantes sont
\begin{enumerate}
\item $K$ est \emph{localement compact} non discret ;
\item $K$ est isomorphe (en tant que corps topologique) à $𝐑$, $𝐂$ ou bien au corps
-des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝔬$ complet
+des fractions d'un anneau de valuation discrète $𝒪$ complet
à corps résiduel fini, équipé de la topologie déduite
de la valuation.
\item $K$ est une extension finie (en tant que corps
@@ -2664,47 +2664,72 @@ pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\subsubsection{}Pour chaque $s ∈ S$, le corps $K$ se plonge
naturellement dans $K_s$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
est $s$-entier pour presque toute place $s ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-Ainsi le morphisme d'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{s ∈ Σ} K_s$
-se factorise à travers un morphisme $K ↪ K_𝐀$, dit
-\emph{plongement canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
-avec son image dans les adèles sur $K$.
+Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{s ∈ Σ} K_s$
+se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
+\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
+avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité}
+pour les propriétés topologiques de cette inclusion.)
\subsubsection{}On prendra garde de ne pas confondre
l'anneau $𝒪_K(U)$ des éléments $U$-entiers de $K$,
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, et le sous-anneau $K_𝐀(U)$
des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
-Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
-de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
+%Description alternative des adèles finies (ultramétriques) dans le cas des corps
+%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
+%\XXX À inclure ?
-\subsubsection{Mesure}
+\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
+de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}}).
+C'est une mesure de Haar sur le groupe additif localement compact $K_𝐀$.
+La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit restreint de mesures
+(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.
-\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
\begin{proposition2}
-$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
+Pour tout $a=(a_s) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
+$[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a|=∏_{s
+∈ Σ}|a_s|_{K_s}$.
\end{proposition2}
-\begin{démo}
-Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
-\end{démo}
-
-Soit $C$ un compact ; il existe un $U$ cofini tel que le support de $f$
-soit contenu dans $K_𝐀(U)$.
+%Saïtô p. 239.
-\begin{proposition2}
+\begin{théorème2}
\label{adèles et cb}
-$L\bo K$ finie.
-Alors $K_𝐀⊗_K L → L_𝐀$ est un isomorphisme,
-envoyant $K$ sur $L$.
-Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ correspondant
-est $(a_x)↦ (b_y)$ où pour $y↦ x$, $b_y=a_x$
-et $K_𝐀^n ⥲ L_𝐀$ étend $K^n ⥲ L$ etc. \XXX
-Dans le cas étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
+Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
+Le morphisme $K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
+$(a_s)_{s ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{s′})_{s′ ∈ Σ(L)}$
+avec $b_{s′}=a_s$ lorsque $s′↦ s$, induit un
+isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
+compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
+et $L ↪ L_𝐀$.
+De plus, si $L\bo K$ est étale, toute forme $K_𝐀$-linéaire
$L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$.
-\end{proposition2}
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Cas d'une extension étale. Pour chaque place $s$ de $K$, notons $ι_s$
+le plongement diagonal de $K_s$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$. Soit $α₁,…,α_n$ une
+base de $L$ sur $K$. Rappelons (\refext{AVD-D}{EVT sur corps valué complet} \XXX)
+que pour chaque place $s$ de $K$, le morphisme $K_s^n → ∏_{s′↦ s} L_{s′}$,
+$(λ_i)↦ ∑_i ι_s(λ_i) α_i$, est un \emph{isomorphisme}.
+Pour démontrer le premier point, il suffit de montrer
+que si l'on note $A_s$ l'anneau des $s$-entiers de $K$
+et $B_{s′}$ celui des $s′$-entiers de $L$
+alors, pour presque tout $s$, on a l'égalité
+$A_s α₁ + \cdots + A_s α_n = ∏_{s′↦ s} B_{s′}$ dans $∏_{s′↦ s} L_{s′}$.
+Soit $a ∈ 𝒪_K$ tel que $a 𝒪_L ⊆ 𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n$
+et soit $b ∈ 𝒪_K$ tel que $b (𝒪_K α₁ + \cdots + 𝒪_K α_n) ⊆ 𝒪_L$
+(cf. \refext{??}{} \XXX). L'égalité désirée a lieu
+dès que $a$ et $b$ sont $s$-entiers, ce qui est le cas pour
+presque tout $s$.
+
+Cas général. Il suffit de traiter le cas d'une extension finie radicielle.
+Nous n'utiliserons pas ce résultat, que nous
+admettons. Cf. \cite[VIII, §6]{BNT@Weil}. \XXX
+\end{démo}
-(Pas d'hypothèse de séparabilité.)
\begin{théorème2}
\label{cocompacité}