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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 15:40:15 +0200
committerFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 15:40:15 +0200
commit9a7ebac5ed7af502d5261b01bb01298410d7eb74 (patch)
treec98f2e6de9d694533f5dd7aefc395cb7785833c8 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] ajout de références sur RR + quelques détails
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex21
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index bbfe22f..aa0eb40 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -175,7 +175,7 @@ envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
-[+ construction].
+[+ construction]. Cf. [Bushnell-Henniart], I.§3.
\end{enumerate}
\begin{proposition2}
@@ -1368,11 +1368,13 @@ de $𝔖_n$, engendré par des transpositions. C'est $𝔖_n$ tout entier
\section{Hypothèse de Riemann pour les courbes}
Cf. Katz, « Lectures on Deligne's pfoof of the RH for
-varieties over finite fields » (1973-74).
+varieties over finite fields » (1973-74) et
+\cite{Counting@Bombieri}.
\subsubsection{}[Blabla à déplacer]
$g$ mesure la complexité de la courbe :
-$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les
+$Z(K)$ est connu dès que l'on connaît les $g$ premières
+valeurs.
\subsubsection{}Extension des scalaires. Si $K\bo k$,
on note $k_d$ l'unique extension de degré $d$ de $k$
@@ -1400,9 +1402,9 @@ pour $d ≫ 0$ divisible par $N$.
\subsubsection{}Réduction au cas où il existe un sous-corps $k(t)$
au-dessus duquel $K$ est galoisien.
-[Élémentaire mais utilise astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
-où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Cf. Katz,
-pp. 31--34.
+[Élémentaire ; n'utilise *pas* astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$,
+où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
+cependant Katz, pp. 31--34.]
\begin{théorème2}[Bombieri]
Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
@@ -1414,8 +1416,11 @@ Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch
-(un peu) + calculs. (Voir peut-être vidéo de Wigderson sur
-le site de l'IAS.)
+[pour la courbe sur $\sur{𝐅_q}$] (un peu) + calculs + cas courbe = $𝐏¹$ + sorites sur $X → Y$ galoisien de groupe $G$.
+Idée clef : produire une fonction qui va s'annuler à un ordre élevé (explicite) sur les racines (=points fixes
+ici) et dont le degré sera borné explicitement. On utilise
+pour cela de façon cruciale le Frobenius. La construction
+d'une telle fonction repose sur le théorème de Riemann-Roch.
\end{démo}
\section{Fonction zêta de Hasse de l'équation homogène $X³+Y³+Z³=0$}