summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
diff options
context:
space:
mode:
authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-26 17:15:28 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-04-26 17:15:28 +0200
commit9b9d0c01cb9b09a56b2cd7898c02ac3f85e6a9a0 (patch)
tree01acf88c83580c37f23fd75816309c3538589262 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent42f34bd8eff0db115ece62294e3eedbc4f9fb3bd (diff)
downloadgalois-9b9d0c01cb9b09a56b2cd7898c02ac3f85e6a9a0.tar.gz
galois-9b9d0c01cb9b09a56b2cd7898c02ac3f85e6a9a0.tar.bz2
galois-9b9d0c01cb9b09a56b2cd7898c02ac3f85e6a9a0.zip
[LG] début sorites sur isom. modulo compacts (énoncés)
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex45
1 files changed, 38 insertions, 7 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9112efc..864fdb0 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2348,20 +2348,49 @@ et $V_y$ de $x$ et $y$ respectivement tels que $μ(V_x × V_y) ⊆ G-H$. On a
donc disjoints.
\end{démo}
+Par soucis d'économie, et comme expliqué en \refext{Cat}{exemples-basiques-categories},
+nous appellerons « \emph{morphisme} de groupes topologiques », $f:G₁ → G₂$, une
+application \emph{continue} respectant la structure de groupes.
\begin{définition2}
-Un morphisme de groupes topologiques est dit être un
-quasi-isomorphisme si son noyau et son conoyau sont des groupes
-compacts.
+Soit $f:G₁ → G₂$ un morphisme de groupes topologiques.
+On dit que $f$ est
+\begin{enumerate}
+\item \emph{strict}, si le morphisme canonique $\sur{f}:G₁/\Ker(f) → \Im(f)$
+associé est un isomorphisme de groupes topologiques ;
+\item un \emph{isomorphisme modulo les compacts} s'il est strict
+et si le sous-groupe $\Ker(f)$ de $G₁$ et l'espace topologique quotient $\Coker(f)=G₂/\Im(f)$
+de $G₂$ sont compacts (c'est-à-dire quasi-compacts et séparés).
+\end{enumerate}
\end{définition2}
-(Cf. [Katô-Saitô-...], à la terminologie près.)
+
+\begin{remarques2}
+\begin{itemize}
+\item Dans (i), on demande que l'isomorphisme de \emph{groupes} $\sur{f}$
+soit bicontinu c'est-à-dire, ici, d'inverse continu. Cette condition
+n'est pas automatique : considérer le morphisme $G^{\mathrm{disc}} → G$,
+où $G$ est un groupe topologique quelconque et $G^{\mathrm{disc}}$ le
+même groupe, muni de la topologie discrète.
+\item Si $G₁$ est compact et $G₂$ séparé, tout morphisme $f:G₁ → G₂$ est strict.
+En effet, $\Ker(f)=f^{-1}(\{e_{G₂}\})$ est fermé (car le singleton l'est)
+et $\Im(f)$ est l'image continue d'un quasi-compact donc quasi-compacte.
+(Notons que l'on utilise seulement le fait que le sous-groupe $\Im(f)$ de $G₂$
+est séparé.)
+\end{itemize}
+\end{remarques2}
+
\begin{proposition2}
-Sorites.
+Le fait d'être un isomorphisme modulo les compacts est stable par composition
+et restriction à un sous-groupe fermé.
\end{proposition2}
-Soit $C$ un compact ; il existe un $U$ cofini tel que le support de $f$
-soit contenu dans $K_𝐀(U)$.
+\begin{démo}
+\XXX
+\end{démo}
+
+\begin{propo
+
\subsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}
@@ -2414,6 +2443,8 @@ $[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
Trivial. cf. p. ex Saïtô p. 239.
\end{démo}
+Soit $C$ un compact ; il existe un $U$ cofini tel que le support de $f$
+soit contenu dans $K_𝐀(U)$.
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}