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author | Fabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-07-12 10:57:50 +0200 |
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[LG] clarification sur O(U) de Dedekind
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 5458e2f..d09cac7 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -2117,8 +2117,8 @@ alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$ (absence de pôle à l'infini). « Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$. -Supposons pour commencer que la place $||_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places -appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $||_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes +Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places +appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t], @@ -2321,7 +2321,7 @@ caractéristique $>0$ et $U=Σ(K)$. désigne l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, l'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$. C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini. -\item Si de plus $U$ est suffisamment petit, +\item Sous les hypothèses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit, $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$. \end{enumerate} \end{proposition2} @@ -2338,17 +2338,20 @@ donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps de fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$. Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$ et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$ -est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G.b} (X-β))^{p^e}$ +est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G ⋅ b} (X-β))^{p^e}$ à coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance -de l'exposant caractéristique de $K$ (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}). -Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $β ↦ |g(β)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$ +de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier +suffisamment grand (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}). +Soient $u ∈ U$ et $v ∈ V$ au-dessus (\refext{AVD-D}{finitude préservée par +complétion}). Pour chaque $g ∈ G$, l'application $λ ↦ |g(λ)|_v$, $L → 𝐑$, +est une valuation de $L$ au-dessus de $u$ donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients -de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$ -et, finalement, $B=B′$. +de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. +Ainsi $b$ est entier sur $A$ et, finalement, $B=B′$. Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable} que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini. -Dans le cas non nécessairement étale (cas des corps de fonctions), -cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps +Dans le cas non nécessairement étale — qui ne se produit que si $K$ est un +corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps (\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de \refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}. @@ -2359,8 +2362,11 @@ démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}. Si $K$ est un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$ de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même $𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}). - -Dedekind \XXX. +Il reste à montrer que l'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind. +Il est intégralement clos ; il suffit donc de montrer qu'il est nœthérien +de dimension $1$. Cela résulte du théorème de Krull-Akiduki +(\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}). +% voir aussi Fried-Jarden, p. 32 (iii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$. Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$. |