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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 08:57:50 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 08:57:50 (GMT)
commit9bf51c5080ef688cc1fe425a26b72ec18d912b50 (patch)
treea20c0944a96484bce804ed169a01c4e62b2e8cb9 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] clarification sur O(U) de Dedekind
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex30
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index 5458e2f..d09cac7 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2117,8 +2117,8 @@ alors $P$ ne divise pas $b$. Ceci étant vrai pour tout $P$, le polynôme $b
est nécessairement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
(absence de pôle à l'infini).
« Calculons » maintenant $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)$ pour un ouvert quelconque $U ≠ Σ$.
-Supposons pour commencer que la place $||_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places
-appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $||_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
+Supposons pour commencer que la place $|⋅|_∞$ n'appartient pas à $U$. Dans ce cas, les places
+appartenant à $Σ-U$ sont de la forme $|⋅|_{P_i}$ où les $P_i$ sont des polynômes
irréductibles, que l'on peut supposer unitaires, de $𝐅_p[t]$. Ils sont en nombre
fini par hypothèse et l'on peut considérer leur produit $P=∏_i P_i$. On
a alors l'égalité $𝒪_{𝐅_p(t)}(U)=k[t][1/P]=\{f ∈ 𝐅_p(t): ∃n ≥ 1, ∃a ∈ 𝐅_p[t],
@@ -2321,7 +2321,7 @@ caractéristique $>0$ et $U=Σ(K)$.
désigne l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$,
l'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
-\item Si de plus $U$ est suffisamment petit,
+\item Sous les hypothèses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit,
$𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
@@ -2338,17 +2338,20 @@ donc contenu pour chaque $v↦ u$ dans l'anneau normal $𝒪_{L,v}$ de corps de
fractions $L_v$ contenant $L$. Ainsi $B′$ est contenu dans $B$.
Réciproquement si $Ω$ est une clôture algébrique de $L$
et $G=\Aut(Ω \bo K)$, un élément $b ∈ B$
-est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G.b} (X-β))^{p^e}$
+est racine d'un polynôme $P=(∏_{β ∈ G ⋅ b} (X-β))^{p^e}$
à coefficients dans $K$, où $p$ désigne une puissance
-de l'exposant caractéristique de $K$ (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
-Si $σ ∈ G$ et $u ∈ U$, $β ↦ |g(β)|_u$ est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
+de l'exposant caractéristique de $K$, et $e$ un entier
+suffisamment grand (cf. \refext{CG}{polynôme minimal et conjugués dans cas général}).
+Soient $u ∈ U$ et $v ∈ V$ au-dessus (\refext{AVD-D}{finitude préservée par
+complétion}). Pour chaque $g ∈ G$, l'application $λ ↦ |g(λ)|_v$, $L → 𝐑$,
+est une valuation de $L$ au-dessus de $u$
donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
-de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
-et, finalement, $B=B′$.
+de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$.
+Ainsi $b$ est entier sur $A$ et, finalement, $B=B′$.
Si l'extension $L\bo K$ est étale, il résulte de \refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
que l'anneau $𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
-Dans le cas non nécessairement étale (cas des corps de fonctions),
-cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
+Dans le cas non nécessairement étale — qui ne se produit que si $K$ est un
+corps de fonctions — cela résulte du fait que $𝒪_K(U)$ est une algèbre de type fini sur un corps
(\ref{RR implique Dedekind de type fini}, \emph{infra}) et de
\refext{AC}{k-algèbre-tf-est-japonaise}.
@@ -2359,8 +2362,11 @@ démontré en \ref{RR implique Dedekind de type fini}. Si $K$ est
un corps de nombres, $𝒪_K(U)$ contient $𝐙$ donc la clôture intégrale $𝒪_K$
de $𝐙$ dans $K$. En conséquence $\Frac 𝒪_K(U)=K$ (et même
$𝒪_K(U)𝐐=K$ ; cf. \refext{AC}{clôture intégrale commute à localisation}).
-
-Dedekind \XXX.
+Il reste à montrer que l'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind.
+Il est intégralement clos ; il suffit donc de montrer qu'il est nœthérien
+de dimension $1$. Cela résulte du théorème de Krull-Akiduki
+(\refext{AVD-D}{Krull-Akiduki}).
+% voir aussi Fried-Jarden, p. 32
(iii) Soient $d=[L:K]$ et $α₁,…,α_d$ une base de $L$ sur $K$.
Pour $U$ suffisamment petit, les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(V)$.