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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 14:15:12 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 14:15:12 +0100
commit9d82c0d69a8938f70ae2608451fc6c7eeb5b83af (patch)
tree59ac4018f41fc62460fbb11825ddfe92f41db814 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent7f582e44844dfbddb00dced2522df72d4850f819 (diff)
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex18
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 05bd911..b4cb824 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -98,7 +98,8 @@ De plus :
\begin{itemize}
\item L'anneau $𝒪$ du (ii) est le plus grand sous-anneau
compact de $K$ et son idéal maximal est l'ensemble des
-éléments $x$ de $K$ tels que $x^n → 0$ ($n → +∞$).
+éléments $x$ de $K$ tels que $x^n$ tende vers $0$ lorsque $n$
+tend vers $+∞$.
\item Le corps local premier $K₀$ du (iii) est \emph{fermé}
dans $K$. Si $K$ est de caractéristique nulle (resp.
de caractéristique positive) il est unique : c'est l'adhérence de $𝐐$
@@ -445,17 +446,18 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
\label{module quotient}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact.
-Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$.
+Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
+sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
la fonction « moyenne sur les $H$-orbites » :
\[
-m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dγ.
+m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ).
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
-une fonction continue à support compact sur $X$,
+une fonction continue (à support compact) sur $X$,
également notée $m_Γ(f)$.
La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est une mesure
-de Haar $μ_G$ sur $G$ telle que
+de Haar $μ_G$ sur $G$ telle que, par construction,
\[
∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
\]
@@ -475,7 +477,7 @@ et $\mod_{G/Γ}(φ)=1$ car $G/Γ$ est compact,
d'où $\mod_G(φ)=1$.
Réciproquement, partant d'une mesure de Haar sur $G$,
-et imposant à $μ_Γ$ d'être la mesure de comptage,
+et imposant à $μ_Γ$ d'être — par exemple — la mesure de comptage,
il existe une unique mesure de Haar sur $X=G/Γ$
telle que la formule d'intégration ci-dessus
soit satisfaite.
@@ -534,9 +536,9 @@ satisfaisant l'égalité $\mod_K(ab)=\mod_K(a)\mod_K(b)$ pour chaque $a,b ∈ K$
Ce résultat est également vrai lorsque $K$ est discret.
\begin{démo}
-L'égalité est un cas particulier de la formule générale :
+L'égalité est un cas particulier de la formule générale évidente :
$\mod(φ ∘ ψ)=\mod(φ) \mod(ψ)$ où $φ$ et $ψ$
-sont deux automorphismes d'un groupe localement compact. (C'est évident.)
+sont deux automorphismes d'un groupe localement compact.
Vérifions la continuité. Soit $C$ un voisinage compact
de $0$ dans $K$. Pour chaque $a ∈ K$ et chaque $ε>0$
il existe un voisinage ouvert $U_{a,ε}$ du compact $aC$