summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 09:23:15 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-26 09:23:15 (GMT)
commit9f9c86e1647f896c718d8b2c160e6b18926e361b (patch)
tree95b4d5d36e24bea0533ccde55d398714b8456b61 /chapitres/locaux-globaux.tex
parentffa6ebd03f03d88ec02b93cd723d4de1dbf03cae (diff)
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[LG] 1+2+3+4+… = -1/12 ; remarque sur approche un chouïa différente.
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex32
1 files changed, 31 insertions, 1 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 5511d42..5f6bf8d 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1458,7 +1458,7 @@ que l'intégrale $∫₀^{+∞} t^{s} \frac{dt}{t}$ ne converge
pour aucune valeur de $s$.)
On en déduit d'une part que la transformée de Mellin de
\[
-∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
+β(t)=∑_{k ≥ 0} e^{-kt}= \frac{1}{e^t-1}=∑_{k ≥ 1} \frac{B_k}{k!}
t^{k-1},
\]
où la seconde égalité n'est autre que la définition
@@ -1468,6 +1468,8 @@ et celle de
ψ(t)=∑_{n ≥ 1} e^{-π n² t}
\]
la fonction $π^{-s} Γ(s) ζ(2s)$.
+(Les notations $β$ et $ψ$ ne sont pas standards.) %% standard ?
+
\subsubsection{}
Notons que la fonction $Γ ζ$ n'est \emph{a priori} définie
que sur le demi-plan $\Re(s)>1$, mais s'étend d'après
@@ -1515,6 +1517,34 @@ satisfait l'équation fonctionnelle
\]
\end{théorème2}
+En particulier $ζ(-1)=\text{« }1+2+3+4+5+\cdots\text{»}=-\frac{1}{12}$ car
+$B₂=⅙$.
+
+\begin{remarque2}
+Certains auteurs considèrent plutôt $M(f,s)=Γ(s)^{-1}ζ(f,s)$ (cf. \cite[VII.2]{Elements@Colmez}).
+Supposons que $f$ n'a pas de singularités :
+elle est $𝒞^∞$ sur $𝐑_+$ (c'est-à-dire restriction d'une fonction $𝒞^∞$ sur un
+ouvert $]-ε,+∞[$, pour un $ε>0$) et à décroissance rapide à l'infini, ainsi que toutes ses dérivées.
+Dans ce cas, la fonction holomorphe $M(f,s)$, définie \emph{a priori} sur le
+demi-plan $\Re(s)>0$, se prolonge en une fonction holomorphe
+sur $𝐂$ en vertu de l'égalité
+\[
+M(f,s)=- M(f′,s+1),
+\]
+obtenue par intégration par partie.
+On en déduit que $M(f,0)=-M(f′,1)=-∫₀^{+∞} f′=f′(0)$ et, plus généralement,
+les égalités
+\[
+M(f,-k)=(-1)^k f^{(k)}(0)
+\]
+pour chaque $k ∈ 𝐍$. Hormis l'équation fonctionnelle, on retrouve les résultats
+du théorème précédent en constatant que $β(t)=\frac{1}{t}f(t)$, où
+$f(t)=\frac{t}{e^t-1}=∑_n \frac{B_n}{n!}t^n$,
+si bien que la fonction zêta de Riemann $ζ(s)=ζ(β,s)=ζ(f,s-1)$ coïncide avec
+le produit $Γ(s-1)M(f,s-1)$.
+\end{remarque2}
+
+
\begin{remarque2}
Signalons un argument élémentaire conduisant
à l'existence d'un pôle simple en $s=1$ de