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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 22:52:16 +0100
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[LG] suite clarification sur mesures adéliques.
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@@ -71,7 +71,7 @@ premier d'un corps local.
\end{remarques2}
Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
-Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
+Lorsque $K$ est ultramétrique, on note $𝒪$
son anneau des entiers\footnote{On vérifie immédiatement
que $𝒪$ est le sous-anneau compact maximal de $K$.},
d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$, et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
@@ -160,17 +160,17 @@ invariante à droite, en un sens évident. [La démonstration fait quatre petite
\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
\begin{enumerate}
-\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
-mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}([0,1])=1$.
+mesure de Haar. Elle satisfait : $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}([0,1])=1$.
L'exposant « $+$ » est là pour insister sur le fait
qu'il s'agit d'une mesure de Haar sur le groupe \emph{additif} du corps
topologique $K=𝐑$.
-\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
+\item[$𝐂$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
-\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
-\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(𝒪)=1$.
+\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
+\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
[+ construction].
\end{enumerate}
@@ -188,7 +188,7 @@ Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
décroissante à l'infini suivante :
\begin{itemize}
-\item[$K$ non-archimédien :] $f$ est à support compact.
+\item[$K$ ultramétrique :] $f$ est à support compact.
\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
@@ -257,18 +257,23 @@ qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
\begin{définition2}
Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
-non-archimédien.
+ultramétrique.
On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}
Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
-Niveau de $ψ_ω$.
+%Niveau de $ψ_ω$.
\end{proposition2}
+Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème
+de Riemann-Roch. \XXX
+
\begin{démo}
-[Tate] 2.2.3 pour cdn.
+$𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
+si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$
+c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
\end{démo}
\subsection{Transformation de Fourier}
@@ -282,7 +287,7 @@ Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction 
\begin{remarques2}
-Lorsque $K$ est non-archimédien, l'intégrale précédente est
+Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.
D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
@@ -302,14 +307,13 @@ où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
-\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
-(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$), si $K$ est non-archimédien et $n$ est le niveau
+\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} ⋅ [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-Il résulte de ces propriétés que $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus
-$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{n/2} [ϖ^n]^*\mathbf{1}_𝒪$.
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
@@ -328,7 +332,7 @@ Lien avec sommes de Gauß.
%(caractère de niveau nul) et que $ψ$ est bien défini à multiplication
%près par une unité.
-\subsection{Analyse harmonique : théorie multiplicative}
+\subsection{Théorie multiplicative}
\subsubsection{Quasi-caractères}
@@ -346,41 +350,52 @@ Structure des quasi-caractères.
Cf. ex. Tate.
\end{démo}
-\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ l'unique mesure
-de Haar sur le groupe multiplicatif de $K$ telle que
-le compact $𝒪^×=𝒪-𝔪$ soit de mesure un.
-
-\begin{lemme2}
-Si $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est l'unique mesure de Haar sur
-le groupe additif de $K$ telle que le compact $𝒪$ soit de
-mesure un, on a :
+\subsubsection{}Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ une mesure de Haar additive
+sur $K$. On note $μ^{\mbox{\minus $×$}}$ la mesure de Haar
+multiplicative sur $K^×$ définie par
\[
-μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}.
+μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{(1-q^{-1})^{-1}}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×},
+\]
+si $K$ est ultramétrique et
+\[
+μ^{\mbox{\minus $×$}}=\frac{1}{| ⋅ |} ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{|K^×}
+\]
+sinon.
+On vérifie immédiatement que, dans le cas ultramétrique,
+\[
+μ^{\mbox{\minus $×$}}(𝒪^×)= μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪).
\]
-\end{lemme2}
\begin{lemme2}
Pour chaque $s ∈ 𝐂$ tel que $\Re(s)>0$, la fonction $ω_s$ appartient à $L¹(K^×,μ^{\mbox{\minus $×$}})$.
\end{lemme2}
-Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, et chaque $s ∈ 𝐂$
-dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
+(Cette condition est bien indépendante du choix
+de $μ^{\mbox{\minus $+$}})$.)
+
+Lorsque $f ∈ 𝒮(K)$, chaque $χ ∈ \chap{K^×}$, chaque $ψ
+∈ \chap{K}-\{0\}$, et chaque $s ∈ 𝐂$ dans le demi-plan $\Re(s)>0$, on pose
\[
-ζ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}
+ζ_ψ(s,χ,f)= ∫_{K^×} f χ ω_s d μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}
\]
-Exemple. $f=1_{𝒪^×}$ et $χ$ non ramifié,
+(Cette fonction zêta locale dépend de $ψ$ à une constante
+multiplicative non nulle près.)
+
+\begin{proposition2}
+Si $f=1_{𝒪^×}$ et $χ$ non ramifié, $ψ$ de niveau nul.
$ζ(s,χ,f)=\frac{1}{1-χ(ϖ)q^{-s}}$.
+\end{proposition2}
\begin{proposition2}
Soient $ψ$ un caractère non trivial de $K$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×$.
Il existe une fonction méromorphe $γ(s,χ,ψ)$ telle que,
pour toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
\begin{enumerate}
-\item la fonction $s ↦ ζ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
+\item la fonction $s ↦ ζ_ψ(s,χ,f)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$ ;
\item l'équation fonctionnelle
\[
-γ(s,χ,ψ)ζ(s,χ,f)=ζ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
+γ(s,χ,ψ)ζ_ψ(s,χ,f)=ζ_ψ(1-s,χ^{-1},ℱ_ψ(f)).
\]
est satisfaite.
\end{enumerate}
@@ -403,7 +418,18 @@ Exemples de $γ$.
Corps global premier : $𝐅_q(t)$, $𝐐$, $𝐑$.
\end{définition2}
-[itou pour corps local]
+\begin{définition2}
+\XXX
+Corps global : extension finie d'un corps global premier.
+\end{définition2}
+
+On note $Σ(K)$, ou simplement $Σ$, l'ensemble des places
+de $K$. On note $Σ_f(K)$ (resp. $Σ_∞(K)$) l'ensemble
+des places finies, c'est-à-dire ultramétriques (resp.
+infinies, c'est-à-dire archimédiennes). Pour toute partie
+cofinie $U ⊆ Σ_f(U)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $x$
+de $K$ tels que $v(x) ≥ 0$ pour tout $v ∈ U$. $\Frac 𝒪_K(U)=K$. [...]
+$\colim_U 𝒪_K(U)=K$.
\begin{définition2}
Corps des constantes.
@@ -417,29 +443,16 @@ géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
\begin{enumerate}
\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
-\item $P_{K_f} ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble
-fini près).
+\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
+Plus précisément, il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ(K)$ et
+un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
+$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
\section{Adèles, idèles}
-
-
-
-\subsection{Corps globaux : définitions}
-
-\begin{définition2}
-\XXX
-Corps global : extension finie de $𝐐$ ou de $𝐅_p(t)$, pour un nombre premier $p$.
-\end{définition2}
-
-On note $P_K$ l'ensemble des places et $P_K^∞$ l'ensemble des places
-infinies.
-
-
-\subsection{Préliminaires topologiques et autres tribulations}
-[à omettre en première lecture]
+\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}
\begin{proposition2}
\begin{enumerate}
@@ -459,33 +472,33 @@ compacts.
Sorites.
\end{proposition2}
-Mesures produits : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
+\subsection{Mesures}
+
+Mesures produits/colimites : cf. [Ramakrishnan] ou [Goldstein] (faire le *minimum* ; cf.
[Saitô], pp. 239--240).
-☡ Malheureusement, il ne suffit pas de définir l'intégrale
-d'une fonction de $𝒮(A_K)$ : on veut aussi parler du volume
-de $A_K/K$, du module de la multiplication par $x$ etc.
\subsection{Adèles}
-\subsubsection{}Soit $S ⊆ P_K$ un ensemble fini de places contenant $P_K^∞$.
-On note $A_{K,S}$ l'anneau
+\subsubsection{}Soit $U ⊆ Σ_f(K)$ un ensemble \emph{cofini} de places finies.
+On note $A_K(U)$ l'anneau
\[
-∏_{v ∈ S} k_v × ∏_{v ∉ S} 𝔬_v,
+∏_{v ∉ U} k_v × ∏_{v ∈ U} 𝔬_v,
\]
muni de la topologie produit.
\[
-A_K=\colim_S A_{K,S}.
+A_K=\colim_S A_K(U).
\]
Description de la topologie.
\subsubsection{Mesure}
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
+
\begin{proposition2}
$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}
-$μ_{\japmath{玉}}$.
\begin{proposition2}
\label{adèles et cb}
@@ -498,7 +511,7 @@ Alors $A_K ⊗_K L → A_L$ est un isomorphisme.
\item L'inclusion canonique $K → A_K$, où $K$ est muni de la topologie
discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
dans $A_K$ est discrète et le quotient $A_K / K$ est compact.
-\item Si $S ⊆ P_K$ est fini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
+\item Si $U ⊆ P_K$ est cofini et contient $P_K^∞$, l'inclusion canonique
$𝒪_S → ∏_{v ∈ S} K_v$, où $𝒪_S$ est muni de la topologie discrète, est
continu et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
@@ -557,8 +570,8 @@ Cf. [Saitô], 6.106 (p. 241).
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K^× → I¹_K$, où $K^×$ est muni de la
topologie discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme.
-\item Si $U ⊆ P_K$ est fini et contient les places infinies,
-l'application $𝒪_U^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
+\item Si $U ⊆ Σ_f(K)$ est cofini et contient les places infinies,
+l'application $𝒪_K(U)^× → (∏_{v ∈ U} 𝐑)⁰$ [hyperplan de somme nulle], $x ↦
(\log(|x|_v))$ est continue et est un quasi-isomorphisme.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -712,7 +725,7 @@ $$\left\{ \begin{array}{l}
\end{array}\right.$$
\end{quote}
-Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Suppsosons donnés des nombres réels positifs
+Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
@@ -773,7 +786,8 @@ C_K/\sur{I}^∞_K ⥲ \Pic_K
où $\sur{I}^∞_K$ désigne l'image de ${I}^∞_K$ dans $C_K$. [notations à changer ? \XXX]
\begin{proposition2}
-Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à $\Pic(𝒪)$.
+Si $K$ est un corps de nombres, $\Pic_K$ est isomorphe à
+$\Pic(𝒪_K)$.
\end{proposition2}
Convention : on note $\Pic⁰_K=\Pic_K$.
@@ -795,7 +809,7 @@ et $\Pic⁰(U)$ (plus généralement $\Pic^n(U)$) …
\XXX
\[\Pic⁰(U) ≃ ∏_{v ∉ U} 𝒪_v^× ∖ I^1_K/K^×\]
et
-\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / U.\]
+\[\Pic⁰_K ≃ K^× ∖ I¹_K / I^∞_K.\]
\end{théorème2}
\begin{démo}
@@ -882,8 +896,8 @@ aux mesures auto-duales $μ_{ψ_v}$. Alors, $μ_ψ(A_K/K)=1$.
\end{théorème2}
En particulier $μ_ψ$ ne dépend pas de $ψ$ ; on la notera
-$μ_{\mathrm{auto}}$. (Par opposition à la mesure de Tamagawa
-$μ_{\japmath{玉}}$.)
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$ (par opposition
+à $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$). C'est la mesure de Tamagawa.
Cela est lié à l'égalité \ref{Fourier et mesure locaux},
\ref{Pontrâgin} (i) et la formule du produit.
@@ -891,26 +905,36 @@ Cf. Goldstein, p. 150.
\subsection{Théorème de Riemann-Roch}
+\begin{théorème2}
+\[
+∑_{x ∈ K} f(λ x)=\frac{1}{|λ|} ∑_{x ∈ K} ℱ_ψ(f)(x/λ).
+\]
+\end{théorème2}
+
\subsection{Premières applications}
+\subsubsection{}
+
\begin{théorème2}
-Si l'on prend les mesures naturelles sur les corps locaux
-(anneaux d'entiers de volume $1$) et mesures usuelles sur $𝐑,𝐂$)
-alors le volume de $A_K \bo K$ est : $|𝔡_K|^½$ dans le cas des corps de nombres,
-$q^{g-1}$ dans le cas des corps de fonctions.
+RR pour les courbes.
\end{théorème2}
-Cf. p. ex. [Weil, Adèles].
+\begin{théorème2}
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=|𝔡_K|^½ \text{ dans le cas des corps de nombres.}\]
+\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(A_K \bo K)=q^{g-1} \text{ dans le cas des corps de fonctions.}\]
+\end{théorème2}
+
+Cf. p. ex. [Weil, Adèles] ; [BNT] pp. 90--92 et [BNT] pp. 100.
\begin{théorème2}
-Si $K$ est un corps de nombres, le volume de $I¹_K/K^×$ est
+Si $K$ est un corps de nombres,
\[
-\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂} h R}{√{|D|}w}.
+μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(I¹_K/K^×)=\frac{2^{r_𝐑}(2 π)^{r_𝐂}h R}{√{|D|}w}.
\]
sinon [...]
\end{théorème2}
-Cf. [Bump], p. 268.
+Cf. [Bump], p. 268 ; [BNT], p. 95 (presque cet énoncé).
\section{Fonctions zêta}
@@ -953,7 +977,9 @@ $ζ_K(s)=\frac{P(q^{-s})}{(1-q^{-s})(1-q^{1-s})}$ où $P
∈ 𝐙[t]$. Équation fonctionnelle : $\chap{ζ}(s)=\chap{ζ}(1-s)$ avec résidu en $1$=….
\end{théorème2}
-Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
+Méthode Iwasawa-Tate (\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate})
+[BNT], pp. 120--130.
+
Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.