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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-10-19 15:38:53 (GMT)
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[LG] deux conséquences (triviales) de RR
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index a870a9b..0de9a31 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -253,7 +253,7 @@ Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
de la mesure en posant, pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(𝟭_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
-où $\mathbf{1}_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure}
+où $𝟭_E$ désigne la fonction caractéristique de $E$. C'est la \textbf{mesure extérieure}
de l'ensemble $E$. Elle coïncide avec la borne inférieure
des mesures extérieures des ouverts contenant $E$. (Noter
que la fonction caractéristique d'un ouvert est
@@ -885,10 +885,10 @@ Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
-f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
+f=∑_{i=1}^r c_i 𝟭_{x_i+𝔪^e}.
\]
On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
-à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
+à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(𝟭_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
à multiplication par une constante non nulle près.
@@ -3356,7 +3356,9 @@ le quasi-caractère $χ^{-1} ω₁$.
\newcommand{\Div}{\mathop{\mathrm{Div}}}
\renewcommand{\div}{\mathop{\mathrm{div}}\nolimits}
-\subsubsection{}Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
+\subsubsection{}
+\label{définition diviseur}
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert
dense de $K$, c'est-à-dire une partie cofinie
de l'ensemble $X$ des places ultramétriques de $K$.
Notons $\Div(U)$ le groupe abélien $⨁_{u ∈ U} 𝐙$ des
@@ -3970,7 +3972,7 @@ les fonctions $f_x$ sont dans $𝒮(K_x)$ et presque toutes
La formule d'inversion globale résulte donc, par linéarité,
des formules d'inversion locales (\ref{Fourier et mesure locaux}, (iv) \& (v)).
-\subsubsection{Formule de Poisson : convergence}
+\subsubsection{Formule de Poisson : convergence normale sur les compacts}
\label{lemme de convergence normale sur compacts}
\newcommand{\Supp}{\mathop{\mathrm{Supp}}}
Soit $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ une fonction et soit $C$ un compact de $K_𝐀$.
@@ -4063,8 +4065,8 @@ On peut donc écrire, dans cet espace,
\[
F = ∑_{\chap{x} ∈ \chap{X}} c_{\chap{x}}(F) \chap{x},
\]
-où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\{\chap{x}\}$ de $X$
-(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)$
+où $\chap{X}$ désigne l'ensemble des caractères continus $\chap{x}$ de $X$
+(à valeurs dans $𝐔$) et la famille des coefficients $c_{\chap{x}}(F)=⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}$
appartient à $ℓ²(\chap{X})$.
Nous allons montrer que cette famille appartient
à $ℓ¹(\chap{X})$, de sorte que la décomposition précédente
@@ -4077,16 +4079,16 @@ l'égalité
qui s'avère être l'égalité désirée (\emph{a priori} à une constante multiplicative près).
Calculons :
\[
-c_{\chap{x}}(F) := ⟨F,\chap{x}⟩_{L²(X,μ′_X)}
+c_{\chap{x}}(F)
=∫_X F(x) \sur{\chap{x}(x)} d μ′_X(x)
=v_μ ^{-1} ∫_G f(g) \sur{\chap{x}(g)}d μ_G(g)
=:v_μ ^{-1} ℱ_μ(f)(\chap{x}),
\]
-où l'avant-dernière égalité est conséquence
+où la seconde égalité est conséquence
de \ref{module et mesure quotients} — car on a choisi la mesure de comptage
sur $Γ$ —, et la dernière est une définition du terme de droite.
Appliquons ce qui précède lorsque $μ$ est la mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ associée
-à un caractère non trivial $ψ$. D'après d'après \ref{dual des classes de adèles},
+à un caractère non trivial $ψ$. D'après \ref{dual des classes de adèles},
chaque caractère $\chap{x}$ est de la forme $[× λ]^* ψ$ pour
un unique $λ ∈ K$ et, par définition (\ref{définition Fourier adélique}), on a
$ℱ_{μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}(f)(\chap{x})= ℱ_ψ(f)(λ)$.
@@ -4120,63 +4122,62 @@ notes à la fin. \XXX
\label{définition classe canonique}
Soient $K$ un corps global de
caractéristique \mbox{$p>0$}, $k$ son corps des constantes,
-de cardinal $q$ et considérons un caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
-de $K_𝐀\bo K$. Notons $\div(ψ)$ le diviseur $∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
+de cardinal $q$, et $X$ l'ensemble des places.
+Pour chaque caractère $ψ=(ψ_x)_{x ∈ Σ(K)}$ non trivial
+de $K_𝐀\bo K$, considérons le diviseur $\div(ψ)=∑_x n(ψ_x) ⋅ x$,
où $n(ψ_x)$ désigne le niveau du caractère $ψ_x$ (\ref{niveau caractère}).
-Il résulte de \ref{dual des classes de adèles},
-de la formule $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$
-et de \ref{définition Pic} que la classe
-de $\div(ψ)$ dans $\Pic_K$ est bien définie ; on l'appelle
+Il résulte de la dualité de Pontrâgin (\ref{dual des classes de adèles}),
+de la formule triviale $n([× f]^* ψ_x)=x(f)+n(ψ_x)$, et de la formule des résidus
+(\ref{formule du produit additive}) que la classe de $\div(ψ)$
+dans le groupe de Picard $\Pic(X)$ est bien définie ; on l'appelle
\emph{classe canonique}\index{classe canonique} et on la
notera $𝔠$.
\subsubsection{}
\label{Poisson implique RR}
-Considérons la fonction caractéristique $\mathbf{1}=⊠′ _x \mathbf{1}_{𝒪_x}$
-(cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}=∏_x
-𝒪_x$ des adèles entiers de $K_𝐀$.
-Il résulte de \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
+Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique},
+\ref{Poisson-Riemann-Roch}) à la fonction
+caractéristique, notée ici $𝟭$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$.
+Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$.
+Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
-ℱ_ψ(\mathbf{1})
-= ⊠′_x \big( q_x^{-½n(ψ_x)} \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}} \big)
-= q^{-½\deg(𝔠)} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
+ℱ_ψ(𝟭)
+= \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x q_x^{-½n(ψ_x)} 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}
+= q^{-½\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
-Pour tout idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, on a trivialement
+Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$.
+Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
+(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
+a déjà été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
+n'est autre que l'ensemble
\[
-∑_{λ ∈ K} 𝟭(λ ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big),
+L(𝔞):=\{f ∈ K: \div(f) ≥ - 𝔞\},
\]
-la finitude du terme de droite ayant été déjà observée en \ref{finitude K inter O sur a}.
-Soit $𝔞=\div(ι)$. L'intersection $K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}$ n'est autre que l'ensemble
-des « fonctions » $λ ∈ K$ telles que le diviseur
-$\div(λ)$ des « zéros » de $λ$ soit minoré par $-𝔞$.
-(Prendre garde au signe.) On note $L(𝔞)$ cet ensemble et $l(𝔞)$
-sa dimension sur $k$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
-
-De même,
+où $\div(f)=∑_x x(f)x$ est le diviseur d'une fonction $f ∈ K^×$ (\ref{définition diviseur})
+et, par convention, $\div(0) ≥ -𝔞$.
+Notons
\[
-∑_{λ ∈ K} ⊠′_x \mathbf{1}_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(λ/i)= \# \{ λ ∈ K:
-\div(λ) ≥ 𝔞-𝔠\}=\# L(𝔠-𝔞).
+l(𝔞)=\dim_k L(𝔞)
\]
-
-Appliquant la formule \ref{Poisson-Riemann-Roch} du théorème \ref{Fourier adélique}
-à la fonction $𝟭$ et à l'idèle $ι$ et constatant que
-$|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, on obtient
-l'égalité
+la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(𝔞)}$.
+Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(f/ι)=1$
+si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu
+de l'égalité $|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquée
+à $𝟭$ et $ι$ se réécrit 
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]
-
-Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$ étant
+Toute classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic(X)$ étant
de la forme $\div(ι)$ pour un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$,
on en déduit le théorème fondamental suivant.
\begin{théorème2}[Riemann-Roch]
\label{Riemann-Roch}
Soient $K$ un corps global de caractéristique \mbox{$p>0$},
-$k$ son corps des constantes, et $𝔠 ∈ \Pic_K$
-la classe canonique. Pour tout classe de diviseur $𝔞 ∈ \Pic_K$,
-on a l'égalité
+$k$ son corps des constantes, et $𝔠$ la classe canonique
+définie en \ref{définition classe canonique}.
+Pour tout classe de diviseur $𝔞$, on a l'égalité
\[
l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
\]
@@ -4187,10 +4188,6 @@ l(𝔞)=\dim_k   \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\]
\end{théorème2}
-La principale application que nous ferons de ce théorème
-est la démonstration de la rationalité de la fonction
-zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf.
-\emph{infra}.
\begin{remarque2}
Le théorème précédent est valide sous des hypothèses plus
@@ -4202,11 +4199,19 @@ semblable à celle suivie ici.
% cas général… ? \XXX
\end{remarque2}
+\begin{remarque2}
+La principale application que nous ferons de ce théorème
+est la démonstration de la rationalité de la fonction
+zêta d'une courbe algébrique sur un corps fini, cf. \emph{infra}. \XXX
+\end{remarque2}
+
\begin{exemple2}
-\label{genre droite affine}
-$g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX
-% cf. p. ex Rosen, p. 49
-% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
+\label{genre droite projective}
+Soit $p$ un nombre premier. Le genre du corps $𝐅_p(t)$ des fractions
+rationnelles est \emph{nul}.
+En effet, le diviseur $𝔠=\div(ψ_{𝐤_𝐀})$ du caractère
+additif construit en \ref{caractères additifs kA} est $-2⋅∞$ ; en
+particulier, son degré est $-2$ et le genre $g=½\deg(𝔠)+1$ est nul.
\end{exemple2}
\begin{corollaire2}
@@ -4214,6 +4219,14 @@ $g_{𝐅_p(t)}=0$. On a vu que $\div(ψ_{𝐤_𝐀})=-2⋅∞$.\XXX
Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$.
\end{corollaire2}
+\begin{démo}
+D'après le théorème de Riemann-Roch (\ref{Riemann-Roch}),
+il suffit de montrer que $l(𝔠-𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)>\deg(𝔠)$ ou
+encore, de façon équivalente, que $l(𝔞)=0$ si $\deg(𝔞)<0$.
+Or, si $f ∈ L(𝔞)-\{0\}$ pour un tel idéal, on a $\div(f) + 𝔞 ≥ 0$,
+d'où $\deg(𝔞)=\deg(\div(f)+𝔞)≥ 0$. Absurde.
+\end{démo}
+
\begin{corollaire2}
\label{existence de fonctions ayant pôles imposés}
Soient $K$ un corps global de fonctions et $Y ⊆ Σ(K)$ un sous-ensemble
@@ -4382,7 +4395,7 @@ Elle s'obtient à partir de son analogue local par produit.
Cette formule est également valable dans le cas des corps de nombres
si l'on considère la fonction
\[
-𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
Il suffit pour cela d'établir l'égalité, pour chaque place
@@ -4842,7 +4855,7 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
la fonction
\[
-𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} \mathbf{1}_{𝒪_x}\big) ⊠
+𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_x}\big) ⊠
\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations