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author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-13 22:10:22 +0100 |
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committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-12-13 22:10:22 +0100 |
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[LG] mini-changements de mise en page + un petit toudou
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-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 19 |
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 99fb4cf..2b24e6e 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -1319,7 +1319,7 @@ si et seulement si $s ∈ 𝐑$. Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$, où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini -modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique +modulo $2πi /\!\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique (resp. archimédien). Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^{-a}$, pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$. @@ -3651,7 +3651,7 @@ définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$. Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$ sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p --a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2iπλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$. +-a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2πiλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$. C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule du produit (\ref{formule du produit}). Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive @@ -4408,7 +4408,7 @@ en \ref{Mellin local archimédien}. D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère}, elle est équivalente à la formule bien connue \[ -\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big) +\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2πitx}dt \Big) =\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big) \] et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$. @@ -4632,6 +4632,9 @@ Z_K(T)= ∑_{r ≥ 0} N_r T^r, où $N_r$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs} (\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $r$. +[Formule $Z_{K_d}(T^d)=∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. \XXX] + + \subsubsection{Fonction zêta complétée} \label{fonction zêta complétée} Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode @@ -4790,7 +4793,7 @@ si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon. \item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{définition zêta Dedekind}) converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$, -\emph{modulo $2iπ/\!\log(q)$}, en faisant la convention que $2iπ/\!\log(1)=0$. +\emph{modulo $2πi/\!\log(q)$} (en faisant la convention que $2πi/\!\log(1)=0$). \item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$, égale à $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$. @@ -4804,7 +4807,7 @@ et l'on a \[ \Res₀ \sur{ζ}_K = \begin{cases} -\displaystyle -κ/\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\ +\displaystyle -κ/\!\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\ \displaystyle -κ/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres}, \end{cases} \] @@ -5045,12 +5048,12 @@ où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$. \item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière. \item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et -égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\log(q)𝐙$}, +égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$}, où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$) selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$ et $\chap{f}(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $1$, -où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / \log(q)$) +où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ /\!\log(q)$) selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions. La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}. \end{enumerate} @@ -5105,7 +5108,7 @@ Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$ satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation $P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$. Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$. -Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h_K$. +Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$. \subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$} \label{existence diviseur degré 1} |