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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 21:10:22 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 21:10:22 (GMT)
commita0a44d08bb4da9c395012489f9dfb5fc145dce9d (patch)
tree3d06fa5d17048fa9961ad9c38f9c7fe8ae706caa /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] mini-changements de mise en page + un petit toudou
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex19
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 99fb4cf..2b24e6e 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -1319,7 +1319,7 @@ si et seulement si $s ∈ 𝐑$.
Tout quasi-caractère multiplicatif $χ$ d'un corps local
est de la forme $χ₁ ω_s : x ↦ χ₁(x₁) ω_s(x)$,
où $χ₁$ est un caractère de $𝒰$ et $s$ est un nombre complexe bien défini
-modulo $2 i π /\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
+modulo $2πi /\!\log(q)$ (resp. unique) si $K$ est ultramétrique
(resp. archimédien).
Si $K$ est archimédien, le caractère $χ₁$ est de la forme $u ↦ u^{-a}$,
pour un unique entier $a$ appartenant à $𝐙$ si $K=𝐂$ et à $\{0,1\}$ si $K=𝐑$.
@@ -3651,7 +3651,7 @@ définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant
la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
--a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2iπλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
+-a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2πiλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive
@@ -4408,7 +4408,7 @@ en \ref{Mellin local archimédien}.
D'après \ref{dépendance Fourier local en caractère},
elle est équivalente à la formule bien connue
\[
-\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2iπtx}dt \Big)
+\Big( ℱ_{𝐑}(g_𝐑) : x↦ ∫_𝐑 e^{-πt²-2πitx}dt \Big)
=\Big( g_𝐑 : x↦ e^{-π x²}\Big)
\]
et son analogue complexe $ℱ_{𝐂}(g_𝐂)=\big(g_𝐂:z↦ \frac{1}{π}e^{-2 π z \sur{z}}\big)$.
@@ -4632,6 +4632,9 @@ Z_K(T)= ∑_{r ≥ 0} N_r T^r,
où $N_r$ est le nombre de \emph{diviseur effectifs}
(\ref{définition diviseur effectif}) de $K$ de degré $r$.
+[Formule $Z_{K_d}(T^d)=∏_{μ ∈ μ_d(𝐂)} Z_K(μT)$. \XXX]
+
+
\subsubsection{Fonction zêta complétée}
\label{fonction zêta complétée}
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est commode
@@ -4790,7 +4793,7 @@ si $K$ est un corps de fonctions et $1$ sinon.
\item La fonction zêta $ζ_K$ de Dedekind de $K$ (\ref{définition zêta Dedekind})
converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromorphe sur $𝐂$ à pôles
simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$,
-\emph{modulo $2iπ/\!\log(q)$}, en faisant la convention que $2iπ/\!\log(1)=0$.
+\emph{modulo $2πi/\!\log(q)$} (en faisant la convention que $2πi/\!\log(1)=0$).
\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$,
égale à $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres
de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$.
@@ -4804,7 +4807,7 @@ et l'on a
\[
\Res₀ \sur{ζ}_K =
\begin{cases}
-\displaystyle -κ/\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\
+\displaystyle -κ/\!\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\
\displaystyle -κ/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres},
\end{cases}
\]
@@ -5045,12 +5048,12 @@ où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$.
\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière.
\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
-égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\log(q)𝐙$},
+égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\!\log(q)𝐙$},
où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$
et $\chap{f}(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $1$,
-où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / \log(q)$)
+où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ /\!\log(q)$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}.
\end{enumerate}
@@ -5105,7 +5108,7 @@ Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$
satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation
$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$.
Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h_K}{(q-1)\log(q)}$.
-Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h_K$.
+Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P_K(1)=h_K$.
\subsubsection{Existence d'un diviseur de degré $1$}
\label{existence diviseur degré 1}