[LG] th. densité forte (déjà connu) déplacé (avec remarque sur existence démo. adélique).

1 files changed, 12 insertions, 25 deletions

diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9dc9d7a..d7bdaf6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2916,13 +2916,15 @@ Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD.
 
 \begin{théorème2}
 \label{cocompacité}
-Soit $K$ un corps global.
+Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
 \begin{enumerate}
 \item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
 discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
 dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
-\item Soit $U$ un ouvert dense de $K$. L'inclusion
-$𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
+Cependant, si $U$ est \emph{affine}, le morphisme diagonal
+$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}.
+\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...}
+\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
 un isomorphisme modulo les compacts.
 \end{enumerate}
 \end{théorème2}
@@ -2985,6 +2987,12 @@ de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ;
 elle est donc discrète.
 \end{itemize}
 
+Le résultat de densité $K$, lorsque $U$ est un ouvert affine,
+est un cas particulier de \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind} (cf. \ref{OKU Dedekind}.
+(Il est également possible de donner une démonstration adélique
+de ce résultat, en utilisant la dualité de Pontrâgin ; cf.
+\cite[6.79]{suuron1@kato-kurokawa-saito}.)
+
 (ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas
 de place archimédienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme
 modulo les compacts. Or, $𝒪_K(U)$ est l'image inverse du fermé
@@ -2998,6 +3006,7 @@ le morphisme composé $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc
 un isomorphisme modulo les compacts.
 \end{démo}
 
+
 \begin{corollaire2}
 \label{finitude K inter O sur a}
 Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}.
@@ -3401,9 +3410,6 @@ C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X),
 où l'on note
 $C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles.
 
-
-
-
 \begin{théorème2}
 Soit $K$ un corps global.
 \begin{enumerate}
@@ -3729,25 +3735,6 @@ d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$.
 \XXX détailler cette esquisse.
 \end{démo}
 
-Corollaire (?) : \XXX
-
-
-\begin{théorème2}[Théorème d'approximation forte]
-\label{densité K dans AKS}
-Soit $K$ un corps global.
-\begin{enumerate}
-\item Pour tout sous-ensemble non vide $E$ de places de $K$,
-le morphisme $K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{x ∉ E} (K_x ;𝒪_{K,x})$
-est d'image \emph{dense}.
-\item Pour tout ouvert dense $U$ de $K$ et tout $U ⊊U′ ⊆ Σ(K)$,
-le morphisme $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U′} K_x$ est d'image
-\emph{dense}.
-\end{enumerate}
-\end{théorème2}
-
-
-
-
 \begin{proposition2}
 \label{niveaux forme différentielle presque tous nuls}
 Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$