diff options
author | Fabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-09-20 16:29:04 +0200 |
---|---|---|
committer | Fabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com> | 2012-09-20 16:29:04 +0200 |
commit | a116438e107ddb9ee724535a96d9586fc9f36aaf (patch) | |
tree | 96c6d5464930218b3a0e2472a29b90b6fefa7e0f /chapitres/locaux-globaux.tex | |
parent | 6322112b51d7a11996ee2317d018ee1fe6ee7af2 (diff) | |
download | galois-a116438e107ddb9ee724535a96d9586fc9f36aaf.tar.gz galois-a116438e107ddb9ee724535a96d9586fc9f36aaf.tar.bz2 galois-a116438e107ddb9ee724535a96d9586fc9f36aaf.zip |
[LG] th. densité forte (déjà connu) déplacé (avec remarque sur existence démo. adélique).
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r-- | chapitres/locaux-globaux.tex | 37 |
1 files changed, 12 insertions, 25 deletions
diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex index 9dc9d7a..d7bdaf6 100644 --- a/chapitres/locaux-globaux.tex +++ b/chapitres/locaux-globaux.tex @@ -2916,13 +2916,15 @@ Pour un tel $U$, chaque $α_j^∨$ appartient à $L_𝐀(U) ⊆ L_𝐀$. CQFD. \begin{théorème2} \label{cocompacité} -Soit $K$ un corps global. +Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$. \begin{enumerate} \item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$ dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact. -\item Soit $U$ un ouvert dense de $K$. L'inclusion -$𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est +Cependant, si $U$ est \emph{affine}, le morphisme diagonal +$K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{u ∈ U} (K_{\chap{u}} ; K_{\chap{u}}^+)$ est d'image \emph{dense}. +\commentaire{notations non homogènes, cf. $\chap{u}$...} +\item L'inclusion $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est un isomorphisme modulo les compacts. \end{enumerate} \end{théorème2} @@ -2985,6 +2987,12 @@ de $L$ dans $L_𝐀$ est isomorphe à l'image de $K^d$ dans $K_𝐀^d$ ; elle est donc discrète. \end{itemize} +Le résultat de densité $K$, lorsque $U$ est un ouvert affine, +est un cas particulier de \refext{AVD-D}{theoreme-approximation-Dedekind} (cf. \ref{OKU Dedekind}. +(Il est également possible de donner une démonstration adélique +de ce résultat, en utilisant la dualité de Pontrâgin ; cf. +\cite[6.79]{suuron1@kato-kurokawa-saito}.) + (ii) Soit $U$ comme dans l'énoncé ; en particulier, $U$ ne contient pas de place archimédienne. On a vu que le morphisme $K → K_𝐀$ est un isomorphisme modulo les compacts. Or, $𝒪_K(U)$ est l'image inverse du fermé @@ -2998,6 +3006,7 @@ le morphisme composé $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U} K_x$ est donc un isomorphisme modulo les compacts. \end{démo} + \begin{corollaire2} \label{finitude K inter O sur a} Soit $K$ un \emph{corps de fonctions}. @@ -3401,9 +3410,6 @@ C^{=1}_K/C^{=1}_K(X) ⥲ \Pic⁰(X), où l'on note $C^{=1}_K(X)$ l'image de $K^×_𝐀(X)$ dans le groupe $C^{=1}_K$ des classes d'idèles. - - - \begin{théorème2} Soit $K$ un corps global. \begin{enumerate} @@ -3729,25 +3735,6 @@ d'où $a_i ∈ K$ et finalement, $a ∈ L$. \XXX détailler cette esquisse. \end{démo} -Corollaire (?) : \XXX - - -\begin{théorème2}[Théorème d'approximation forte] -\label{densité K dans AKS} -Soit $K$ un corps global. -\begin{enumerate} -\item Pour tout sous-ensemble non vide $E$ de places de $K$, -le morphisme $K → \mathrlap{\coprod}{\prod}_{x ∉ E} (K_x ;𝒪_{K,x})$ -est d'image \emph{dense}. -\item Pour tout ouvert dense $U$ de $K$ et tout $U ⊊U′ ⊆ Σ(K)$, -le morphisme $𝒪_K(U) → ∏_{x ∉ U′} K_x$ est d'image -\emph{dense}. -\end{enumerate} -\end{théorème2} - - - - \begin{proposition2} \label{niveaux forme différentielle presque tous nuls} Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$ |