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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:11:06 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-12-29 15:11:06 +0100
commita1b46e711a3942e4a6f6e84ef15e84a3edec91f4 (patch)
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[LG] suppression démonstration ad hoc th. unités de Dirichlet
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex155
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index 8bad234..097a6fa 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2065,161 +2065,6 @@ Alors, le groupe $𝒪_K^{\times}$ des unités de l'anneau des entier $𝒪_K$
est de type fini, de rang $r_\RR+r_\CC-1$.
\end{théorème2}
-\subsection{Théorème des unités de Dirichlet : démonstration directe}
-\XXX
-
-Séparer la « majoration » (notamment la type-finitude)
-de la minoration (calcul exact du rang). Cf. p. ex., Artin
-Theory of algebraic numbers (cours 1956/7 à Göttingen) §12.2.
-
-Commençons par observer le fait suivant :
-
-\begin{lemme2}
-\XXX
-Pour tout corps de nombre $K$ notons $\iota$ l'inclusion canonique
-$K↪ K_{\RR}$. Alors, l'image $\iota(𝒪_K)\subset K_\RR$ de l'anneau des entiers
-est un \emph{réseau}, \cad un $\ZZ$-module libre de rang $\dim_{\RR} K_\RR(=[K:\QQ])$
-engendré par des éléments $\RR$-linéairement indépendants.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-On sait déjà que $𝒪_K$ est un $\ZZ$-module libre de rang $[K:\QQ]$ (l'extension
-$K/\QQ$ est séparable) ; il en est donc de même de son image par $\iota$.
-Comme $𝒪_K\otimes_{\ZZ} \QQ⥲ K$, il existe une base de $𝒪_K$ sur $\ZZ$
-consitutée d'éléments linéairement indépendants sur $\QQ$. L'image de cette base
-par $x\mapsto x\otimes_{\QQ} 1_\RR$, $K→ K_\RR$, est une base
-du $\RR$-espace vectoriel $K_\RR$\footnote{Pour une interprétation
-à l'aide de discriminants, cf. \emph{infra}.}.
-\end{démo}
-
-\begin{lemme2}
-\XXX
-Le covolume de $𝒪$ dans $K_𝐑$ est $2^{-r_{\CC}}√{\got{d}_{K/\QQ}}$.
-\end{lemme2}
-
-\begin{démo}
-\XXX
-Soient $\sigma^{\RR}_1,\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}$ les plongements
-$K↪ \RR$ et $\sigma^{\CC}_1,\sur{\sigma^{\CC}_1},\dots,,\sigma^{\CC}_{r_\CC},
-\sur{\sigma^{\CC}_{r_\CC}}$ les plongements $K↪ \CC$.
-Le morphisme
-$𝒪_K→ K_{\RR} ≃ \RR^{r_{\CC}}\times \CC^{r_{\CC}}⥲ \RR^{r_{\RR}+2 r_{\CC}}$
-est de la forme
-$$x\mapsto (\sigma^{\RR}_1(x),\dots,\sigma^{\RR}_{r_\RR}(x),
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_1(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_1(x),\dots,
-\mathrm{Re}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x),\mathrm{Im}\,\sigma^{\CC}_{r_\CC}(x)).$$
-Passer de la matrice ayant ces colonnes à
-$\big(\sigma_i(x_j)\big)$ se fait par addition, soustraction et $r_{\CC}$ divisions par $2$.
-La formule en résulte.
-\end{démo}
-
-\subsubsection{}\emph{Fixons dornénavant un isomorphisme $K_\RR ≃ \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$}.
-Les morphismes $\log_{\RR}:\RR^{\times}→ \RR$, $x\mapsto \log(|x|)$
-et $\log_{\CC}:\CC^{\times}→ \RR$, $y\mapsto \log(|y|^2)$ définissent
-un morphisme de groupes (multiplicatif à gauche et additif à droite)
-$$
-\log:\big(\RR^{r_{\RR}}\times \CC^{r_\CC}\big)^\times→ \RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}.
-$$
-Par composition, on en déduit un morphisme noté de même $K_{\RR}^{\times}→
-\RR^{r_\RR}\times \RR^{r_\CC}⥲ \RR^{r_\RR+r_\CC}$.
-
-
-Soit $u\in 𝒪_K^{\times}$. Sa norme sur $\QQ$, $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)$,
-est un entier relatif ; comme il en est de même de $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u^{-1})
-= \mathrm{N}_{K/\QQ}(u)^{-1}$, on a $\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\in \{\pm 1\}$.
-Ceci ce traduit, sur $\RR$, en l'appartenance
-$$
-\log \iota(u)\in H=\{(x_i)\in \RR^{r_\RR+r_\CC},\ \sum x_i=0\}.
-$$
-Cela résulte de l'égalité
-$\mathrm{N}_{K/\QQ}(u)\otimes_{\QQ} 1_{\RR}=\mathrm{N}_{K_{\RR}/\RR}(u\otimes_{\QQ} 1_{\RR})$,
-jointe au fait que sur $K_{\RR}/\RR$ la norme est essentiellement le produit
-des coordonnées. Plus précisément, $\mathrm{N}_{(\RR\times \CC)/\RR}(a,b)=a\cdot b\sur{b}$
-(de même avec un nombre arbitraire de facteurs) donc
-l'égalité $\mathrm{N}_{(\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC})/\RR}(\iota(u))=\pm 1$ entraîne que
-le produit (pondéré) des coordonnées est $\pm 1$. Passant au logarithme
-des valeurs absolues, on obtient $0$ en sommant.
-
-Enfin, l'image inverse par $\log: 𝒪_K^{\times} → \RR^{r_\RR+r_\CC}$
-de toute partie bornée est \emph{finie}.
-Soit en effet $E\subset 𝒪_K^{\times}$, ou plus généralement
-$E\subset 𝒪_K^{\times}$, telle que $\log(E)\subset \RR^{r_\RR+r_\CC}$ soit
-bornée. En particulier, l'image $\iota(E)$ de $E$ dans $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$
-est bornée.
-Or, si $e\in E$, les coordonnées de $\iota(e)$, ainsi que leurs conjugués complexes,
-sont exactement les racines conjuguées sur $\QQ$ de $e$ dans $\CC$.
-Si celles-ci sont bornées en valeur absolue, il en est de même des coefficients
-du polynôme minimal de $e$. Comme celui-ci est également à coefficients entiers,
-il n'y a qu'un nombre fini de possibilité pour un tel polynôme et finalement
-pour $e\in 𝒪_K$.
-
-Il en résult que $\log(𝒪_K^{\times})$ est un sous-groupe de $\RR^{r_\RR+r_\CC}$
-tel que toute partie bornée soit finie. C'est donc un réseau (\ref{réseau-R^n}),
-de rang inférieur à $r_\RR+r_\CC-1$ car il est contenu dans l'hyperplan $H$.
-
-Il en résulte également que le noyau de $𝒪_K^{\times}→ \RR^{r_\RR+r_\CC}$ est \emph{fini}.
-
-Les deux lemmes suivants montrent que ce rang est exactement $r_\RR+r_\CC-1$.
-
-\begin{quote}[Lemme chinois non archimédien]
-Pour tout $1\leq k \leq r_{\RR}+r_\CC$, il existe $u\in 𝒪_K^{\times}$
-tel que $\log_i (u)$, la $i$-ième composante de $\log(u)$, soit $<0$ pour tout $i\neq k$.
-\end{quote}
-
-Commençons pas un résultat que nous allons itérer pour produire $u$ comme plus haut.
-
-\begin{quote}
-Il existe une constante $\mu_K$
-telle que pour tout $0\neq \alpha\in 𝒪_K$, il existe $0\neq \beta\in 𝒪_K$ satisfaisant :
-$$\left\{ \begin{array}{l}
-\log_i(\alpha)>\log_i(\beta),\ i\neq k \\
-\mathrm{N}_{K/\QQ}(\beta)\leq \mu_K
-\end{array}\right.$$
-\end{quote}
-
-Soit $\alpha$ comme ci-dessus. Supposons donnés des nombres réels positifs
-satisfaisant $c_{i,\alpha}< \exp(\log_i (\alpha))$ pour $i\neq k$.
-Pour chaque constante $C_{k,\alpha}>0$, considérons :
-$$E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha}):=\{(x_i)_{1\leq i \leq r_\RR+r_\CC}\in \RR^{r_\RR}\times
-\CC^{r_\CC},\
-\left\{ \begin{array}{l}
-|x_i|^{1\text{ou }2} \leq c_{i,\alpha}, \text{pour } i\neq k\\
-|x_k|^{1\text{ou }2} \leq C_{k,\alpha}
-\end{array}\right.\}
-$$
-(Ici «~$1\text{ou }2$» vaut $1$ si le facteur correspondant est $\RR$ et $2$ sinon.)
-
-On muni chaque facteur $\RR$ et $\CC$ de la mesure de Lebesgue usuelle et
-le produit est muni de la mesure produit.
-L'ensemble précédent est une partie de $\RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}$ qui est
-fermée (donc mesurable), symétrique par rapport
-à l'origine et convexe. Son volume est
-$$2^{r_\RR}\pi^{r_\CC}\big(\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}\big).$$
-Soit $\mu_K>0$ une constante telle que
-$$ 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K> 2^{[K:\QQ]}
-\mathrm{covol}(\iota(𝒪_K)\subset \RR^{r_\RR}\times \CC^{r_\CC}).$$
-À $\alpha$ fixé, On peut ajuster ces constantes de sorte que
-$\mathrm{Vol}(E(k,(c_{i,\alpha})_{i\neq k},C_{k,alpha})= 2^{r_\RR}\pi^{r_\CC} \mu_K$,
-\cad $\prod_{i\neq k} c_{i,\alpha} \cdot C_{k,\alpha}=\mu_K$.
-Il résulte alors du théorème de Minkowski \ref{Minkowski} que pour
-ces valeurs, il existe $0\neq \beta\in E\cap 𝒪_K$. Un tel $\beta$ satisfait les
-conditions du lemme.
-
-Démontrons le «~lemme chinois~».
-Choisissons $k$ et considérons un $\alpha\in 𝒪_K$ non nul quelconque. En vertu
-du résultat précédent, on peut construire une suite de $\beta_m$ dont les
-normes sont bornées tels que les $i\neq k$-composantes des logarithmes décroissent
-strictement. L'ensemble de idéaux $(\beta_m)$ étant fini (par finitude des normes), il existe
-$m'>m$ tel que $(\beta_m)=(\beta_{m'})$. On a alors $\beta_{m'}=\beta_{m} u$ pour
-une unité $u\in 𝒪_K^{\times}$. Elle satisfait les conclusions du lemme.
-
-\begin{quote}
-Soit $A$ une matrice telle que les éléments de la diagonale soit $>0$,
-ceux hors de la diagonale $<0$ et enfin que la somme des coefficients
-sur une ligne soit nulle.
-Alors, le rang de $A$ est égal au nombre de colonnes moins $1$.
-\end{quote}
-
\begin{remarque2}
Dans le cas des corps de fonctions, c'est un théorème de
F.K Schmidt : $𝒪_S^×/k^×$ est libre de rang $♯S-1$.