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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 16:08:42 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-12-13 16:08:42 (GMT)
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[LG] correction nombreuses « coquilles » et fin équation fonctionnelle, pôles, rationalité ζ
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index 1aa23be..9a2a55c 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4800,9 +4800,16 @@ satisfait l'équation fonctionnelle
\[
\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)
\]
-et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est
-la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et
-$r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
+et l'on a
+\[
+\Res₀ \sur{ζ}_K =
+\begin{cases}
+\displaystyle -κ/\log(q)& \text{si $K$ est un corps de fonctions}\\
+\displaystyle -κ/π^{r_𝐂} & \text{si $K$ est un corps de nombres},
+\end{cases}
+\]
+où $κ$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique}
+et $r_𝐂$ est le nombre de plongements de $K$ dans $𝐂$.
\item Si $K$ est un corps de fonctions, on a de plus
\[
ζ_K(s)=Z_X(q^{-s}), \quad \text{où} \quad Z_X(T)=\frac{P(T)}{(1-T)(1-qT)}
@@ -4811,8 +4818,8 @@ et $P(T) ∈ 𝐙[T]$ est un polynôme de degré $2g_K$.
La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
-\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
-\item $P(0)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard.
+\item $Z_K(T)=q^{-χ_K/2}T^{-χ_K}Z_K(1/qT)$, où $χ_K=2-2g_K$ et $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
+\item $P(0)=1$ et $P(1)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard.
\commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
@@ -4820,7 +4827,9 @@ La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
\begin{remarque2}
Les énoncés (a)—(c) sur la fonction Zêta $Z_X$ sont conséquence immédiate
-des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$.
+des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$.
+L'entier $χ_K$ est appelé « caractéristique d'Euler-Poincaré »
+du corps $K$ (ou plutôt, de la courbe projective lisse correspondante).
\end{remarque2}
\subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette
@@ -4842,8 +4851,7 @@ $ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}).
Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit
que la mesure de Haar multiplicative globale
produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
-est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$
-et on a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
+est indépendante de $ψ$ ; elle est égale à $|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$.
\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$
(\ref{quasi-caractères globaux}). Pour chaque signe de
@@ -4855,9 +4863,9 @@ Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\
-ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\
-ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
+ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} ; \\
+ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{1} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
%Quitte à remplacer $χ$ par un « translaté » $χ ω_s$, on peut
@@ -4870,11 +4878,21 @@ la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un cor
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.
+\begin{remarque2}
+Comme dans le cas local (\ref{quasi-caractères=variété}),
+l'introduction de la variable $s$ est essentiellement inutile : si l'on pose
+$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$.
+Moyennant une légère abstraction/géométrisation, il serait possible
+(et loisible) de considérer $χ$ comme une \emph{variable} (analytique), parcourant
+la « surface de Riemann » des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{Convergence}
-Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
+Vérifions que la transformée de Mellin $ζ(f,χ,s)$ d'une fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est holomorphe (en la variable $s$)
+sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$.
(\emph{A fortiori}, il en sera ainsi des deux transformées de Mellin tronquées.)
Par définition de la mesure idélique, on a — sous réserve de convergence
-du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$.
+du terme de droite — $ζ(f,χ,s)=|d_K|^{-½}∏_x ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$.
Or, quitte à décomposer $f$ en une somme finie, il existe un ouvert dense $U$ tel que, pour chaque $x ∈ U$, on ait :
\begin{enumerate}
\item $f_x=𝟭_{𝒪_{K,x}}$ (cf. \ref{Bruhat-Schwartz adélique}) ;
@@ -4911,26 +4929,26 @@ $ω_s$ est petit.
\subsubsection{}
Notons $\dot{f}$ la fonction $ι↦ ∑_{λ ∈ K} f(λ ι)=f(0)+∑_{λ ∈ K^×} f(λ ι)$ sur
les classes d'idèles $C_K=K^×_𝐀/K^×$ et $\dot{μ}^{\mbox{\minus
-$×$}}_{\japmath{玉}}$ l'unique mesure de Haar sur les
-classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus
-$×$}}_{\japmath{玉}}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ (cf. \ref{module et
+$×$}}_{1}$ l'unique mesure de Haar sur les classes d'idèles pour laquelle $∫_{K^×_𝐀} φ d{μ}^{\mbox{\minus
+$×$}}_{1}=∫_{C_K} \big(∑_{λ ∈ K^×} [× λ]^*φ\big)d\dot{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ (cf. \ref{module et
mesure quotients}). Les fonctions $χ,ω_s$ et $c$ étant invariantes par
multiplication par $λ ∈ K^×$, on a l'égalité
\[
ζ_{≤1}(f,χ,s) = \dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s) - f(0) \dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s),
\]
où $\dot{ζ}_{≤ 1}(\dot{f},χ,s)=∫_{C_K^{≤1}} \dot{f} c χ ω_s d\dot{μ}^{\mbox{\minus
-$×$}}_{\japmath{玉}}$, etc.
+$×$}}_{1}$, etc.
Il résulte de la formule de Poisson (\ref{Fourier
adélique} \ref{Poisson-Riemann-Roch}) et de la formule
$\mathrm{inv}^* c=1-c$, où $\mathrm{inv}(ι)=ι^{-1}$,
que l'on a :
\[
ζ_{≤ 1}(f,χ,s) + f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) =
-ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s).
+ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≥ 1}(1,\chap{χ},-s),
\]
+où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ (transformée de Fourier autoduale).
-Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)$ est une fonction
+Comme on l'a vu, le terme $ζ_{≥ 1}(\chap{f},\chap{χ},-s)$ est une fonction
entière. Nous allons voir dans le paragraphe suivant que $\dot{ζ}_{≥
1}(1,\chap{χ},-s)$ est holomorphe sur $\Re(s)>0$ et s'étend en une fonction
méromorphe. Il en résulte le fait remarquable que
@@ -4967,7 +4985,7 @@ ou la somme
κ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
\]
Lorsque, plus généralement, $χ$ est supposé trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$,
-il est de la forme $ω_τ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par
+il est de la forme $ω_σ$ si bien que le calcul se déduit du précédent par
translation (en $s$).
Lorsque $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s)=0$.
@@ -4983,22 +5001,25 @@ des résultats précédent que pour chaque $χ$, on a
\commentaire{Détailler ?}
-\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ,s)$
+\subsubsection{}Ainsi, la fonction $ζ(f,χ)$
est égale à
\[
-\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ,s) + ζ_{ ≥ 1}(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s)\big)-
-\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ,s) + ℱ_ψ(f,0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ},-s)\big)
-\]
-où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_τ$.
-Notons qu'aucun des quatre termes de la somme ci-dessus ne dépend de $ψ$.
-Pour le second terme, on utilise le fait que $ℱ_ψ(f)$ est transformé
-en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$
-et l'égalité $ζ(g,χ,s)=ζ([× λ]^*g,χ,s)$ (ainsi que pour les variantes
-tronquées) car $χ$ est supposé trivial sur $K^×$
-et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$ est une mesure de Haar multiplicative.
-Notons également qu'il résulte de cette dernière formule
-que l'on a $ζ(ℱ_ψ ℱ_ψ(f),χ,s)=ζ(f,χ,s)$ grâce à la formule d'inversion
-$ℱ_ψ ℱ_ψ =[×-1]^*$.
+\big( ζ_{ ≥ 1}(f,χ) + ζ_{ ≥ 1}(\chap{f},\chap{χ})\big)-
+\big(f(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,χ) + \chap{f}(0)\dot{ζ}_{≤ 1}(1,\chap{χ})\big)
+\]
+où le second terme est nul sauf si $χ$ est de la forme $ω_σ$.
+Notons que les deuxième et quatrième termes de la somme ci-dessus ne dépendent pas de $ψ$.
+En effet, d'une part $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$ est changée en une translatée multiplicative lorsque l'on change $ψ$
+et, d'autre part, on a l'égalité
+\[
+ζ([× ι]^*g,χ)=χ(ι)^{-1}ζ(g,χ) \tag{†}
+\]
+(ainsi que pour les variantes tronquées) pour chaque fonction $g$ et $ι ∈ K^×_𝐀$,
+car $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$ est une mesure de Haar multiplicative.
+Lorsque $ι ∈ K^×$, on a donc invariance $ζ([× ι]^*g,χ)=ζ(g,χ)$ car
+$χ$ est supposé trivial sur $K^×$.
+Il résulte également de cette formule que
+$ζ(ℱ_ψ²(f),χ)=ζ(f,χ)$ car $ℱ_ψ ∘ ℱ_ψ =[×-1]^*$.
Enfin, le caractère involutif de $χ ↦ \chap{χ}$
nous permet de déduire de ce qui précède le théorème suivant,
qui est un analogue global du théorème local \ref{prolongement méromorphe et équation fonctionnelle cas local}.
@@ -5013,106 +5034,87 @@ Soit $f:K_𝐀 → 𝐂$ une fonction dans $𝒮(K_𝐀)$.
holomorphe $ζ(f,χ,s)$ sur le demi-plan $\Re(s)>1-\Re(χ)$. Dans ce domaine, elle s'exprime
comme un produit « eulérien » absolument convergent
\[
-ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s).
+ζ(f,χ,s)= ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{x}(f_x,χ_x,s) = |d_K|^{-½} ∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s),
\]
+où $ζ_x(f_x,χ_x,s):= ∫_{K^×_x} f_x χ_x |⋅|_x^s d μ^×_{1,x}$.
\item La fonction $s↦ ζ(f,χ,s)$ admet un prolongement méromorphe à $𝐂$.
\item Elle satisfait l'équation fonctionnelle
\[
-ζ(f,χ,s)=ζ(ℱ_ψ(f),\chap{χ},-s).
+ζ(f,χ,s)=ζ(\chap{f},\chap{χ},-s),
\]
+où $\chap{f}=ℱ_ψ(f)$.
\item Si $χ$ n'est pas de la forme $ω_σ$, pour $σ ∈ 𝐂$, c'est une fonction entière.
\item Les pôles de $ζ(f,1,s)$ sont simples et
-égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/d\log(q)𝐙$},
-où $d$ est le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$)
+égaux (resp. congrus) à $0$ ou $1$ (resp. modulo $2πi/\log(q)𝐙$},
+où $q$ est cardinal du corps des constantes de $K$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
-\commentaire{$d=1$}
-Les résidus sont respectivement $κ′ f(0)$ ($s$ congru à $0$) et $κ′ ℱ(f)(0)$
-($s$ congru à $1$), où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / d \log(q)$)
+Les résidus sont $-f(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $0$
+et $\chap{f}(0)κ′$ si $s$ est égal (resp. congru) à $1$,
+où $κ′ = κ$ (resp. $κ′ = κ / \log(q)$)
selon que $K$ est un corps de nombres ou un corps de fonctions.
La constante $κ$ est le volume calculé en \ref{calcul volume idélique}.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
-\begin{remarques2}
-\begin{enumerate}
-\item Rappelons que si $K$ est un corps de fonctions
-(resp. un corps de nombres) l'ensemble des $σ$
-comme en (iv) est un torseur sous $\frac{2 π i}{\log(q)}𝐙$
-(resp. un singleton).
-\item Notons également que la variable $s$ est en grande partie superflue : si l'on pose
-$ζ(f,χ)=ζ(f,χ,0)$, on a $ζ(f,χ,s)=ζ(f,χ ω_s)$
-et l'équation fonctionnelle prend la forme équivalente plus agréable
-\[
-ζ(f,χ)=ζ(\chap{f},\chap{χ}),
-\]
-où $\chap{f}$ désigne la transformée de Fourier relativement
-au caractère $ψ$. Comme signalé en \ref{quasi-caractères=variété},
-on pourrait considérer $χ$ comme variable, parcourant
-la surface de Riemann des quasi-caractères de $K^×_𝐀/K^×$.
-Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
-\end{enumerate}
-\end{remarques2}
+\begin{démo}
+Ces énoncés sont conséquences des calculs précédents,
+à ceci près que, lorsque $K$ est un corps de fonctions,
+il faut \emph{a priori} remplacer $q$ par $q^d$
+dans (v) (localisation des pôles et le calcul des résidus),
+où l'on rappelle que $d$ est le plus petit degré $>0$
+d'un diviseur de $K$. Nous verrons en \ref{} \XXX que l'on a $d=1$.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Lorsque $χ=ω_σ$, la formule
+$ζ(f,ω_σ,s)=ζ(f,1,s+σ)$ ramène l'étude des pôles
+de cette fonction zêta à celle faite en (v).
+\end{remarque2}
-\subsubsection{Fonctions $L$ (Hecke) ; fonctions zêta}
-Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
-la fonction
+\subsubsection{Fonction zêta de Dedekind (suite)}
+Déduisons maintenant le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}
+du théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}.
+Comme en \ref{Fourier de 1}, considérons la fonction
\[
-𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
-considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
-lorsque cela ne prête pas à confusion.
-D'une part on a « formule de Riemann-Roch »
-\[
-ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭,
-\]
-où $ψ$ est un caractère additif $ψ$ de $K_𝐀/K$ quelconque,
-et d'autre part l'équation fonctionnelle
-\[
-ζ(𝟭,1,s)=ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s).
-\]
-Utilisant le fait que $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}= c_K μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$,
-on a également :
-\[
-ζ(𝟭,1,s)= c_K^{±1} ∫ 𝟭 ... μ^{\mbox{\minus $×$}}₁=c_K^{±1} ∏_x ζ_x(𝟭_x,1,s)
-\]
-On applique alors \ref{Matchett}
-pour obtenir :
-\[
-ζ(𝟭,1,s)=c_K^{±1} \sur{ζ}_K
-\]
-Enfin, $ζ([×d]^*f,χ)=χ(d)^{-1}ζ(f)$, d'où
-$ζ(ℱ_ψ(𝟭),\chap{1},-s)=|d_K|^{½-s} [...]ζ(𝟭,s)$
-L'équation fonctionnelle pour $\sur{ζ}_K$ en résulte aussitôt.
-
-\begin{lemme2}
-\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
-\end{lemme2}
-
-\subsubsection{Cas des corps de fonctions}
-Il résulte de la définition \ref{définition zêta Dedekind}, ou bien
-du fait que $s↦ ω_s$ ne dépend que de $q^{-s}$,
-que la fonction zêta d'un corps de fonctions $K$
-s'écrit $ζ_K(s)=Z_K(q^{-s})$ où $Z_K$ est une fonction méromorphe sur $𝐂^×$.
-Cette fonction satisfait les propriétés suivantes :
+On a d'une part $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=\sur{ζ}_K(s)$ et, d'autre part,
+${\chap{𝟭_𝒪}=|d_K|^{½} [×d_K]^* 𝟭_𝒪}$ (« formule de Riemann-Roch »).
+Par changement de variable ($†$), l'égalité $ζ(𝟭_𝒪,ω_s)=ζ(\chap{𝟭_𝒪},\chap{ω_s})$ se réécrit
+$\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$.
+L'énoncé sur le résidu en $0$ de $\sur{ζ}_K$ est conséquence
+de la formule (v) du théorème précédent et des égalités $g_𝐑(0)=1$ et $g_𝐂(0)=1/π$.
+Il reste à démontrer \ref{équation fonctionnelle zêta}, (iii).
+Si $K$ est un corps de fonctions, il résulte
+de la définition \ref{définition zêta Dedekind}
+qu'il existe une fonction $Z_X$ définie sur voisinage
+épointé de $0$ dans $𝐂$ telle que $ζ_K(s)=Z_X(q^{-s})$,
+pour $\Re(s)$ grand. D'après ce qui précède, cette fonction Zêta
+est en fait une fonction méromorphe sur $𝐂^×$ satisfaisant
+les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $0$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K$ a une limite, égale à $1$, en $0$.
-\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
+\item $Z_K(T)=q^{g_K-1}T^{2g_K-2}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
\end{enumerate}
+(Le fait (ii) est conséquence de l'égalité $\lim_{\Re(s) → +∞} ζ_K(s)=1$.)
+Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$, où $P_K$
+est une fonction \emph{entière} telle que $P_K(0)=1$.
+Compte tenu du fait que la fraction rationnelle $\frac{1}{(1-T)(1-qT)}$
+satisfait (iii) avec $g=0$, le polynôme $P_K$ satisfait l'équation
+$P_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}P_K(1/qT)$ ; c'est donc un \emph{polynôme} de degré $2g_K$.
+Enfin, on a déjà établi que $\Res₀ ζ_K=-\frac{h}{(q-1)\log(q)}$.
+Comme $\Res₀ \frac{1}{1-q^{-s}}=\frac{1}{\log(q)}$, on a bien $P(1)=h$.
+Ceci achève la démonstration du théorème \ref{équation fonctionnelle zêta}.
+
+%\begin{lemme2}
+%\[\frac{1}{1-αT}=(-α)^{-1}T^{-1} \frac{1}{1-α^{-1}T^{-1}}.\]
+%\end{lemme2}
-Il résulte de (i) et (ii) que $Z_K(T)=\frac{P_K(T)}{(1-T)(1-qT)}$ où $P$
-est une fonction \emph{entière} telle que $P(0)=1$.
-Elle satisfait la même équation fonctionnelle qu'en (iii). Il en résulte
-aussitôt que $P_K$ est un \emph{polynôme}, de degré $2g_K$.
-Vérifions les propriétés (i)--(iii). La première est une reformulation
-de \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} (iv). La seconde
-est conséquence du fait que $ζ_K(s) → 1$ lorsque $\Re(s) → + ∞$.
-(iii) [...]
-Convergence pour $\Re(s)>1$ facile : on se ramène au cas du corps de
-base. Il est utile de démontrer un résultat plus général.
+ \[⁂\]
\begin{corollaire2}[Pôle simple en $1$]
\label{pôle simple en 1 cdn}
@@ -5132,6 +5134,10 @@ le théorème de Frobenius \ref{} du chapitre [...].
\subsubsection{Exemple : $𝐐(i)$}
$ζ_{𝐐(√{-1})}=ζ(s)L(s,χ_{-1})$ et plus généralement $ζ_{𝐐(√m)}=ζ(s)L(s,χ_m)$. % cf. Katô-Saitô, chap. 7
+\section{Fonctions $L$}
+
+[...]
+
\section{Théorèmes de Minkowski, Riemann-Hurwitz et applications}
\subsection{Le théorème de Minkowski}