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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 11:33:03 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-03-25 11:33:03 +0100
commita28c28caccb336dab8b6a828d877d4753d98b411 (patch)
tree3e23410fe667f48825d1851ba03338294da7ed20 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent0b28f9579cbab6398491d367db445b6204a015d4 (diff)
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[locaux-globaux] petites clarifications
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex35
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 26d3ff3..94a1ea0 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -51,34 +51,47 @@ Corps locaux, corps globaux
On note $𝐐_{∞}=𝐑$.
\begin{définition2}
-On appelle \emph{corps local} un corps contenant
-un sous-corps isomorphe un corps $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
-séries de Laurent $𝐅_p((t))$, et fini sur celui-ci.
+On appelle \emph{corps local premier} un corps isomorphe
+à $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$), ou bien un corps de
+séries de Laurent $𝐅_p((t))$. On appelle \emph{corps local}
+un corps contenant un corps local premier et fini sur celui-ci.
\end{définition2}
-\begin{remarque2}
-On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}, [Ramakrishnan]) est localement compact
+\begin{remarques2}
+\begin{enumerate}
+\item On peut montrer qu'un corps (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil}, [Ramakrishnan]) est localement compact
si et seulement si il peut être muni d'une topologie
non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
-\end{remarque2}
+\item Prendre garde au fait que si un corps local de caractéristique $p>0$
+contient le sous-corps $𝐅_p((t))$, il contient également le sous-corps
+\emph{isomorphe} $𝐅_p((t^p))$, etc. En particulier, et contrairement au cas
+de la caractéristique nulle, il n'y a pas unicité du sous-corps local
+premier d'un corps local.
+\end{enumerate}
+\end{remarques2}
Dans cette section, on fixe un $K$ un corps local.
Lorsque $K$ est non-archimédien, on note $𝒪$
-son anneau des entiers, d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$,
-et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
+son anneau des entiers\footnote{On vérifie immédiatement
+que $𝒪$ est le sous-anneau compact maximal de $K$.},
+d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$, et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
le cardinal.
\begin{définition2}
-valeur absolue normalisée.
+valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
\end{définition2}
\begin{proposition2}
-Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
+Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors
+$[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
\end{proposition2}
\begin{proposition2}
-Soit $μ$ mesure de Haar et $a ∈ K^×$. Alors $[a]^*μ=|a| μ$.
+Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
\end{proposition2}
+À déplacer. \XXX
+
+\subsection{Espaces de fonctions}
\begin{définition2}
Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble