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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-11-22 17:03:56 (GMT)
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[LG] tout début démonstration théorème principal sur ζ (je me suis embrouillé dans les mesures...)
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -246,9 +246,6 @@ Radon $μ$ sur $∏_{s ∈ Σ} X_s$ telle que
μ(f_S ⊠ 𝟭)=(\bigboxtimes_{s ∈ S} μ_s) (f_S) × ∏_{s ∉ S} μ_s(𝟭_{X_s}).
\]
-
-
-
\subsubsection{Mesure des ensembles}
\label{mesure des ensembles}
On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
@@ -2811,10 +2808,10 @@ l'intégrale $μ_s({j^{U Σ}_s}_! f_s)$ où ${j^{U Σ}_s}_! f_s$ est le prolonge
par zéro de $f_s$ à $𝒳_s$.)
Si $U′ ⊆ U$ est une autre partie cofinie et que l'on
désigne par ${j^{U U′}}_{\! !} f_U$ le prolongement par zéro
-de $f_U=⊠_s f_s$ à $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$, on a
+de $f_U=\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s$ à $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$, on a
$μ_{U′}( {j^{U U′}}_{\! !} f_U)=μ_U(f_U)$. Cela résulte
de l'unicité de $μ_{U}$ et du fait
-que ${j^{U U′}}_{\! !} (⊠_s f_s) =⊠_s ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations
+que ${j^{U U′}}_{\! !} (\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} f_s) =\mathop{\bigboxtimes\nolimits_s} ({j^{U U′}_s}_!f_s)$, avec des notations
évidentes. Soit maintenant $f ∈ 𝒞_c((𝒳;\!𝒱)_𝐀,𝐂)$.
D'après l'observation du paragraphe précédent,
il existe un ensemble cofini $U ⊆ Σ$ tel que $f$
@@ -3377,13 +3374,13 @@ envoyant un réel $t$ strictement positif sur la classe
de l'idèle $(f_x)$, où $f_x=t^{1/[K:𝐐]}$ si $x$ est archimédien
et $f_x=1$ sinon. Si $K$ est un corps de fonctions,
l'image de la norme est trivialement un sous-groupe de la forme
-$q^{n 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
-et $n$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
-cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $n=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
+$q^{d 𝐙}$, où $q$ est le cardinal du corps des constantes de $K$
+et $d$ est un entier strictement positif. (En fait, on peut montrer,
+cf. \ref{} \emph{infra}, que l'on a $d=1$.) Dans ce cas, il n'y a en général pas
de section canonique.
\begin{remarque2}
-Le fait que l'entier $n$ ci-dessus soit égal à $1$
+Le fait que l'entier $d$ ci-dessus soit égal à $1$
revient à dire, dans le langage qui sera introduit ci-dessous,
qu'il existe sur $K$ un « diviseur de degré $1$ ».
%Cf. cours Katz, p. 13, via fonction zêta.)
@@ -4195,17 +4192,17 @@ notera $𝔠$.
\label{Poisson implique RR}
Appliquons la formule de Poisson-Riemann-Roch (\ref{Fourier adélique},
\ref{Poisson-Riemann-Roch}) à la fonction
-caractéristique, notée ici $𝟭$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$.
+caractéristique, notée ici $𝟭_𝒪$, du sous-anneau compact maximal $𝒪_{K_𝐀}$.
Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K_𝐀 ∕ K$.
Il résulte des formules locales \ref{Fourier et mesure locaux} que l'on a
l'égalité :
\[
-ℱ_ψ(𝟭)
+ℱ_ψ(𝟭_𝒪)
= \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x q_x^{-½n(ψ_x)} 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}
= q^{-½\deg(𝔠)} \mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}.
\]
Fixons un idèle $ι ∈ K^×_𝐀$, dont on note $𝔞$ le diviseur $\div(ι)$.
-Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
+Le terme de droite de l'égalité tautologique $∑_{f ∈ K} 𝟭_𝒪(f ι)=\# \big( K ∩ ι^{-1}𝒪_{K_𝐀}\big)$
(dont la finitude, qui résulte de \ref{lemme de convergence normale sur compacts},
a été observée en \ref{finitude K inter O sur a}),
n'est autre que l'ensemble
@@ -4222,7 +4219,7 @@ la dimension (finie) sur $k$ de $L(𝔞)$, de sorte que $\# L(𝔞) = q^{l(
Pour chaque $f ∈ K$, on a $\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_x 𝟭_{𝔪_x^{-n(ψ_x)}}(f/ι)=1$
si et seulement si $f ∈ L(𝔠-𝔞)$. Compte tenu
de l'égalité $|ι|=q^{-\deg(ι)}=q^{-\deg(𝔞)}$, la formule de Poisson-Riemann-Roch appliquée
-à $𝟭$ et $ι$ se réécrit 
+à $𝟭_𝒪$ et $ι$ se réécrit 
\[
q^{l(𝔞)}=q^{\deg(𝔞)}q^{-½\deg(𝔠)}q^{l(𝔠-𝔞)}.
\]
@@ -4422,14 +4419,14 @@ fonctions $K$, de corps des constantes de cardinal $q$.
\label{Fourier de 1}
Soit $K$ un corps global et posons
\[
-𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+𝟭_𝒪= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
\big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)}
g_{K_x}\big).
\]
Il résulte de ces formules locales précédentes que l'on
a la formule (globale)
\[
-ℱ_ψ(𝟭)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭.
+ℱ_ψ(𝟭_𝒪)=|d_K|^{½} [×d_K]^*𝟭_𝒪.
\]
Cette égalité est le pendant adélique de l'équation fonctionnelle
$θ(t)=\frac{1}{√{t}} θ(\frac{1}{t})$ considérée en \ref{équation-fonctionnelle-thêta}.
@@ -4444,7 +4441,7 @@ telle que $μ$ soit le produit (au sens de \ref{module et mesure quotients})
de $\sur{μ}$ par la mesure de comptage sur le sous-groupe discret $K$.
Compte tenu des égalités $\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}(K_𝐀 ∕ K)=1$
(\ref{Fourier adélique}, (i)), et $μ^{\mbox{\minus
-$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_ψ|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
+$+$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}₁$
(\ref{Tamagawa et idèle différentiel}), on a :
\[
\sur{μ}^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(K_𝐀 \bo K)
@@ -4462,6 +4459,12 @@ le compact $∏_x 𝒪_{K,x}$ est de mesure $1$.)
Pour une démonstration directe de cette seconde formule à partir du
théorème de Riemann-Roch, cf. \cite[2.1.3.b)]{Adeles@Weil}.
+\subsubsection{}Définissons de même la mesure $\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}$
+sur les classes d'idèles $C_K=K_𝐀^×/K^×$ comme étant l'unique mesure
+dont $μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$ est le produit par
+la mesure de comptage sur le sous-groupe discret
+(non cocompact) $K^×$.
+
\begin{théorème2}
\label{calcul volume idélique}
Soit $K$ un corps global. Notons $w$ le nombre de racines
@@ -4722,7 +4725,7 @@ le degré (en $t$) des fractions rationnelles.)
Ce facteur se réécrit
\[
∑_{f ∈ 𝐅_p[t] \atop \text{unitaire}} \frac{1}{|f|^s}=
-∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}$
+∑_{d ≥ 0} \frac{p^d}{p^{ds}}=(1-p ⋅ p^{-s})^{-1}
\]
car il y a exactement $p^{d}$ polynômes unitaires de degré $d$
dans $𝐅_p$. Ainsi,
@@ -4765,13 +4768,13 @@ converge absolument pour pour $\Re(s)>1$ et se prolonge en une fonction méromor
simples uniquement en les complexes congrus à $0$ ou $1$,
\emph{modulo $2iπ/\!\log(q)$}, en faisant la convention que $2iπ/\!\log(1)=0$.
\item Soit $|d_K|$ la norme d'un idèle différentiel de $K$,
-égale à $|𝒟_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres
-de discriminant $𝒟_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$.
+égale à $|𝔡_K|^{-1}$ ou $q^{2-2g}$ suivant que $K$ est un corps de nombres
+de discriminant $𝔡_K$ ou un corps de fonctions de genre $g$.
Alors, la fonction zêta complétée $\sur{ζ}_K$
(\ref{fonction zêta complétée})
satisfait l'équation fonctionnelle
\[
-\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)$
+\sur{ζ}(s)=|d_K|^{s-½}\sur{ζ}(1-s)
\]
et a pour résidu $-μ π^{-r_𝐂}$ en $s=0$, où $μ$ est
la constante calculée en \ref{calcul volume idélique} et
@@ -4785,46 +4788,54 @@ La fonction Zêta $Z_X$ satisfait les propriétés suivantes :
\begin{enumerate}
\item $Z_K$ a pour uniques pôles des pôles simples en $1$ et $q^{-1}$ ;
\item $Z_K(T)=q^{g_K}T^{2g_K}Z_K(1/qT)$, où $g_K$ est le \emph{genre} de $K$.
-\item $Z_K(0)=1$.
+\item $P(0)=h$, où $h$ est le cardinal du groupe de Picard.
+\commentaire{terminologie discutable : c'est le sous-groupe de torsion de Pic}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{théorème2}
+\begin{remarque2}
+Les énoncés (a)—(c) sur la fonction Zêta $Z_X$ sont conséquence immédiate
+des énoncés (i)—(ii) sur la fonction zêta $ζ_K$.
+\end{remarque2}
+
\subsubsection{}La démonstration de ce théorème occupe la suite de cette
-section, où nous établirons un énoncé de nature plus générale
-(\ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}),
-suivant la méthode (adélique) de \textsc{Iwasawa-Tate}
-(\cite{note@Iwasawa},\cite{Lettre@Iwasawa},\cite{Collected@Iwasawa} et \cite{Fourier@Tate}).
-%[BNT], pp. 120--130, Swinnerton-Dyer : « A brief guide to
-%algebraic number theory », Colmez (F.2.15),
-%et peut-être Zagier, « Eisenstein series … II », Katô-Saïtô §7.5.
+section. Suivant une méthode globale (adélique) due indépendamment à
+\textsc{Iwasawa} K. et J. \textsc{Tate}\footnote{Voir \cite{note@Iwasawa}, \cite{Lettre@Iwasawa}, \cite{Collected@Iwasawa},
+\cite{Fourier@Tate}.}, on interprète le produit eulérien (qui est aussi
+\emph{grosso modo} une somme sur les idéaux) comme une intégrale sur les idèles, plus précisément comme une
+transformée de Mellin adélique, puis on utilise le lien
+avec la transformation de Fourier pour établir l'équation fonctionnelle.
+Procédant ainsi, il est plus naturel d'établir
+d'abord l'énoncé général \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate}
+puis de vérifier que le théorème \ref{équation fonctionnelle zêta} en est
+conséquence.
-\subsubsection{Mesures}
-Soit $ψ=(ψ_x)$ un caractère additif non trivial de $K_𝐀/K$.
-Rappelons que l'on note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar additives locales
-(auto-duales) et $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$ les mesures de Haar multiplicatives locales
-associées comme en \ref{sorites mesures multiplicatives locales}.
-La mesure de Haar additive globale $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $+$}}_{ψ_x}$
-est indépendante de $ψ$ et est notée $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{\japmath{玉}}$
-(cf. \ref{Fourier adélique}). De même, la mesure de Haar multiplicative globale
-$μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ}=⊠_x μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
-est indépendante de $ψ$. On la note naturellement $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
-Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
-n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
-de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.
-
-\subsubsection{Esquisse}
-Pour chaque signe de comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$
-tels que $|ι| ? 1$. Soient $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$,
-$ψ$ un caractère de $K_𝐀/K$ et $c : K^×_𝐀 → 𝐑$
-la fonction valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$, $0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$
-et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
-Considérons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
+\subsubsection{}
+On fixe dorénavant un caractère additif non trivial $ψ=(ψ_x)$ de $K_𝐀/K$,
+auquel est associée la transformation de Fourier (autoduale)
+$ℱ_ψ$ (\ref{définition Fourier adélique}, \ref{Fourier adélique}).
+Comme dans le cas additif, il résulte de la formule du produit
+que la mesure de Haar multiplicative globale
+produit restreint des mesures $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{ψ_x}$
+est indépendante de $ψ$ ; on la note $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$.
+%Notons que la décomposition en produit d'une mesure de Haar globale
+%n'est pas canonique, contrairement à la décomposition
+%de $ψ$ en $⊠_x ψ_x$, qui est unique.
+On a $μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}=|d_K|^{½} μ^{\mbox{\minus $×$}}₁$
+
+\subsubsection{Transformation de Mellin adéliques}Soient $f$ une
+fonction sur $K_𝐀$ et $χ$ un quasi-caractère de $K^×_𝐀/K^×$. Pour chaque signe de
+comparaison $?$, notons $K^{×,? 1}_𝐀$ l'ensemble des idèles $ι$ tels que
+$|ι| ? 1$ et $c$ la fonction continue $K^×_𝐀 → 𝐑$ valant $1$ sur $K^{×, >1}_𝐀$,
+$0$ sur $K^{×, <1}_𝐀$ et $½$ sur $K^{×, =1}_𝐀=K^{×, ≤1}_𝐀 ∩ K^{×, ≥1}_𝐀$.
+Sous réserve de convergence ou d'existence d'un prolongement méromorphe
+(cf. \emph{infra}), définissons les fonctions zêta suivantes, obtenues par
transformation de Mellin :
\[
\begin{array}{rcl}
-ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \\
-ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}, \text{ et enfin} \\
+ζ_{≤ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} (1-c) ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\
+ζ_{≥ 1}(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} c ⋅ f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} ; \\
ζ(f,χ,s) & = & \displaystyle ∫_{K^×_𝐀} f χ ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}} = ζ_{≥ 1}(f,χ,s)+ζ_{≤ 1}(f,χ,s).
\end{array}
\]
@@ -4832,48 +4843,59 @@ transformation de Mellin :
%supposer que $\Re(χ)=0$, c'est-à-dire que $χ$ est un \emph{caractère}.
Dans les deux premiers cas, on peut restreindre le domaine d'intégration à
$K^{×, ≥1}_𝐀$ et $K^{×, ≤1}_𝐀$ respectivement.
-
-Lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
-l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile car
+Notons également que lorsque $K$ est un \emph{corps de nombres},
+l'introduction des facteurs correctifs $c$ et $1-c$ est inutile :
la mesure de $K^{×, =1}_𝐀$ est nulle. \emph{A contrario}, si $K$ est un corps
de fonctions, le groupe des idèles $K^×_𝐀$ est une union \emph{dénombrable} de translatés
de $K^{×, =1}_𝐀$.
-\subsubsection{}Ces intégrales définissent des fonctions holomorphe
-sur $\Re(s)>1-\Re(χ)$ dès lors que $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$. Il suffit de considérer la transformée
-de Mellin $ζ(f,χ,s)$ et de la comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
+\subsubsection{Convergence}
+Fixons $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ et vérifions
+la convergence absolue de l'intégrale $∫_{K^×_𝐀} f ω_s dμ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}$
+pour $\Re(s)>1$. Par définition, la transformée de Mellin est,
+sous réserve de convergence, le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} ζ_{ψ_x}(f_x,χ_x,s)$
+des transformées de Mellin locales définies en \ref{fonction zêta locale}.
+[...]
+
+comparer avec la fonction zêta en utilisant une décomposition en produit via
Fubini [...] \XXX % p. ex., BNT, p. 119, prop. 10.
La transformée de Mellin tronquée $ζ_{≥ 1}(f,χ,s)$ est donc convergente et holomorphe
sur $𝐂$ entier car plus $\Re(s)$ est petit, plus la fonction intégrée l'est.
\subsubsection{Exemple: la fonction constante $𝟭$}
\label{calcul zeta1khis}
-Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
-comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
-$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
-caractères). Si par contre $χ$ est trivial
-sur $K^{×,=1}_𝐀$, il provient d'un caractère de
-$K^×_𝐀/K^{×,=1}_𝐀$ et est donc (\ref{quasi-caractères globaux}) de la forme
-$ι↦ |ι|^σ$ ($σ ∈ i 𝐑$). Dans ce cas, posant $κ=μ^{\mbox{\minus $×$}}_{\japmath{玉}}(K^{×,=1}_𝐀/K^×)$
-on a :
+[JE ME SUIS EMBROUILLÉ : c'est pas $ζ$ mais une intégrale sur un quotient
+que l'on calcul ici] \XXX
+
+Lorsque $f$ est la fonction constante de valeur $1$
+et $χ$ est le quasi-caractère trivial, l'intégrale
+définissant la transformée de Mellin « inférieure »
+converge pour $\Re(s)>0$ et on a l'égalité :
\[
\begin{array}{rcll}
-ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s) & = & \frac{κ}{s+σ} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
-& = & \frac{κ}{2} \frac{1+q^{-(s+σ)}}{1-q^{-(s+σ)}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions.}
+ζ_{≤ 1}(1,1,s) & = & \frac{μ}{s} & \text{si $K$ est un corps de nombres ;}\\
+& = & \frac{μ}{2} \frac{1+q^{-ds}}{1-q^{-ds}} & \text{si $K$ est un corps de fonctions,}
\end{array}
\]
-En effet, on trouve respectivement l'intégrale
+où $μ=\sur{μ}^{\mbox{\minus $×$}}_{1}(C^{=1}_K)$ est la constante calculée en \ref{calcul volume idélique},
+et, dans le second cas, $d$ est l'unique entier naturel tel que $|K^×_𝐀|=q^{d 𝐙}$
+c'est-à-dire le plus petit degré $>0$ d'un diviseur de $K$ (cf. \ref{quasi-caractères globaux}).
+En effet, par définition de la transformation de Mellin et des mesures, il résulte du
+théorème de Fubini que le terme de gauche
+est égal à l'intégrale
\[
-κ ∫_{𝐑>0} t^{s+σ} \frac{dt}{t}
+μ ∫₀¹ t^s \frac{dt}{t}
\]
-et la somme
+ou la somme
\[
-κ \big( ½ + ∫_{𝐙_{>0}} q^{-n(s+σ)} dμ(n)\big).
+μ \big( ½ + ∑_{n ∈ 𝐙_{>0}} q^{-nds} \big).
\]
-(On utilise ici la surjectivité de $||: K^×_𝐀 → q^{𝐙}$.)
-Notons que dans le second cas, il y a une ambiguïté dans le
-choix de $σ$ ; elle disparaît en évaluant $q^{-σ}$.
-Le même calcul s'applique à $ζ_{ ≥1}(𝟭,χ,s)$.
+%% cf. mesure de comptage sur le quotient.
+
+(Si le quasi-caractère $χ$ est non trivial sur $K^{×,=1}_𝐀$, on a $ζ_{≤ 1}(𝟭,χ,s)=0$
+comme il résulte d'un changement de variable $ι↔xι′$ où
+$χ(x) ≠ 1$ et $x ∈ K^{×,=1}_𝐀$ (orthogonalité des
+caractères).)
\subsubsection{}La substitution $ι↦ ι^{-1}$ transforme $K^{×, ≤1}_𝐀$.
D'autre part, on a $c(ι^{-1})=1-c(ι)$ pour chaque idèle $ι$.
@@ -4981,8 +5003,8 @@ Cela nous permettrait d'éviter la redondance $χ,s$.
Appliquons le théorème \ref{pôles et équation fonctionnelle Iwasawa-Tate} à
la fonction
\[
-𝟭= \big(⊠′ _{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
-\big(⊠_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
+𝟭= \big(\mathop{\bigboxtimes\nolimits'}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝟭_{𝒪_{K,x}}\big) ⊠
+\big(\mathop{\bigboxtimes}_{x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)} g_{K_x}\big)
\]
considérée en \ref{Fourier de 1} et au caractère multiplicatif $χ$ \emph{trivial}, que nous omettons des notations
lorsque cela ne prête pas à confusion.