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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 16:32:11 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-09-20 16:32:11 (GMT)
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index d7bdaf6..311cfff 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -3510,31 +3510,27 @@ $n_u ≥ n_u′$ pour chaque $u ∈ U$.
\section{Formule de Poisson et théorème de Riemann-Roch}
Dans tout ce paragraphe, $K$ désigne un corps global.
-\subsection{Transformation de Fourier}
+\subsection{Caractères et transformation de Fourier adéliques}
-\subsubsection{}
+\subsubsection{Notations}
\label{produit externe restreint}
À toute collection $(f_x:K_x → 𝐂)_{x ∈ Σ(K)}$ de fonctions continues telles
que pour presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ on ait
$f_x(𝒪_{K,x})=\{1\}$, on peut associer la fonction
-produit externe restreint
-\[
-\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x : K_𝐀 → 𝐂, (a_x)↦ ∏_{x
-∈ Σ(K)} f_x(a_x).
-\]
+$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ(K)} f_x$
+de $K_𝐀$ dans $𝐂$, produit externe restreint des $(f_x)$,
+c'est-à-dire envoyant un adèle $(a_x)$ sur le produit $∏_{x ∈ Σ(K)} f_x(a_x)$.
C'est une fonction continue, que l'on notera aussi simplement
$f_𝐀=(f_x)$, tout en gardant à l'esprit que la donnée de la fonction produit
externe restreint $f_𝐀$ ne permet bien évidemment pas de retrouver
les facteurs $f_x$. (Voir cependant \ref{caractères additifs QA}
ci-dessous dans le cas de caractères.) Il est parfois commode de considérer la partie
-archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}$, produit externe fini $\bigboxtimes_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x
-: K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, et la partie ultramétrique
-$f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$, produit externe restreint
-$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} f_x :
-K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
+archimédienne $f_{𝐀}^{\mathrm{arch}}:K_𝐀^{\mathrm{arch}} → 𝐂$, produit externe fini
+des $f_x$ pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}$,
+et son analogue ultramétrique $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}:K_𝐀^{\mathrm{ultr}} → 𝐂$.
Par construction, on a $f_𝐀=f_𝐀^{\mathrm{arch}} ⊠ f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$.
-\begin{définition2}[Espace de Bruhat-Schwartz adélique]
+\subsubsection{Espace de Bruhat-Schwartz adélique}
\commentaire{Bonne définition ? Kudla [Tate]/Weil [1964b]}
\label{Bruhat-Schwartz adélique}
On note $𝒮(K_𝐀)$ l'ensemble des combinaisons linéaires à coefficients
@@ -3542,7 +3538,6 @@ complexes de produits externes restreints $f_𝐀=(f_x)$
où chaque $f_x$ appartient à l'espace de Schwartz $𝒮(K_x)$
du corps local $K_x$ (\ref{BS-local}), et $f_x = 𝟭_{𝒪_{K,x}}$ pour
presque tout $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-\end{définition2}
% cf. Kudla, « Tate's thesis »
%p. 125, ces fonctions seraient en général seulement
%\emph{denses} dans l'espace de Bruhat-Schwartz.
@@ -3553,16 +3548,13 @@ Ainsi, la fonction $f_𝐀^{\mathrm{ultr}}$ est combinaison linéaire de foncti
$\mathop{\bigboxtimes\nolimits′}\limits_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)}
𝟭_{a_x + 𝔪_x^{n_x} 𝒪_{K,x}}$ où $(a_x) ∈ K_𝐀^{\mathrm{ultr}}$
et les entiers relatifs $n_x$ sont presque tous nuls.
-
-\begin{remarque2}
-Nous verrons ci-après (\ref{densité K dans AKS})
-\commentaire{cercle vicieux ?}
-qu'il existe $a ∈ K$ tel que $a-a_x ∈ 𝒪_{K,x}$ pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-Ainsi, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
+Si $K$ est un corps de nombres, il résulte de \ref{cocompacité} (i)
+qu'il existe un élément $a ∈ K$ tel que $a-a_x$ appartienne à $𝒪_{K,x}$
+pour chaque $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+Dans ce cas, toute fonction $f ∈ 𝒮(K_𝐀)$ est combinaison
linéaire de fonctions $f^{\mathrm{arch}} ⊠ f^{\mathrm{ultr}}$, où $f^{\mathrm{ultr}}$
est de la forme $𝟭_{a+𝔫𝒪_{K_𝐀}}$, avec $a ∈ K$ et $𝔫=∏_{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)} 𝔪_x^{n_x}$
($n_x=0$ pour presque tout $x$).
-\end{remarque2}
\subsubsection{Caractères additifs $𝐐_𝐀$}
\label{caractères additifs QA}
@@ -3571,7 +3563,7 @@ définis en \ref{caractère corps local} et satisfaisant
la condition $𝐞_p(𝐙_p)=\{1\}$ pour tout nombre premier $p$.
Explicitement : $ψ_𝐐$ envoie $a_𝐀=(a_p)$
sur le produit (à support fini) $∏_p 𝐞_p(a_p)=𝐞(∑_{p \text{premier}} \{a_p\}_p
--x_∞)$, où $𝐞(x)=\exp(2iπx)$.
+-a_∞)$, où $𝐞(λ)=\exp(2iπλ)$ pour chaque $λ ∈ 𝐑$.
C'est un caractère additif de $𝐐_𝐀$, trivial sur $𝐐$ par la formule
du produit (\ref{formule du produit}).
Pour chaque $p ∈ Σ(𝐐)$, notons $a_p↦ a_p^𝐀$ la section additive
@@ -3600,31 +3592,25 @@ par exemple $V=\{z ∈ 𝐂: |z-1|<1\} ∩ 𝐔$.
Alors $Ψ^{-1}(V)$ est ouvert, contient un \emph{sous-groupe} ouvert compact $C=nG$ de $G$
— car ceux-ci forment une base de la topologie de $G$ —
et $\Ker(Ψ) ⊆ C$. Le caractère $Ψ$ est donc trivial sur les $𝐙_p$
-pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. Ceci achève la démonstration
-du caractère isomorphique de $𝐐_𝐀 → \chap{𝐐_𝐀}$.
-
-Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal à lui-même :
-un élément $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
-$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, c'est-à-dire si et seulement si la
-restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
-Si $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐐_𝐀 : ψ_𝐐(b_𝐀 𝐐)=\{1\}\}$,
-[...]
-
-on peut écrire $a=λ + c$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
-diagonalement) et $c=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
-(\ref{cocompacité}). Naturellement,
-$c ∈ 𝐐^⊥$. (L'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
-vectoriel des adèles.). On a
-$1=ψ_𝐐(c)=𝐞_{∞}(-c_∞)$ et finalement $c_∞=0$. Ainsi,
-$[×c]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
-(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c=0$
-et $a ∈ 𝐐$\footnote{En utilisant un peu la théorie
+pour chaque $p$ ne divisant pas $n$. CQFD.
+
+Montrons maintenant que $𝐐$ est orthogonal à lui-même, c'est-à-dire qu'un
+élément $a_𝐀$ de $𝐐_𝐀$ appartient à $𝐐$ si et seulement si
+$ψ_𝐐(a_𝐀  b)=1$ pour tout $b∈𝐐 ⊆ 𝐐_𝐀$, ou encore si et seulement si
+la restriction de $[×a_𝐀]^*ψ_𝐐$ à $𝐐$ est triviale.
+Soit $a_𝐀 ∈ 𝐐^⊥$ ; on peut le décomposer en une somme
+$a_𝐀=λ + c_𝐀$ où $λ$ appartient à $𝐐$ (plongé
+diagonalement) et $c_𝐀=(c_p)_p ∈ C=[-½,½]× ∏_{p \text{ premier}} 𝐙_p$
+(voir \ref{cocompacité} (i), démonstration). Naturellement,
+$c_𝐀$ appartient également à $𝐐^⊥$ car l'orthogonal $𝐐^⊥$ est un sous-$𝐐$-espace
+vectoriel des adèles. En particulier, $1=ψ_𝐐(c_𝐀)$. Comme
+$ψ_𝐀(c_𝐀)=𝐞_{∞}(-c_∞)$, on a $c_∞=0$. Ainsi,
+$[×c_𝐀]^*ψ_𝐐$ est trivial sur $𝐐_∞ × ∏_p 𝐙_p$ et $𝐐$ donc
+(\emph{loc. cit.}) sur $𝐐_𝐀$ tout entier. Ainsi, $c_𝐀=0$. CQFD\footnote{En utilisant un peu la théorie
de la dualité, on pourrait montrer que le quotient
$𝐐^⊥ \bo 𝐐$ est discret. Comme il est compact,
car $𝐐_𝐀 \bo 𝐐$ l'est, il est fini donc trivial
car c'est un $𝐐$-espace vectoriel.}. % note : cf. [Lang]
-% ici : méthode de Weil, BNT p. 67.
-
\begin{remarque2}
On peut montrer que tout caractère continu d'un produit
@@ -3632,63 +3618,68 @@ de groupes compacts a presque tous ses facteurs triviaux.
\end{remarque2}
-\subsubsection{Caractères additifs de $𝐀_𝐤$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
+\subsubsection{Caractères additifs de $𝐤_𝐀$, où $𝐤=𝐅_p(t)$, $p>0$ premier}
Notons $∞$ la place correspondant à l'idéal
-premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$.
-Notons enfin $ψ_∞$ le caractère additif du corps
-local $𝐤_∞$, construit en \ref{exemples caractères additifs
-locaux} : si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$,
-$c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$, on pose
+premier $(t^{-1})$ du sous-anneau $𝐅_p[t^{-1}]$ de $𝐤$
+et $ψ_∞$ le caractère additif du corps local $𝐤_∞$,
+construit en \ref{exemples caractères additifs locaux} :
+si $f ∈ 𝐤_∞$ s'écrit $f= ∑_{-∞}^{i = n} c_i t^i$, avec $c_i ∈ 𝐅_p$ et $n ∈ 𝐙$,
\[
ψ_∞(f)=𝐞_{𝐤_∞,dt}(f)=ψ_{𝐅_p}(c_{-1}).
\]
Notons $𝔪_∞=(t^{-1})𝐅_p[[t^{-1}]]$ l'idéal maximal de l'anneau
$𝒪_{𝐤_∞}$ des entiers de $𝐤_∞$. On a $ψ_∞(𝔪_∞²)=\{1\}$ mais $ψ_∞(𝔪_∞) ≠ \{1\}$.% : le niveau de $ψ_∞$ est égal à $1$.
-Le caractère composé $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝒪_{𝐤_∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
-se factorise à travers la surjection $∏_x 𝒪_{𝐤_x} ↠ 𝐀_𝐤 \bo 𝐤$ (\ref{cocompacité})
-car \mbox{$ψ_∞(𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞})=\{1\}$}. On en déduit donc
+Rappelons (\ref{cocompacité}, démonstration) que
+le morphisme canonique du compact $C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ vers le quotient
+$𝐤_𝐀 \bo 𝐤$ est une surjection. Comme le caractère $ψ_∞$
+est trivial sur $𝐤 ∩ 𝒪_{𝐤_∞}$, le caractère composé
+$∏_x 𝒪_{𝐤,x} ↠ 𝒪_{𝐤,∞} \dessusdessous{ψ_∞}{→} 𝐂^×$
+induit un caractère additif (continu) $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x:$
un caractère additif (continu) des adèles, trivial sur $𝐤$, que l'on
-note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Par construction, $ψ_{𝐤,x}$ est trivial
-sur $𝒪_{𝐤_x}$ pour chaque $x ≠ ∞$. Nous allons voir comment
-calculer ce caractère et montrer qu'il est de \emph{niveau nul}.
-Soit $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant.
+note $ψ_𝐤=(ψ_{𝐤,x})_x$. Pour chaque $x ≠ ∞$, le caractère
+additif local $ψ_{𝐤,x}$ est par construction trivial
+sur $𝒪_{𝐤,x}$. Montrons qu'il est de niveau nul.
+Notons $ϖ_x$ le générateur unitaire de l'idéal maximal de $𝐅_p[t]$ correspondant
+à $x$, que l'on peut écrire sous la forme $ϖ_x=t^{δ_x}u$
+où $δ_x=\deg(ϖ)$ et $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ est de degré inférieur ou égal à $δ_x$
+en $t^{-1}$.
Tout élément $f$ du complété $ϖ_x$-adique $𝐤_x$ s'écrit
-de manière unique $∑_{i ≥ n} c_i(t) ϖ_x^i$, où $n ∈ 𝐙$
+de manière unique $∑_{i ≥ -r} c_i(t) ϖ_x^i$, où $r ∈ 𝐙$
et $c_i(t) ∈ 𝐅_p[t]$ est un polynôme de degré strictement
-inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut écrire $f=f_-+f_+$,
-où $f_+ ∈ 𝒪_{𝐤_x}$ et, en mettant au même dénominateur,
+inférieur à $δ_x=\deg(ϖ_x)$. On peut décomposer $f$ en
+la somme d'un élément $f_+$ de $𝒪_{𝐤,x}$ et d'un élément
\[
f_-=\frac{λ_{\max }t^{r δ_x -1} + \cdots + λ₀}{(t^{δ_x}u)^r}
\]
-pour un entier $r>0$, des $λ_i$ dans $𝐅_p$, et
-un polynôme $u ∈ 1+t^{-1}𝐅_p[t^{-1}]$ de degré inférieur ou égal à $δ_x$
-tel que $ϖ_x = t^{ δ_x} u$.
+pour un entier $r>0$ et des $λ_i$ dans $𝐅_p$.
Par construction $ψ_∞(f_-)=ψ_{𝐅_p}(λ_{\max})$ et
-$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤_y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
-Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)=ψ_{𝐤,x}(f_-)=ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$,
-la première égalité étant conséquence de la trivialité
-de $ψ_{𝐤,x}$ sur $𝒪_{𝐤_x}$. % itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
+$1=ψ_𝐤(f_-)=ψ_∞(f_-)ψ_{𝐤,x}(f_-)$ car $f_- ∈ 𝒪_{𝐤,y}$ pour chaque $y ∉ \{x,∞\}$.
+Ainsi, $ψ_{𝐤,x}(f)$, qui coïncide avec $ψ_{𝐤,x}(f_-)$
+est égal à $ψ_{𝐅_p}(-λ_{\max})$.
+% itou pour 𝐞_{𝐤_x,dt} — car $dt ∈ 𝒪_{𝐤_x}d ϖ_x$ —,
En particulier, $ψ_{𝐤,x}(t^{δ_x-1}/ϖ_x) = ψ_{𝐅_p}(-1)≠ 1$. Ceci montre que
-$n(ψ_{𝐤,x})=0$ compte tenu du fait que $t^{δ_x-1} ∈ 𝒪_{𝐤_x}^×$ ($x
-≠ ∞$).
-Montrons que $𝐀_𝐤 → \chap{𝐀_𝐤}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
+le niveau (\ref{niveau caractère}) de $ψ_{𝐤,x}$ est nul.
+(On utilise ici le fait que $t^{δ_x-1}$ est une unité en
+$x ≠ ∞$.)
+
+Montrons maintenant que le morphisme $𝐤_𝐀 → \chap{𝐤_𝐀}$, $a↦ [×a]^* ψ_𝐤$ est un
isomorphisme et que $𝐤$ est orthogonal à lui-même.
La bijectivité résulte comme ci-dessus de \ref{dual corps local}
et du fait que les $ψ_{𝐤,x}$ sont de niveau nul pour $x ≠ ∞$. (Qu'ils
le soient presque tous suffirait.)
-Soit $a ∈ 𝐤^⊥ =\{b ∈ 𝐀_𝐤 : ψ_𝐤(b 𝐤)=\{1\}\}$.
-On peut écrire $a=f + c$ où $λ$ appartient à $𝐤$ (plongé
-diagonalement) et $c=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤_x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
+Soit $a_𝐀 ∈ 𝐤^⊥ =\{b_𝐀 ∈ 𝐤_𝐀 : ψ_𝐤(b_𝐀 𝐤)=\{1\}\}$.
+On peut écrire $a_𝐀=f + c_𝐀$ où $f$ appartient à $𝐤$ (plongé
+diagonalement) et $c_𝐀=(c_x)_x ∈ C=∏_x 𝒪_{𝐤,x}$ (\ref{cocompacité}). Quitte
à translater par une constante dans $𝐅_p$, on peut
supposer que $c_∞$ appartient à $𝔪_∞$.
-Naturellement, $c ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
+Naturellement, $c_𝐀 ∈ k^⊥$ et $1=ψ_𝐤(c)=𝐞_{∞}(c_∞)$,
si bien que $c_∞ ∈ 𝔪_∞²$. Ainsi,
$[×c]^*ψ_𝐤$ est trivial sur $C$, et $𝐤$ donc
-(\emph{loc. cit.} \XXX), sur $𝐀_k$ tout entier. Ainsi, $c=0$
-et $a ∈ 𝐤$.
+(\emph{loc. cit.}) sur $𝐤_𝐀$ tout entier. Finalement,
+$c_𝐀=0$ et $a_𝐀 ∈ 𝐤$. CQFD.
\begin{exercice2}
-Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
+Montrer que pour tout $x ≠ ∞$, $ψ_{𝐤,x}=[×±]^*𝐞_{𝐤_x,dt}$. \XXX
\end{exercice2}
\begin{théorème2}[Dualité de Pontrâgin pour les adèles]
@@ -3707,6 +3698,9 @@ orthogonal considéré dans l'énoncé n'est autre
que l'ensemble $K^⊥$ relativement à cet
accouplement.
+ \[⁂\]
+
+
\begin{démo}
Si $K$ est $𝐐$ ou un corps $𝐤=𝐅_p(t)$ ($p>0$), cela résulte
de ce qui précède. Montrons que maintenant que le théorème