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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 15:15:43 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-07-12 15:15:43 (GMT)
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[LG] trace et dualité (en cours) [sauvegarde avant de partir…]
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2107,6 +2107,15 @@ Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert den
Lorsque $K$ est un corps de nombres, il est d'usage de noter $𝒪_K$
l'anneau $𝒪_K(Σ^{\mathrm{ultr}}(K))$, dit \emph{anneau des entiers} de $K$.
+\subsubsection{}
+\label{notation OLU}
+Lorsqu'une extension $L\bo K$ est fixée
+et que l'on considère un ouvert dense $U$ de $K$,
+il est parfois commode de noter $𝒪_L(U)$
+l'anneau $𝒪_L(V)$, où $V$ est l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
+(On fait de même pour les \emph{adèles} définis plus bas,
+cf. \ref{définition adèles}.)
+
\subsubsection{Exemples}
\label{sections globales droite projective}
\label{exemples U-entiers}
@@ -2317,19 +2326,22 @@ Soient $K$ un corps global et $U$ un ouvert dense de $K$.
\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est normal. C'est un anneau de
Dedekind de corps des fractions $K$ sauf si celui-ci est de
caractéristique $>0$ et $U=Σ(K)$.
-\item Pour toute extension finie $L \bo K$, et si $V$
-désigne l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$,
-l'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
+\item Pour toute extension finie $L \bo K$,
+l'anneau $𝒪_L(U)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
C'est un $𝒪_K(U)$-module de type fini.
\item Sous les hypothèses précédentes, et si de plus $U$ est suffisamment petit,
-$𝒪_L(V)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
+$𝒪_L(U)$ est un $𝒪_K(U)$-module \emph{libre} de rang $[L:K]$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
+Pour la notation $𝒪_L(U)$, cf. \ref{notation OLU}.
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
+Question : si $U′ ⊆ U$, $𝒪_K(U′)$ est-il un localisé de $𝒪_K(U)$ ? \XXX
+
\begin{démo}
-(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
+(ii) Notons $A=𝒪_K(U)$, $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$, et
+$B=𝒪_L(U):=𝒪_L(V)$. Considérons également la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
@@ -2695,20 +2707,22 @@ On le note $μ(f)$ ; la forme linéaire $f↦ μ(f)$ est une mesure de Radon
\subsection{Adèles}
-\subsubsection{}Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ$
+\subsubsection{}
+\label{définition adèles}
+Soit $K$ un corps global, dont on note $Σ$
l'ensemble des places et $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ l'ensemble
cofini des places ultramétriques. La construction
générale précédente nous permet de définir
-le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_s$ relativement
-aux anneaux d'entiers $𝒪_s$ (pour $s ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
-C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{s ∈ U} 𝒪_s$
+le produit restreint $K_𝐀$ des corps locaux $K_x$ relativement
+aux anneaux d'entiers $𝒪_{K,x}$ (pour $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$).
+C'est la colimite des anneaux topologiques $K_𝐀(U)=∏_{x ∉ U} K_x × ∏_{x ∈ U} 𝒪_{K,x}$
pour $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ cofini, appelée
\emph{anneau des adèles sur $K$}.
-\subsubsection{}Pour chaque $s ∈ S$, le corps $K$ se plonge
-naturellement dans $K_s$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
-est $s$-entier pour presque toute place $s ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
-Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{s ∈ Σ} K_s$
+\subsubsection{}Pour chaque $x ∈ Σ$, le corps $K$ se plonge
+naturellement dans $K_x$. De plus chaque élément $λ ∈ K$
+est $x$-entier pour presque toute place $x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$.
+Ainsi l'inclusion diagonale $K ↪ ∏_{x ∈ Σ} K_x$
se factorise à l'inclusion $K ↪ K_𝐀$, dite
\emph{inclusion canonique}. Par la suite, nous identifierons $K$
avec son image dans les adèles sur $K$. (Voir \ref{cocompacité}
@@ -2723,6 +2737,7 @@ des adèles. Ils sont liés par la relation : $𝒪_K(U)= K ∩ K_𝐀(U)$.
%de nombres : $\chap{𝔬_K} ⊗_K K=\colim \frac{1}{α} \chap{𝔬_K}$.
%\XXX À inclure ?
+
\subsubsection{}On note $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
la mesure de Radon sur $K_𝐀$ produit restreint des mesures
de Tamagawa locales (\ref{mesures Tamagawa locales}).
@@ -2730,11 +2745,10 @@ C'est une mesure de Haar sur le groupe additif localement compact $K_𝐀$.
La proposition suivante résulte immédiatement de la définition du produit restreint de mesures
(\ref{mesure produit-colimite}) et de la proposition \ref{module=module}.
-
\begin{proposition2}
-Pour tout $a=(a_s) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
+Pour tout $a=(a_x) ∈ K_𝐀$, on a l'égalité
$[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a|=∏_{s
-∈ Σ}|a_s|_{K_s}$.
+∈ Σ}|a_x|_{K_x}$.
\end{proposition2}
%Saïtô p. 239.
@@ -2743,8 +2757,8 @@ $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$, où $|a|=∏
\label{adèles et cb}
Soit $L\bo K$ une extension finie de corps globaux.
Le morphisme $ι:K_𝐀 → L_𝐀$ envoyant
-$(a_s)_{s ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{s′})_{s′ ∈ Σ(L)}$
-avec $b_{s′}=a_s$ lorsque $s′↦ s$, induit un
+$(a_x)_{x ∈ Σ(K)}$ sur $(b_{y})_{y ∈ Σ(L)}$
+avec $b_{y}=a_x$ lorsque $y↦ x$, induit un
isomorphisme d'anneaux topologiques $K_𝐀 ⊗_K L ⥲ L_𝐀$
compatible avec les inclusions canoniques $K ↪ K_𝐀$
et $L ↪ L_𝐀$.
@@ -2753,28 +2767,62 @@ $L_𝐀 → K_𝐀$ est de la forme $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]$
pour un unique $a ∈ L_𝐀$.
\end{théorème2}
+Notons que la trace considérée est bien définie car
+$L_𝐀$ est un $K_𝐀$-module libre de rang fini (égal à $[L:K]$) ;
+cf. \refext{Alg}{trace-et-norme}.
+
\begin{démo}
D'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale},
-il existe un ouvert dense $U$ de $K$,
-d'image inverse $V$ dans $L$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(V)$,
-où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(V)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$.
-Ceci reste vrai lorsque l'on rétrécit $U$.
-Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(x_i)_{1,…,d}↦ ∑_{i=1}^d ι(x_i)α_i$,
+il existe un ouvert dense $U$ de $K$, et des éléments $α₁,…,α_d ∈ 𝒪_L(U)$,
+où $d=[L:K]$, tels que $𝒪_L(U)=𝒪_K(U) α₁ ⊕ \cdots ⊕ 𝒪_K(U) α_d$,
+le terme de gauche étant comme expliqué en \ref{notation OLU}.
+Cette décomposition en somme directe reste valable lorsque l'on rétrécit $U$.
+Nous allons montrer que le morphisme $K_𝐀^d → L_𝐀$, $(λ_i)_{1,…,d}↦ ∑_{i=1}^d ι(λ_i)α_i$,
est un isomorphisme. C'est la colimite des morphismes
-$K_𝐀(U′)^d → L_𝐀(V′)$ pour $U′ ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
+$K_𝐀(U′)^d → L_𝐀(U′)$ pour $U′ ⊆ U$. Montrons que chacun d'eux
est un isomorphisme, ce dont découle le résultat souhaité. Quitte à rétrécir $U$, on peut
supposer $U′=U$. Il suffit de montrer les deux faits suivants.
\begin{enumerate}
-\item Pour chaque pour place $s ∉ U$, le morphisme $K_s^d → ∏_{t↦ s} L_t$,
-$(x_i)↦ ∑_i ι_s(x_i) α_i$, où $ι_u$ est le plongement diagonal $K_s ↪ ∏_{t↦ s} L_t$,
+\item Pour chaque pour place $x ∉ U$, le morphisme $K_x^d → L_x:=∏_{y↦x} L_t$,
+$(λ_i)↦ ∑_i ι_x(λ_i) α_i$, où $ι_x$ est le plongement diagonal $K_x ↪ L_x$,
est un isomorphisme.
-\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $𝒪_{K,u}^d → ∏_{v↦u} 𝒪_{L,v}$,
-$(x_i)↦ ∑_i ι_u(x_i) α_i$ est un isomorphisme.
+\item Pour chaque place $u ∈ U$, le morphisme $𝒪_{K,u}^d → 𝒪_{L,u}:=∏_{v↦u} 𝒪_{L,v}$,
+$(λ_i)↦ ∑_i ι_u(λ_i) α_i$ est un isomorphisme.
\end{enumerate}
Le (i) résulte de \refext{AVD-D}{finitude préservée par complétion}.
Le (ii) résulte de l'hypothèse faite sur les $(α_i)$ ci-dessus.
-Trace. \XXX
+Supposons $L\bo K$ étale et montrons que la trace met $L_𝐀$ en dualité
+(sur $K_𝐀$) avec lui-même. Soit $a=(a_y)_{y ∈ Σ(L)} ∈ L_𝐀$ tel que $\Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀} ∘ [× a]=0$.
+Pour chaque place $s$ de $K$, la $K_x$-forme linéaire
+\mbox{$\Tr_{L_x\bo K_x} ∘ [× a_x]$} est nulle, où $a_x=(a_y)_{y↦ x}$.
+La $K_x$-algèbre $L_x$ étant isomorphe à $K_x ⊗_K L$, elle est
+étale de sorte que $a_x=0$ (\refext{Alg}{pot-diag=geom-red=f-net}).
+Montrons maintenant que toute forme linéaire $φ$ est du type annoncé.
+Quitte à rétrécir $U$ comme ci-dessus, on peut supposer, par passage
+à la (co)limite, les faits suivants.
+\begin{enumerate}
+\item La forme linéaire $φ$ provient d'une $K_𝐀(U)$-forme linéaire $φ_U:L_𝐀(U) → K_𝐀(U)$.
+\item Le morphisme $\Tr_{𝒪_L(U)\bo 𝒪_K(U)}$ est surjectif, c'est-à-dire d'image $𝒪_K(U)$.
+\item Les $α_i$ appartiennent à $𝒪_L(U)^×$.
+\end{enumerate}
+Pour (ii), on utilise le fait que le morphisme
+$\Tr_{L\bo K}:L → K$, colimite
+des morphismes $\Tr_{𝒪_L(U′)\bo 𝒪_K(U′)} : 𝒪_L(U′) → 𝒪_K(U′)$ pour $U′ ⊆
+U$, est \emph{surjectif}.
+Montrons que pour un tel $U$, on a l'égalité $φ_U = \Tr_{L_𝐀(U)\bo K_𝐀(U)} ∘ [×a]$
+avec $a ∈ L_𝐀(U)$ ; il suffit de le faire lorsque $φ_U$ est un élément
+$α_i^∨$ de la base duale des $α₁,…,α_d$, vus dans $L_𝐀(U)$.
+Pour chaque place $x ∈ Σ(K)$ et chaque indice $1 ≤ j ≤ d$,
+notons $α_{j,x} ∈ L_x$ la $x$-composante de l'élément $α_j$.
+Comme chaque extension $L_x \bo K_x$ est étale, il résulte de \emph{op. cit.} qu'il existe
+un élément $a_{i,x} ∈ L_x$ tel $\Tr_{L_x\bo K_x}(α_{j,x} a_{i,x})$ vaut $1$ si $i=j$ et $0$ sinon.
+
+Soit $u ∈ U$. Par (i), la $u$-composante de l'image de $φ_U$
+est contenue dans $𝒪_{K,u}$ et coïncide avec $\Tr_{𝒪_{L,u}\bo 𝒪_{K,u}}(a_u 𝒪_{L,u})$.
+Par (ii), [...]
+Il faut montrer que $a ∈ L_𝐀$, c'est-à-dire que $a_u ∈ 𝒪_{L,u}$ pour chaque $u ∈ U$.
+
\end{démo}
@@ -2784,11 +2832,11 @@ Trace. \XXX
Soit $K$ un corps global.
\begin{enumerate}
\item L'inclusion canonique $K → K_𝐀$, où $K$ est muni de la topologie
-discrète, est continue et est un quasi-isomorphisme : l'image de $K$
+discrète, est continue et est un isomorphisme modulo les compacts : l'image de $K$
dans $K_𝐀$ est discrète et le quotient $K_𝐀 / K$ est compact.
\item Si $U ⊆ Σ(K)$ est cofini et contient $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, l'inclusion canonique
$𝒪_K(U) → ∏_{s ∉ U} K_s$, où $𝒪_K(U)$ est muni de la topologie discrète, est
-continu et est un quasi-isomorphisme.
+continu et est un isomorphisme modulo les compacts.
\end{enumerate}
\end{théorème2}
@@ -3225,7 +3273,7 @@ D'après \ref{toute courbe est revêtement ramifié de P1},
cela permettra de conclure.
Si $ψ_{K}$ est un caractère additif non trivial de $𝐀_{K}$
(resp. et trivial sur $K$), il résulte de \ref{adèles et cb}
-que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo 𝐀_{K}}$ est également
+que le caractère $ψ_L=ψ_{K} ∘ \Tr_{L_𝐀 \bo K_𝐀}$ est également
non trivial (resp. et trivial sur $L$).
Si $ψ_L(a L_𝐀)=\{1\}$, et $a_x ≠ 0$ ($x$ place de $K$)
on a $ψ_{K,x}(K_x)=\{1\}$ (car $\Tr_{L_x \bo