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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 17:12:48 +0100
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-03-22 17:12:48 +0100
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[LG] Dedekind
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index 537d497..0940c36 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2069,6 +2069,17 @@ Nous dirons qu'un tel ensemble $U$ est un \emph{ouvert dense} \index{ouvert den
% choix terminologique discutable \XXX
\subsubsection{}
+\label{sections globales droite projective}
+Par exemple, si $K=𝐅_p(t)$ et $Σ=Σ(𝐅_p(t))$, on a $𝒪_{K}(Σ)=𝐅_p$ : une fraction rationnelle
+sans pôle est une constante. Plus précisément, si
+l'on a $|f|_P ≤ 1$ pour chaque $P ∈ 𝐅_p[t]$
+irréductible et que l'on écrit $f=a/b$ avec $a,b ∈ 𝐅_p[t]$ premiers entre eux,
+alors $P$ ne divise pas $b$ si bien que $b$ est
+finalement une constante. Comme $|a|_∞=p^{\deg(a)}$, on a $\deg(a)=0$
+(absence de pôle à l'infini).
+Par contre, si $K=𝐐$ et $Σ=Σ^{\mathrm{ultr}}(𝐐))$, on a $𝒪_K(Σ)=𝐙$.
+
+\subsubsection{}
\label{corps des constantes}
Si $K$ est un corps global de caractéristique $p>0$,
la clôture algébrique de $𝐅_p$ dans $K$ est appelée
@@ -2207,27 +2218,22 @@ Si $y ∈ Σ(K)$ est d'image $x ∈ Σ(K₀)$, on a $|f|_y = |f|^n_x$ pour un en
(dépendant de $y$). En particulier, $|f|_y ≤ 1$ s'il en est ainsi de $|f|_x$.
\end{démo}
-La structure des anneaux $𝒪_K(U)$ et leur lien avec $K$ est précisé
-par la proposition suivante.
-
-%\subsubsection{}Dans le langage de \refext{AC}{normalisation,normal}, on a montré
-%ci-dessus le résultat intermédiaire suivant : \emph{la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$ est contenue
-%dans $𝒪_L( π^{-1}(U))$}. (Il s'agit en fait d'une égalité.)
-%Le lien entre $𝒪_K(U)$ et $K$ est précisé par la proposition suivante.
-
\begin{proposition2}
+\label{fonctorialité et clôture intégrale}
Soient $K$ un corps global, $U$ un ouvert dense de $K$, $L \bo K$
une extension finie et $V$ l'image inverse de $U$ dans $Σ(L)$.
-\begin{enumerate}
-\item L'anneau $𝒪_L(V)$ est la clôture intégrale de $𝒪_K(U)$ dans $L$.
-\item L'anneau $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$.
-\end{enumerate}
+L'anneau $𝒪_K(U)$ est \emph{normal} et
+l'anneau $𝒪_L(V)$ en est la clôture intégrale dans $L$.
\end{proposition2}
Pour la définition de la clôture intégrale, cf. \refext{AC}{normalisation,normal}.
+On montrera plus tard que l'anneau $𝒪_K(U)$
+est, sauf exception, un anneau de Dedekind de corps
+des fractions $K$.
+
\begin{démo}
-(i) Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
+Notons $A=𝒪_K(U)$, $B=𝒪_L(V)$ et considérons la clôture intégrale $B′$ de $A$ dans $L$.
L'anneau $B$ est l'ensemble des éléments de $L$
appartenant à chacun des anneaux de valuation discrète
complets $𝒪_{L,v}=\{f ∈ L_v: |f|_v ≤ 1\}$, pour $v ∈ V$.
@@ -2244,98 +2250,11 @@ donc dans $V$ (par hypothèse). Il en résulte que les coefficients
de $P$ sont $u$-entiers pour chaque $u$. Ainsi $b$ est entier sur $A$
et, finalement, $B=B′$.
-(ii) Dans la situation précédente, si $A$ est un anneau de Dedekind,
-il en est de même de $B$ (cf. \refext{AVD-D}{Krull-Akizuki}).
-Notons que partant d'un corps $L$, on peut trouver $K$
-tel que $L\bo K$ soit séparable ; dans ce cas, $B$ est même
-un $A$-module de type fini (\refext{AC}{normalisation dans extension séparable}).
-Soit $W$ maintenant un ouvert dense de $L$, non nécessairement « saturé »,
-c'est-à-dire tel que $π^{-1} (π(W))=W$, où $π:Σ(L) → Σ(K)$). % mettre ultr.
-Considérons maintenant l'anneau $B= 𝒪_L(W)$. Il est intégralement clos
-d'après ce qui précède. Il existe d'autre part un ouvert
-dense saturé $W₀$ tel que $B₀=𝒪_L(W₀)$ soit contenu dans $B$.
-Si $B₀$ est de corps des fractions $L$, il en est donc de même de $B$.
+La normalité de $A$ a été démontrée en cours de route :
+$A$ est l'intersection des sous-anneaux normaux $(K ∩ 𝒪_{K,u})$ de $K$.
-[...]
-
-$ ⊆ 𝒪_L(W₁)$.
-La démonstration de l'énoncé (ii) pour $𝒪_L(W)$ se ramène donc
-au cas saturé.
-
-
-
-
-Il résulte de ce qui précède et de
-
-
-est racine d'un polynôme
-$f^n+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots+a₀=0$ où $a_i ∈ K$,
-il résulte de (ii) qu'il existe $a ∈ A$
-tel que chaque coefficient $a a_i$ soit dans $A$.
-En multipliant l'équation par $a^n$ on en déduit
-que l'élément $af ∈ B$ est entier sur $A$.
-tel que $af$ soit entier sur $A$.
-
-Soit $U$ l'ouvert dense de $K$ image de $V$.
-Il existe $b ∈ 𝒪_K(U)$ tel que chaque $b a_i ∈ 𝒪_K(U)$.
-En multipliant l'équation précédente par $b^n$, on constate
-donc que $bf$ est entier sur $𝒪_K(U)$, c'est-à-dire racine
-d'un polynôme unitaire à coefficients dans cet anneau.
-Comme on l'a vu dans démonstration précédente, $bf$ appartient donc
-à $𝒪_L(π^{-1}(U)) ⊆ 𝒪_L(V)$. L'inclusion est conséquence
-de l'inclusion $V ⊆ π^{-1}(U)$.
-Comme d'autre part $𝒪_K(U)$ est contenu dans $𝒪_L(V)$
-on a bien $f ∈ \Frac   𝒪_L(V)$.
-
-
-Le fait que $𝒪_K(U)$ soit un sous-anneau est trivial car les valeurs
-absolues considérées sont ultramétriques. Il est donc intègre : c'est un
-sous-anneau d'un corps.
-Si $K$ est un corps global premier, l'égalité à démontrer
-est immédiate. En effet, si $K=𝐐$, et $U$ correspond à
-l'ensemble fini $\{p₁,…,p_r\}$ de nombres premiers
-(pour lesquels $| ⋅|_{p_i} ∉ U$), on a $𝒪_𝐐(U)=𝐙[1/n]$ où $n= p₁ \cdots p_r$.
-Si $K=𝐅_p(X)$, on peut supposer la place $∞$
-(cf. \ref{notation places infinies}) dans $U$
-car $𝒪_K(U)$ décroît avec $U$.
-Les éléments de $𝒪_K(U)$ sont alors les fractions
-rationnelles de degré négatif dans $𝐅_p[X][1/P₁ \cdots P_r]$,
-où les $P_i$ sont des polynômes irréductibles de $𝐅_p[X]$
-(pour lesquels $| ⋅ |_{P_i} ∉ U-\{∞\}$).
-Toute fraction rationnelle est quotient de telles
-fractions rationnelles.
-Montrons que l'on peut ramener le cas général
-au cas particulier que nous venons de traiter.
-Soient $L$ est une extension finie de $K$,
-$V$ un ouvert dense de $L$, et $f ∈ L$. Cet élément est algébrique sur $K$ :
\end{démo}
-\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
-
-\subsubsection{}
-Soit $K$ un corps global de caractéristique $p>0$ et de corps
-des constantes fini $k$. Pour chaque ouvert dense $U$ de $K$,
-l'anneau $𝒪_K(U)$ est de type fini sur $k$, c'est-à-dire engendré
-par un nombre fini d'éléments en tant que $k$-algèbre.
-Si $K=k(t)$, cela résulte du fait que $k(t)[1/P]$
-(cf. démonstration \emph{supra}) est de type fini.
-On passe de là au cas général en utilisant
-\refext{AC}{normalisation dans extension séparable}
-et la proposition précédente.
-
-\begin{proposition2}
-Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
-géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
-intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
-\begin{enumerate}
-\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
-\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
-Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
-un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
-$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
-\end{enumerate}
-\end{proposition2}
-
\section{Adèles, idèles}
\subsection{Groupes topologiques : quelques généralités}
@@ -3295,7 +3214,7 @@ l(𝔞)=l(𝔠-𝔞)+\deg(𝔞)-g+1,
où $g=½\deg(𝔠)+1$ est un entier appelé \emph{genre} \index{genre} de $K$
et
\[
-l(𝔞)=\dim_k \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
+l(𝔞)=\dim_k   \{f ∈ K: \div(f) ≥ -𝔞\}.
\]
\end{théorème2}
@@ -3321,6 +3240,80 @@ $g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
\end{exemple2}
+\begin{corollaire2}
+\label{RR et existence de fonctions}
+Si $\deg(𝔞) > 2g-2$, $l(𝔞)=\deg(𝔞)-g+1$. En particulier, $l(𝔞)>0$ si $\deg(𝔞) ≥ 2g$.
+\end{corollaire2}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $K$ un corps de fonctions et $U$ un ouvert dense.
+Alors $𝒪_K(U)$ est un anneau de Dedekind de corps des fractions $K$
+sauf si $K$ est un corps de fonctions et $U=Σ(K)$,
+auquel cas c'est le corps des constantes $k$ de $K$.
+Dans tous les cas, c'est une algèbre de type fini sur $k$.
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Commençons par traiter l'exception.
+Soit $K₀$ un sous-corps global premier de $K$.
+Il résulte de \ref{fonctorialité et clôture intégrale} que $𝒪_K(Σ(K))$ est la clôture
+intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ(K₀))$ dans $K$. On a vu
+en \ref{sections globales droite projective}
+que $𝒪_{K₀}(Σ(K₀))=𝐅_p$ ; ceci suffit pour conclure.
+Supposons donc maintenant qu'il existe une place $∞ ∈ Σ(K) - U$.
+Il résulte du théorème de Riemann-Roch qu'il existe une fonction
+non constante $φ ∈ K$ ayant un pôle uniquement en $∞$.
+Soit $K₀=𝐅_p(φ)$ le sous-corps de $K$, purement transcendant
+sur $𝐅_p$, engendré par $φ$. L'extension
+$K \bo K₀$ est finie et, par construction,
+$U$ s'envoie par $π: Σ=Σ(K) → Σ₀=Σ(K₀)$
+sur les places « finies » de $K₀$.
+L'anneau $𝒪_K(U)$ contient $𝒪_K(Σ-∞)$ qui est,
+d'après \ref{fonctorialité et clôture intégrale}
+la clôture intégrale de $𝒪_{K₀}(Σ₀-∞)$.
+Cet anneau est $𝐅_p[φ]$, de corps des fractions $K₀$.
+Il en résulte \refext{AC}{} que le corps des fractions
+de $𝒪_K(Σ-∞)$ — et \emph{a fortiori} celui de $𝒪_K(U)$ —
+est $K$.
+Considérons maintenant un sous-corps global premier $K₀$ de $K$
+tel que l'extension $K \bo K₀$ soit séparable. Pour chaque $U$
+comme précédemment, il existe $U′$ et $U″$ dans $Σ(K)$, \emph{saturés}
+tels que $U′ ⊆ U ⊆ U″$. En particulier, $A=𝒪_K(U″)$
+est contenu dans $B=𝒪_K(U)$, lui-même contenu dans $C=𝒪_K(U′)$.
+D'après \emph{loc. cit.}, \refext{AVD-D}{Krull-Akizuki},
+et le cas particulier $K=K₀$ facile de la proposition %\XXX
+les anneaux $A$ et $C$ sont des anneaux de Dedekind, de type fini sur $𝐅_p$.
+Il en résulte d'une part que $B$ est nœthérien et d'autre part que
+c'est une $A$-algèbre de type fini. Comme $A$ et $B$ ont même corps des
+fractions, il en résulte que $B=A[a^{-1}]$ pour un élément $a$ de $A$.
+(Écrire $B=A[x₁,…,x_n]$, $x_i=b_i/a_i ∈ K=\Frac(A)$ et mettre au même
+dénominateur.) Il en résulte que $B$ est un localisé de $A$
+et, par conséquent (\refext{AVD-D}{}) un anneau de Dedekind.
+\end{démo}
+
+\begin{remarque2}
+Munissons l'ensemble $Σ$ de la topologie suivante,
+dite de Zariski (cf. \refext{AC}{}) : un ensemble $U$ est ouvert si et seulement si il est cofini ou vide.
+Le foncteur $𝒪_K:U↦ 𝒪_K(U)$ est un \emph{faisceau} d'anneau et la paire
+$(Σ,𝒪_K)$ (« espace annelé ») est un schéma. C'est une courbe projective lisse
+sur $𝐅_p$.
+\XXX
+\end{remarque2}
+
+\subsection{Lien avec les courbes algébriques sur les corps finis}
+
+\begin{proposition2}
+Soient $k$ un corps fini et $f ∈ k[X,Y]$ un polynôme
+géométriquement irréductible. Notons $X_f$ l'anneau
+intègre $k[X,Y]/(f)$ et $K_f$ son corps des fractions.
+\begin{enumerate}
+\item Le corps $K_f$ est un corps global de corps des constantes $k$.
+\item $Σ(K_f) ∼ \Specmax X_f$ (birationnel : bijection à ensemble fini près).
+Plus précisément, il existe un ouvert dense $U$ de $K$ et
+un élément non nul $a ∈ X_f$ tels que $𝒪_K(U)$ soit
+$k$-isomorphe à $X_f[a^{-1}]$.
+\end{enumerate}
+\end{proposition2}
\subsection{Calculs de volumes}
\subsubsection{Idèle différentiel}