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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (Darwin) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-01-10 16:39:33 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-01-10 16:39:33 (GMT)
commita8528c44ba57fe3f7904d52ba1eaba8eb0de8d15 (patch)
treeb4843427c5411490ed6076bd8f9b5ecee26d8a90 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent4e6793b73d5733afce6fa149873e424af4062769 (diff)
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[LG] ε sur RH
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex70
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index 9e6e59f..0f57764 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -4644,6 +4644,22 @@ Notons que l'expression de la dérivée logarithmique est équivalente
Z_K(T)=\exp(∑_{n ≥ 1} N_K(n)\frac{T^n}{n}). \tag{††}
\]
+\subsubsection{}
+\label{notation-Xk}
+Pour chaque extension $k′$ du corps des constantes $k$ de $K$,
+notons $X(k′)$ l'ensemble des $k$-places de $K$ à valeurs dans $k′$
+(\refext{AVD-D}{définition-place}). Comme expliqué dans \emph{loc. cit.},
+on a une application naturelle $X(k′) → X$, envoyant
+une place $φ:K → k′ ∪ \{∞\}$ sur l'anneau de valuation $φ^{-1}(k′)$.
+(Ce dernier correspond à une classe de valuations sur $K$.)
+Si $k′ \bo k$ est finie de degré $n$,
+l'image cette application est $\{x ∈ X: \deg(x)|n\}$ ; la fibre
+au-dessus de $x$ est exactement de cardinal $\deg(x)$.
+Il en résulte que l'entier $N_K(n)$ ci-dessus n'est autre
+que le cardinal de $X(k_n)$ où $k_n$ désigne une extension
+de $k$ de degré $n$ (unique à isomorphisme près).
+
+
\subsubsection{Extension du corps des constantes}
\label{extension des scalaires pour Zêta}
Fixons un corps de fonctions $K$ de corps des constantes $k$ et un entier $e ≥ 1$.
@@ -5406,7 +5422,7 @@ L'objectif de cette section est de démontrer le théorème suivant.
Pour chaque $1 ≤ i ≤ 2g$, on a $|α_i|=√q$.
De façon équivalente, on a
\[
-|N(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
+|N_X(n)-(1+q^n)| ≤ 2g q^{n/2}
\]
pour chaque entier $n ≥ 1$.
\end{théorème2}
@@ -5414,6 +5430,51 @@ pour chaque entier $n ≥ 1$.
Dans cet énoncé, $|z|$ désigne le module usuel $(z \sur{z})^½$ d'un nombre complexe.
L'implication non triviale de l'équivalence sera établie ci-dessous. \XXX
+\subsubsection{Stratégie}
+
+Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et,
+pour chaque entier $n$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
+de degré $n$. On veut estimer la taille des ensembles $X(k_n)$.
+Il est tautologique que $X(k_n)$ s'identifie à l'ensemble
+$\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ des points
+fixes de l'automorphisme de Frobenius $\Frob_k$ agissant sur
+$X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$ (par composition
+d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation
+avec la puissance $q$, $\sur{k} ∪ \{∞\} → \sur{k} ∪ \{∞\}$).
+
+Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
+$k(t)$, dont on note $𝐏¹$ l'ensemble des places ultramétriques.
+Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹(\sur{k})$ et si le morphisme
+correspondant est net, il existe un unique $g ∈ G$ tel
+que $\Frob_k(x)=g(x)$. Il en résulte
+que
+\[
+1+q=\# 𝐏¹(k)=\frac{1}{\# G} ∑_{g ∈ G} \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)+ 𝖮(1).
+\]
+Le terme supplémentaire est là pour tenir compte des points de ramification.
+Il en résulte que, si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
+ensembles $ \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$ on sait également
+minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
+
+
+\begin{théorème2}[Bombieri]
+Supposons $q=p^α$ avec $α$ pair, $q>(g+1)⁴$
+et qu'il existe $x ∈ X(k)$.
+Alors pour tout $g ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
+\[
+\# \Fix\big(g^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
+\]
+\end{théorème2}
+
+\begin{démo}
+Posons $φ=g^{-1}\Frob_k$.
+Notons $ℒ_n=L(n ⋅ x)$ l'ensemble des fonctions $f ∈ K$
+telles que $\div(f) ≥ - n x$. [...]
+
+\end{démo}
+
+
+
\[⁂\]
\begin{corollaire2}
@@ -5444,13 +5505,6 @@ au-dessus duquel $K$ est galoisien.
où $\Frob ′$ l'est pour une nouvelle structure. Voir
cependant Katz, pp. 31--34.]
-\begin{théorème2}[Bombieri]
-Soit $g ∈ \Aut(K\bo k)$, $φ=g^{-1} ∘ \Frob_q$.
-Si $q=p^α$, $α$ paire et $q>(g+1)⁴$, alors
-\[
-♯ \Fix(φ) ≤ 1+q+(2g+1) √{q}.
-\]
-\end{théorème2}
\begin{démo}
Cf. [Katz]. Trois petites pages manuscrites de Riemann-Roch