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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 18:15:31 +0200
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-05-31 18:15:31 +0200
commita990e29cdde2dcae7798f551cdfb79b43add1eda (patch)
tree27cd9d6d1718209e16b1461649b9142ccd1c8bf8 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] définition produit restreint
Diffstat (limited to 'chapitres/locaux-globaux.tex')
-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex60
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index e8c863e..74df4cd 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2548,8 +2548,66 @@ $⋂_F F ≠ ∅$.
\begin{propo
+\subsection{Produits restreints}
+
+\subsubsection{Définition}Soient $Σ$ un ensemble d'indices, $(𝒳_s)_{s ∈ Σ}$
+une collection d'espaces topologiques et, pour chaque $s ∈ Σ$,
+un ouvert $𝒱_s ⊆ 𝒳_s$. Pour chaque sous-ensemble cofini $U$ de $Σ$, on
+note $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, ou simplement $𝒳_𝐀(U)$ lorsqu'aucune confusion n'est à
+craindre, le produit
+\[
+∏_{s ∉ U} 𝒳_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s
+\]
+d'espaces topologiques. Toute inclusion $U′ ⊆ U$ induit une injection continue
+$(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U) ↪ (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U′)$. Le produit restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ (ou
+simplement $𝒳_𝐀$) des $𝒳_s$ relativement aux $𝒱_s$ — aussi noté
+$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} (𝒳_s;𝒱_s)$, ou simplement
+$\mathrlap{\coprod}{\prod}_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ — est la colimite
+\[(𝒳;\! 𝒱)_𝐀=\colim_{U ⊆ Σ} (𝒳;\!𝒱)_𝐀(U),\]
+où $U$ parcourt les sous-ensembles cofinis de $Σ$. Ensemblistement,
+$(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ est l'ensemble des $(x_s)_{s ∈ Σ} ∈ ∏_{s ∈ Σ} 𝒳_s$ tels que pour presque
+tout $s$, l'élément $x_s$ appartient à $𝒱_s$. Topologiquement, les
+ouverts de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ sont les sous-ensembles dont les intersections
+avec chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$, $U ⊆ Σ$ cofini, sont ouvertes dans $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$.
-\subsection{Mesures}
+\begin{remarque2}
+Cette construction s'étend immédiatement au cas où
+les $𝒱_s$ sont définis pour presque tout $s$,
+c'est-à-dire pour $s ∉ F$, où $F$ est une partie finie
+de $Σ$, en considérant la colimite sur les parties cofinies $U$
+ne rencontrant pas $F$.
+\end{remarque2}
+
+\begin{remarque2}
+Bien que cela ne soit pas nécessaire,
+explicitons brièvement la notion de convergence
+lorsque les $𝒳_s$ sont des groupes topologiques
+métrisables, comme ce sera le cas ci-après.
+Par définition de la topologie, une suite $(a_n)=(a_{n,s})_{s ∈ Σ}$ de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
+converge vers $b=(b_s)_{s ∈ Σ}$ si et seulement si pour
+tout $ε>0$ et tout ensemble cofini $U ⊆ Σ$, il
+existe un entier $N$ tel que pour chaque $n ≥ N$
+on ait $a_{n,s}-b_s ∈ 𝒱_s$ lorsque $s ∈ U$
+et $d_s(a_{n,s},b_s)< ε$ sinon.
+On vérifie sans peine que si on suppose de plus $Σ$ dénombrable,
+le produit restreint $(𝒳;𝒱)_𝐀$ est également métrisable.
+\commentaire{à vérifier\\quoiqu'inutile}
+\end{remarque2}
+
+
+\subsubsection{Locale compacité}Il résulte de la définition
+et du théorème de Tikhonov que si chaque $𝒳_s$ (resp. $𝒱_s$)
+est localement compact (resp. compact),
+chaque $(𝒳;\!𝒱)_𝐀(U)$ est un ouvert compact du produit
+restreint $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$ qui est lui-aussi localement compact.
+De plus, sous ces hypothèses, un sous-ensemble de $(𝒳;\!𝒱)_𝐀$
+est \emph{relativement compact} — c'est-à-dire d'adhérence compacte —
+si et seulement si il est inclus dans un produit
+$∏_{s ∉ U} 𝒞_s × ∏_{s ∈ U} 𝒱_s$, où $U⊆Σ$ est cofinie
+et chaque $𝒞_s$ est un compact de $𝒳_s$.
+% Tate, 3.1.2
+
+\subsubsection{Mesures}
\label{mesure produit-colimite}
Fonctions continues à support compact sur un produit restreint