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authorFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 17:14:28 +0200
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-20 17:14:28 +0200
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[LG] transformation de Fourier locale : suite et fin du théorème principal
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex156
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -209,7 +209,7 @@ de Haar.
compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
unique à un facteur multiplicatif non nul près.
(Cf. Bourbaki, INT, VII.§1.№2 ; la démonstration ne fait que
-quelques pages.) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+quelques pages. \XXX) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
invariante à droite, en un sens évident.
\subsubsection{}Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
@@ -217,8 +217,10 @@ invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_g f ∘ φ^{-1} d μ$
est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$. Par construction,
pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
+Si $G$ est \emph{compact}, tout automorphisme est de module unité.
\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
+\label{mesures Tamagawa locales}
Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.
@@ -251,10 +253,11 @@ La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
précédents.
\begin{proposition2}
+\label{module=module}
Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
-Le module de l'automorphisme $[a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
+Le module de l'automorphisme $[×a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
-termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
+termes, $[×a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus$+$}}$,
c'est-à-dire
\[
|a| ∫ f(ax) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x)=∫ f(x) dμ^{\mbox{\minus$+$}}(x),
@@ -337,24 +340,24 @@ il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
Soit $K$ un corps local et soit $ψ$ un caractère additif non trivial.
L'application
\[K → \chap{K},\]
-\[x ↦ \big([x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
+\[x ↦ \big([×x]^*ψ: y ↦ ψ(xy)\big)\]
est un isomorphisme de groupes.
\end{proposition2}
\begin{démo}
-L'égalité $[x + x ′]^*ψ=[x]^*ψ × [x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
+L'égalité $[×(x + x ′)]^*ψ=[×x]^*ψ × [×x ′]^* ψ$ résulte immédiatement
du fait que $ψ$ est un morphisme de groupes. L'injectivité est alors
évidente car $ψ$ est supposé non trivial ; si l'on suppose $ψ$ de
niveau nul, ce qui est loisible, on peut préciser :
si $x,x ′ ∈ 𝒪$ et $r ∈ 𝐍$, les restrictions
-de $[x]^* ψ$ et $[x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
+de $[×x]^* ψ$ et $[× x ′]^*ψ$ à $𝔪^{-r}𝒪$
coïncident si et seulement si $x ≡ x ′ \mod 𝔪^r$.
Observons que pour chaque $n ≥ 0$ et chaque $x_n ∈ 𝒪$,
l'ensemble des relèvements de $x_n \mod 𝔪^n$ à $𝒪/𝔪^{n+1}$
peut être muni d'une structure de torseur sous le groupe additif du
corps résiduel $k=𝒪/𝔪$ : si $ϖ$ est une uniformisante,
-et $y$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$
-par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ m^{n+1}/𝔪^n$
+et $y ∈ 𝒪/𝔪^{n+1}$ un relèvement, on fait agir $λ ∈ k$ sur $y$
+par $λ ⋅ y = y + ι(λ)$, où $ι : k ⥲ 𝔪^{n+1}/𝔪^n$
est l'isomorphisme défini par le choix de $ϖ$.
De même, pour chaque $n ≥ 0$ et chaque
caractère additif $θ_n$ de $𝔪^{-n}$,
@@ -363,16 +366,15 @@ caractère de $𝔪^{-(n+1)}$ est naturellement
un torseur sous le groupe $\chap{k}$ :
on fait agir $χ ∈ \chap{k}$ sur $θ$
par $χ ⋅ θ = θ × \chap{ι}(χ)$ où $\chap{ι}: \chap{k} ⥲
-𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}$ est un isomorphisme.
+\chap{𝔪^{-(n+1)}/ 𝔪^{-n}}$ est un isomorphisme.
Soit maintenant $ψ ′$ un caractère additif de $k$
et montrons qu'il appartient à l'image du morphisme
-considéré dans l'énoncé. On peut le supposer (non trivial)
-de niveau nul.
+considéré dans l'énoncé. On peut le supposer de niveau nul.
D'après ce qui précède, et le fait que $k$ et $\chap{k}$
ait même cardinal (fini), il existe pour chaque $n ≥ 0$
un élément $x_n ∈ 𝒪$, unique modulo $𝔪^n$,
-tel que $[x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
-La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[x]^* ψ = ψ ′$,
+tel que $[× x_n]^* ψ$ et $ψ ′$ coïncident sur $𝔪^{-n}$.
+La suite $(x_n)$ converge dans $𝒪$ vers un élément $x$ pour lequel $[× x]^* ψ = ψ ′$,
comme on le voit immédiatement par restriction aux sous-groupes
$𝔪^{-n}$ ($n ≥ 1$), qui recouvrent $K$.
% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
@@ -385,17 +387,24 @@ de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
\begin{proposition2}
-Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
-%Niveau de $ψ_ω$.
+Soit $K$ un corps local ultramétrique de caractéristique nulle
+et de caractéristique résiduelle $p>0$.
+On a l'égalité
+\[
+n(e_{p,K})=-v(𝒟_{K \bo 𝐐_p})
+\]
+entre le niveau du caractère additif non trivial
+$e_{p,K}$ défini en \ref{caractère corps local}
+et l'opposé de la valuation de la différente
+définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème
-de Riemann-Roch. \XXX
+Pour ce qui est du niveau de $ψ_ω$, voir le théorème de Riemann-Roch. \XXX
\begin{démo}
-$𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
-si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$
-c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
+Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{p,K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
+si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
+La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
\subsection{Transformation de Fourier}
@@ -413,49 +422,116 @@ de \emph{Bruhat-Schwartz}.
%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
%et variantes uniquement dans cas archimédien).
- \[⁂\]
-
-\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
+\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
\begin{remarques2}
-Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
-en fait une somme \emph{finie}.
-D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
-de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on pourrait
+\begin{enumerate}
+\item Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
+en fait une somme \emph{finie}
+\[
+∑_{λ ∈ \Im(f ψ_x)} λ ⋅ μ^{\mbox{\minus $+$}}( (f ψ_x)^{-1}(λ)),\]
+où $\Im(f ψ_x)$ est l'ensemble fini des valeurs de la fonction
+localement constante à support compact $f ψ_x$.
+Si $K=𝐑$, $ℱ_{𝐞_∞,μ₁^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ est la transformation de Fourier usuelle — au choix de la
+normalisation près — de $f$ : $x ↦ ∫ f(t)\exp(-2i π tx) dt$.
+\item D'après la proposition \ref{dual corps local}, si $ψ$ est non trivial, tout caractère
+additif de $K$ est de la forme $ψ_x$, de sorte que l'on peut
alternativement considérer la transformée de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ comme une
fonction sur $\chap{K}$.
+\end{enumerate}
\end{remarques2}
\begin{proposition2}
\label{Fourier et mesure locaux}
\begin{enumerate}
-\item La transformation de Fourier envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item La transformation de Fourier $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ envoie $𝒮(K)$ dans $𝒮(K)$.
+\item Si $K$ est ultramétrique et $r ∈ 𝐙$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r} 𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}.
+\]
+En particulier, $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_𝒪)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪) [× ϖ^{n(ψ)}]^* 𝟭_𝒪$.
+\item Pour tout $a ∈ K^×$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$,
+\begin{enumerate}
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([×a]^*f)=|a|^{-1} [× a^{-1}]^*ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$ ;
+\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}([+a]^*f)=ψ_{-a} ℱ_{ψ, μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$,
+où $[+a]^*f$ désigne la fonction $y ↦ f(y+a)$ ;
+\item $ψ_a f$ appartient à $𝒮(K)$ et $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(ψ_a f)=[+a]^* ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f)$.
+\end{enumerate}
\item Il existe une constante non nulle $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$ telle que
\[
-ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [-1]^*,
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ∘ ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} = c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}} ⋅ [×(-1)]^*,
\]
-où $([-1]^*f)(x)=f(-x)$.
-\item Il existe une unique mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
-$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$.
+où $([×(-1)]^*f)(x)=f(-x)$.
+\item Il existe une unique mesure de Haar, dite \emph{auto-duale}
+(relativement à $ψ$), $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ$ telle que
+$c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}=1$. C'est la mesure
+$μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ={√q}^{n(ψ)} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
+(resp. $|a|^{½} μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$) si $K$ est ultramétrique
+et $ψ$ de niveau $n(ψ)$ (resp. si $K$ est archimédien et
+$ψ=[×a]^*𝐞_{∞,K}$).
\item $μ_{ψ_a}=|a|^{½} μ_ψ$.
-\item On a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ=q^{±n/2}μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
-(resp. $|a|^½ μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$), si $K$ est ultramétrique et $n$ est le niveau
-de $ψ$ (resp. si $ψ=[a]^*𝐞_{∞,K}$).
-\item $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus$+$}}}(\mathbf{1}_𝒪)=q^{±n/2} ⋅ [ϖ^{±n}]^*\mathbf{1}_𝒪$.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-
On note $ℱ_ψ$ la transformée de Fourier « auto-duale » (relativement
à $ψ$) $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}_ψ}$.
\begin{démo}
-Cf. [Bushnell-Henniart] 23.1.
+Si $K$ est archimédien, ces résultats sont classiques : cf.
+par exemple \cite[chap. VII, §6]{distributions@Schwartz}
+ou \cite[chap. VII, §1]{analysisI@Hormander}. La détermination
+des constantes se fait habituellement en utilisant pour fonction test une gaussienne.
+Considérons dorénavant le cas d'un corps local $K$ ultramétrique.
+(ii) Pour chaque $x ∈ K$, on a
+\[
+ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(𝟭_{𝔪^r})(x)=∫_{𝔪^r} ψ(xy) d
+μ^{\mbox{\minus $+$}}(y).
+\]
+Si $x 𝔪^r$ est contenu dans $𝔪^{n(ψ)}$, l'intégrande
+est constante égale à $1$ de sorte que l'intégrale
+vaut $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝔪^r)=μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)/q^r$.
+(Voir p. ex. \ref{module=module} pour cette dernière égalité.)
+Dans le cas contraire, l'intégrale est nulle. En effet,
+on a la généralisation suivante de
+\refext{Fin}{variante-orthogonalite-caracteres} :
+pour tout caractère continu $χ$ \emph{non trivial} sur un
+groupe compact $G$ (noté multiplicativement) et toute mesure de Haar $μ$ sur $G$,
+l'intégrale $I= ∫_G χ d μ$ est nulle. En effet, on a $I=∫_G χ(gh) d μ(h)$ pour
+tout $g ∈ G$ (car $\mod(g)=1$) de sorte que $I=χ(g)I$ pour tout $g ∈ G$
+et finalement $I=0$ car $χ ≠ 1$. On applique ce résultat à $G=𝔪^r$, $χ$ la restriction à $𝔪^r$
+de $ψ_x$, et $μ=μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
+(iii) La première formule résulte de \ref{module=module}, la seconde
+et la troisième sont immédiates. Le fait que $𝒮(K)$
+est un cas particulier du fait général suivant : le produit
+d'une fonction localement constante par une fonction localement
+constante à support compact est localement constante à support
+compact.
+(i) On a vu en \ref{mesures Tamagawa locales} que l'espace vectoriel $𝒮(K)$
+est engendré par les fonctions caractéristiques $𝟭_{a + 𝔪^r}=[+a]^*[× ϖ^r] 𝟭_{𝒪}$, $a ∈ K, r ∈ 𝐙$.
+La stabilité de l'espace de Bruhat-Schwartz par la transformation de
+Fourier résulte immédiatement du calcul explicite (ii), de la formule (iii.b)
+et du fait que $𝒮(K)$ est stable par multiplication $ψ_{-a}$ (iii.c).
+(iv). Notons $ℱ$ pour $ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}$. D'après ce qui
+précède on a les égalités :
+\[
+ℱ ℱ(𝟭_{a+𝔪^r})=ℱ(ψ_{-a} ℱ(𝟭_{𝔪^r}))=[-a]^*ℱ
+ℱ(𝟭_{𝔪^r})=[-a]^*ℱ(\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)}{q^r}
+𝟭_{𝔪^{n(ψ)-r}})=\frac{μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}[-a]^*
+𝟭_{𝔪^r}=c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}[×(-1)]^* 𝟭_{a+𝔪^r},
+\]
+où $c_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}=\frac{μ^{\mbox{\minus
+$+$}}(𝒪)²}{q^{n(ψ)}}$ est une constante indépendante de $a$ et $r$.
+La conclusion en résulte par linéarité des endomorphismes $ℱ²$ et $[×(-1)]^*$.
+(v) D'après ce qui précède, un mesure $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ est
+auto-duale relativement à un caractère additif non trivial $ψ$
+si et seulement si $μ^{\mbox{\minus $+$}}(𝒪)=q^{\frac{n(ψ)}{2}}$.
+L'existence et l'unicité en découle.
+(vi) Résulte de l'égalité $n(ψ_a)=-v(a)+n(ψ)$ et de (v).
\end{démo}
\begin{exemples2}
@@ -641,7 +717,7 @@ etc. (Cf. groupes algébriques et changement de base.)
\[μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}.\]
\begin{proposition2}
-$[a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
+$[×a]^*μ=|a| μ$, où $|a|=∏|a_v|_v$.
\end{proposition2}