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authorFabrice (iLiburu) <Fabrice.Orgogozo@gmail.com>2011-04-07 22:15:53 +0200
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@@ -33,6 +33,7 @@
\externaldocument{corps-finis}
\externaldocument{entiers}
\externaldocument{categories}
+\externaldocument{AVD-Dedekind}
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@@ -48,133 +49,121 @@ Corps locaux, corps globaux
\chapter{corps locaux, corps globaux}
\fi
+\renewcommand{\mod}{\mathrm{mod}}
+
\section{Corps locaux}
\subsection{Premières définitions, notations}
-\begin{définition2}
-On appelle \emph{corps local premier} un corps
-isomorphe à $𝐐_p$ — où $p$ est un nombre premier ou bien
-$p=∞$, auquel cas $𝐐_∞=𝐑$ — ou bien isomorphe au corps des séries
-de Laurent formelles $𝐅_p((t))$, où $p$ est un nombre
-premier.
-\end{définition2}
-
-Les corps locaux premiers sont naturellement munis d'une
-topologie (\refext{AVD-Dedekind}{}) ; ce sont même des corps topologiques (\refext{AVD-Dedekind}{}).
-
-\begin{théorème2}
-\label{caractérisation corps locaux}
-Soit $K$ un corps topologique non archimédien. Les conditions suivantes sont équivalentes.
-\begin{enumerate}
-\item Il existe un sous-corps local premier $K₀$ de $K$ tel que $K\bo K₀$ soit fini et $K₀$ soit fermé dans $K$.
-\item La topologie de $K$ est complète et induite par une valuation discrète à corps résiduel fini.
-\end{enumerate}
-De plus, lorsque $K$ est d'égale caractéristique $p>0$ et de corps résiduel $k$,
-un corps satisfaisant les conditions précédentes est isomorphe
-au corps des séries de Laurent formelles $k((t))$.
-\end{théorème2}
-
-\begin{démo}
-(i) ⇒(ii). Soient $K$ et $K₀$ comme dans l'énoncé et soit $d=[K:K₀]$.
-En tant que $K₀$ espace vectoriel, $K$ est isomorphe à $K₀^d$.
-
-
-
-
-cf. :
-\refext{AVD-Dedekind}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique},
-\refext{AVD-Dedekind}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
-et \refext{AVD-Dedekind}{prolongement valuations}.
-\end{démo}
-
-\begin{miseengarde2}Soit $K$ un corps local de local de caractéristique $p>0$
-et $K₀$ un sous-corps isomorphe à $𝐅_p((t))$, fermé dans $K$.
-Le sous-corps $K₀^p$ de $K$ est également isomorphe
-à $𝐅_p((t))$ et fermé dans $K$ : il n'y a pas unicité du
-sous-corps $K₀$ dans le (i) du théorème sous-corps local premier d'un corps local.
-Le fait que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$ résulte
-du fait que la dérivation par rapport à $t$, $f ↦ f ′$,
-est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.
-\end{miseengarde2}
-
-\subsubsection{}On fixe dorénavant un corps local $K$.
-On dit que $K$ est \emph{ultramétrique} lorsqu
-Lorsque $K$ est ultramétrique, on note $𝒪$
-son anneau des entiers\footnote{On vérifie immédiatement
-que $𝒪$ est le sous-anneau compact maximal de $K$.},
-d'idéal maximal $𝔪=(ϖ)$, et $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$, dont on note $q$
-le cardinal.
-
-\begin{proposition2}
-Localement compact.
-\end{proposition2}
+\subsubsection{}On appelle \textbf{corps local
+non-archimédien}, ou \textbf{ultramétrique},
+le corps des fractions d'un anneau de valuation discrète
+complet à corps résiduel fini, muni de la topologie
+induite par la valuation. On appelle \emph{corps local archimédien} tout corps
+topologique isomorphe au corps $𝐑$ des nombres réels ou bien au corps $𝐂$ des nombres complexes.
+Enfin, un \textbf{corps local} est un corps d'un des deux types
+précédents.
+
+\subsubsection{}Il résulte de
+\refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet parfait égale caractéristique}
+et \refext{AVD-D}{structure corps discrètement valué complet fini inégale caractéristique}
+qu'un corps local ultramétrique de caractéristique résiduel $p>0$ est fini sur un sous-corps
+fermé $K₀$ isomorphe au corps des nombres $p$-adiques $𝐐_p$
+ou bien au corps des séries de Laurent formelles $𝐅_p((t))$.
+Un tel sous-corps $K₀$ est unique lorsque $K$ est de
+caractéristique nulle — il coïncide alors avec l'adhérence
+de $𝐐$ dans $K$ — mais il n'est pas unique lorsque $K$ est
+de caractéristique $p$. En effet, si $K₀$ est comme
+précédemment, le sous-corps $K₀^p=𝐅_p((t^p))$ de $K$
+satisfait les mêmes conditions. (Que $𝐅_p((t^p))$ soit fermé dans $𝐅_p((t))$
+résulte par exemple du fait que la dérivation par rapport à $t$
+est continue pour la topologie $(t)$-adique et de noyau $𝐅_p((t^p))$.)
+
+\subsubsection{}Lorsque $K$ est un corps local
+ultramétrique, on notera en général $𝒪$ son anneau des entiers,
+$𝔪$ l'idéal maximal de $𝒪$, $ϖ$ une uniformisante ($𝔪=(ϖ)$), $k$ le corps résiduel $𝒪/𝔪$
+et enfin $q$ le cardinal de $k$. On a vu en \refext{AVD-D}{topologie et anneau des entiers} que $𝒪,𝔪$
+et $k$ ne dépendent que de la topologie de $K$.
+L'uniformisante est bien définie à multiplication par une unité $u ∈ 𝒪^×$ près.
+On appelle \emph{valeur absolue normalisée}, notée $|⋅|_K$ l'unique valeur
+absolue $K → 𝐑_{+}$ telle que $|ϖ|_K=\frac{1}{q}$.
+Lorsque $K=𝐑$ (resp. $𝐂$), la valeur absolue normalisée $|⋅|_K$ est la valeur absolue usuelle
+(resp. $z ↦ z \sur{z}$, c'est-à-dire le carré de la norme usuelle).
+On note également $|⋅|_p$ la valeur absolue normalisée $|⋅|_{𝐐_p}$ ;
+cette convention est étendue au cas où $p=∞$ en posant $𝐐_∞=𝐑$.
-Réciproquement, on peut montrer (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil},
+\subsubsection{}
+\label{locale compacité corps locaux}
+Tout corps local est \emph{localement compact}. Dans le
+cas archimédien, c'est bien connu. Dans le cas
+non-archimédien, il suffit de vérifier que l'anneau des
+entiers $𝒪$ est compact. Or, étant séparé et complet
+pour la topologie $𝔪$-adique, c'est naturellement
+un fermé du produit $∏_{n ≥ 1} 𝒪/𝔪^n$, où chaque anneau
+quotient $𝒪/𝔪^n$ est muni de la topologie discrète.
+Ces anneaux sont finis donc compacts ; il en est de même
+de leur produit.
+
+\subsubsection{}Réciproquement, on peut montrer (\cite[I. §3-4]{BNT@Weil},
ou Bourbaki, AC, VI.§9) %[Ramakrishnan]
qu'un corps est local si et seulement si il peut être muni d'une topologie
-non discrète qui en fait un corps topologique localement compact.
-Supposons pour simplifier que $K$ soit un corps valué non
-archimédien, localement compact.
+non discrète qui en fait un corps topologique localement
+compact. Puisque nous ne ferons pas usage de ce résultat
+esquissons simplement une démonstration dans le cas
+particulier où $K$ est un corps valué non archimédien, localement compact.
Soient $C$ un voisinage compact de l'origine $0 ∈ K$,
-$𝔞=\{x ∈ K:|x| ≤ 1\}$ et $π$ un élément de l'idéal
+$𝒪=\{x ∈ K:|x| ≤ 1\}$ et $ϖ$ un élément non nul de l'idéal
maximal $𝔭=\{x ∈ K:|x|<1\}$. Il existe un entier $n$ tel que
-$π^n 𝔞$ soit contenu dans $C$. Il en résulte que $π^n 𝔞$,
-qui est fermé, est également compact. Il en résulte que $𝔞$
-est séquentiellement compact et, finalement, que $K$ est
+$ϖ^n 𝒪$ soit contenu dans $C$ ; le fermé $ϖ^n 𝒪$ est donc
+également compact. Il en résulte
+que $𝒪=ϖ^{-n} (ϖ^n 𝒪)$ est séquentiellement compact et, finalement, que $K$ est
complet. Soit $x_i$ ($i ∈ I$) un ensemble de représentants
-de $𝔞/𝔭$. L'ensemble $𝔞$ est recouvert par les ouverts
+de $k=𝒪/𝔭$. L'ensemble $𝒪$ est recouvert par les ouverts
disjoints $\{x ∈ K:|x-x_i|<1\}$. L'ensemble $I$ est donc
-fini : le corps résiduel $k=𝔞/𝔭$ est donc fini. Le quotient
-$𝔞/𝔭$ étant fini, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝔞$ donc
+fini : le corps résiduel $k=𝒪/𝔭$ est donc fini. Le quotient $k$ étant
+fini, l'idéal $𝔭$ est fermé dans $𝒪$ donc
compact. Puisqu'il est recouvert par les ouverts
$\{x:|x|<1-1/n\}$, $n ≥ 1$, il existe $n$
tel que $𝔭=\{x:|x|<1-1/n\}$ : la valuation est discrète.
% voir aussi Bourbaki, AC, VI.§5, prop. 2
-
La construction d'une valeur absolue sur un corps
topologique localement compact repose sur la théorie de
-l'intégration (cf. Bourbaki, \emph{op. cit.}).
-
-\begin{définition2}
-valeur absolue normalisée : $|ϖ|=\frac{1}{q}$.
-\end{définition2}
-
-\begin{proposition2}
-Compatibilité avec la norme $N_{L\bo K}$.
-\end{proposition2}
+l'intégration. Cf. Bourbaki, \emph{op. cit.} et les rappels
+\emph{infra}.
-\begin{proposition2}
-Tout corps local de caractéristique $p>0$ est isomorphe
-à un corps $k((t))$, où $k$ est un corps fini.
-\end{proposition2}
-
-BNT, p. 20.
\subsection{Mesures}
On procède dans un premier temps à quelques rappels et compléments
-de théorie de l'intégration.
+de théorie de l'intégration. Le niveau de généralité de ces
+rappels est justifié par l'usage qui en sera fait dans la
+théorie des corps globaux (analyse sur les adèles).
\subsubsection{}Soit $X$ un espace topologique localement
-compact. Pour tout compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C)$ l'ensemble des fonctions continues
-sur $X$ à valeurs complexes et à support contenu dans $C$. C'est un
+compact et soit $𝐊$ le corps $𝐑$ ou $𝐂$. Pour tout
+compact $C ⊆ X$, on note $𝒞_c(X,C;𝐊)$ l'ensemble des fonctions continues
+sur $X$ à valeurs dans $𝐊$ et à support contenu dans $C$. C'est un
espace topologique normé par $‖ f ‖_C =\sup_{x ∈ C} |f(x)|$.
-L'ensemble $𝒞_c(X)=⋃_C 𝒞_c(X,C)$ — où l'union
+L'ensemble $𝒞_c(X;𝐊)=⋃_C 𝒞_c(X,C;𝐊)$ — où l'union
est prise dans l'ensemble des fonctions continues à
-valeurs complexes sur $X$ — des fonctions à support compact
-est donc naturellement muni de la topologie colimite/union.
-Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $K$
-etc.
+valeurs dans $𝐊$ sur $X$ — des fonctions à support compact
+est donc naturellement muni de la topologie colimite (ou
+union). Explicitement : $f_n → f$ si et seulement si il existe un compact $C$
+et un entier $N>0$ tel que les fonctions $f$ et $f_n$ pour $n ≥ N$ appartiennent à $𝒞_c(X,C;𝐊)$
+et que la suite $(f_n)_{n ≥ N}$ tende vers $f$ dans $𝒞_c(X,C;𝐊)$.
\subsubsection{}On appelle \textbf{mesure de Radon} sur $X$
-une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X) → 𝐂$. Si $f ∈ 𝒞_c(X)$,
-le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
-et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$ etc.
-Une telle mesure est dite \textbf{positive},
-si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
-réelles et s'il est positif ou nul lorsqu'il en est de même
-des valeurs de $f$ (cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.)
+une forme linéaire continue $μ:𝒞_c(X;𝐂) → 𝐂$. La continuité
+de $μ$ revient à supposer l'existence, pour chaque
+compact $C$ de $X$ d'une constante $M_C$ telle que pour
+chaque $f ∈𝒞_c(X;𝐂)$ à support dans $C$ on ait : $|μ(f)| ≤ M_C ‖f ‖_C$.
+Le nombre $μ(f)$ est appelé « intégrale de $f$ par rapport à $μ$ »
+et est également noté $∫ f d μ$, $∫_X f(x) d μ(x)$, etc.
+Une telle mesure est dite \textbf{positive}, si $μ(f)$ est réel dès lors que $f$ est à valeurs
+réelles et si ce nombre est positif ou nul lorsqu'il en est de même
+des valeurs de $f$ ; cette dernière condition étant notée : $f ∈ 𝒞_c(X)_+$.
+(On peut montrer qu'une forme linéaire positive sur $𝒞_c(X;𝐑)$
+est automatiquement continue.)
Suivant le procédé usuel, on étend une telle mesure :
à l'ensemble $ℐ_+(X)$ des fonctions réelles positives,
semi-continues inférieurement, sur $X$ en posant $μ^*(f)=\sup_{g ≤ f}
@@ -183,10 +172,10 @@ positives sur $X$ en posant $μ^*(f)=\inf_{f ≤ g } μ(g) ∈ \sur{𝐑}_+$, o
Cette dernière quantité est également notée $∫^* f d μ$.
Enfin pour une fonction numérique quelconque $f$ et $s ≥ 1$,
on pose : $|f|_s=∫^* |f|^s d μ$. Il résulte de l'inégalité
-de Minkowski qu'on obtient ainsi une semi-norme,
+de Minkowski qu'on obtient ainsi une semi-norme
— donc en particulier une topologie (dite de la convergence en moyenne
d'ordre $s$) — sur l'espace des fonctions $f:X → 𝐂$ telles que $|f|_s<+∞$.
-L'adhérence de $𝒞_c(X)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
+L'adhérence de $𝒞_c(X;𝐂)$ dans cet espace est notée $ℒ^s(X)$.
On note $L^s(X)$ l'espace séparé (normé) associé.
L'inégalité $|μ(f)| ≤ |f|₁$, valable pour $f ∈ 𝒞_c(X)$,
permet d'étendre $μ$ par continuité en une forme linéaire continue,
@@ -195,7 +184,7 @@ intégrables, c'est-à-dire dans $ℒ¹(X)$, cette extension coïncide
bien sûr avec $μ^*$.
\subsubsection{}On fait le lien avec la théorie de Lebesgue
-de la mesure ($σ$-algèbres, tribus etc.) en posant,
+de la mesure ($σ$-algèbres, tribus, etc.) en posant,
pour toute partie $E ⊆ X$ : $μ^*(E)=μ^*(\mathbf{1}_E) ∈ \sur{𝐑}_+$,
où $\mathbf{1}_E$ désigne
la fonction caractéristique de $E$. C'est la \emph{mesure extérieure}
@@ -206,18 +195,33 @@ d'adhérence compacte, est de mesure extérieure finie.
localement compact. (Groupe topologique : $G² → G$, $(x,y) ↦ x y^{-1}$
est continue.) On appelle \textbf{mesure de Haar}
sur $G$ une mesure (de Radon) $μ$ non nulle et positive telle que pour tout
-$f ∈ 𝒞_c(G)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
+$f ∈ 𝒞_c(G;𝐂)$, et tout $h ∈ G$, on ait l'égalité :
\[
∫_G f d μ= ∫_G f_h d μ,
\]
où $f_h(g)=f(hg)$.
-
-C'est un fait général (Bourbaki, INT, VII.§1.№2) qu'il existe
-une mesure de Haar invariante à gauche et qu'elle est unique à un facteur multiplicatif
-près. Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
-invariante à droite, en un sens évident. [La démonstration fait quatre petites pages.]
+Une mesure de Haar sur $G$ est donc une forme linéaire non
+nulle sur $𝒞_c(G;𝐂)$, positive sur les fonctions positives ;
+réciproquement toute telle forme linéaire est une mesure
+de Haar.
+
+\subsubsection{}Tout groupe topologique localement
+compact $G$ peut être muni d'une mesure de Haar ; elle est
+unique à un facteur multiplicatif non nul près.
+(Cf. Bourbaki, INT, VII.§1.№2 ; la démonstration ne fait que
+quelques pages.) Si $G$ est commutatif, une telle mesure est nécessairement
+invariante à droite, en un sens évident.
+
+\subsubsection{}Si $φ$ est un automorphisme de $G$ et $μ$ une mesure de Haar
+invariante à gauche, la mesure de Radon $φ^*μ:f ↦ ∫_g f ∘ φ^{-1} d μ$
+est également une mesure de Haar. Il existe donc un nombre
+réel $\mod(φ)>0$, appelé \emph{module} de $φ$, tel que $φ^*μ=\mod(φ) μ$. Par construction,
+pour toute partie $μ$-mesurable $E$ de $G$, on a $μ(φ(E))=\mod(φ)μ(E)$.
\subsubsection{Exemples : mesure de Tamagawa locales}
+Nous donnons ici une construction \emph{ad hoc} de mesures
+de Haar dans le cas où $G$ est le groupe additif d'un corps local.
+
\begin{enumerate}
\item[$𝐑$.] La mesure de Radon $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}$
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐑)$ sur son intégrale usuelle $∫_𝐑 f(x) dx$ est une
@@ -229,74 +233,97 @@ topologique $K=𝐑$.
envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une mesure
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
-\item[non arch.] $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
-[+ construction]. Cf. [Bushnell-Henniart], I.§3.
+\item[non arch.] Soit $K$ un corps local non archimédien et
+soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
+constante à support compact, il existe un entier $n ∈ 𝐙$
+tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
+\[
+f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^n}.
+\]
+On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
+à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^n})=q^{-n}$.
+On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
+de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
+à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}
+La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
+précédents.
+
\begin{proposition2}
-Soit $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ mesure de Haar sur le groupe additif
-d'un corps local $K$ et $a ∈ K^×$. Alors
-$[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus $+$}}$.
+Soit $K$ un corps local et soit $a ∈ K^×$.
+Le module de l'automorphisme $[a]:K → K$, $x ↦ ax$, du
+groupe additif de $K$ est égal à $|a|_K$. En d'autres
+termes, $[a]^*μ^{\mbox{\minus $+$}}=|a| μ^{\mbox{\minus
+$+$}}$ pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus$+$}}$ sur $(K,+)$.
\end{proposition2}
+Pour une variante plus conceptuelle de cet argument,
+voir \cite[II. §1, prop. 2]{CL@Serre}.
-\subsection{Espaces de fonctions}
+\subsection{Caractères additifs d'un corps local}
\begin{définition2}
-Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble
-des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
-décroissante à l'infini suivante :
-\begin{itemize}
-\item[$K$ ultramétrique :] $f$ est à support compact.
-\item[$K$ archimédien :] $f$ est $𝒞^∞$ en tant que fonction
-à une ou deux variables réelles et pour toute paire de
-polynômes $P,Q$ en ces variables, la fonction
-réelle $|P Q(∂) f|$ est bornée. [clarifier \XXX]
-\end{itemize}
-Cet espace est appelé est \emph{espace de Schwartz} ou
-\emph{Bruhat-Schwartz}.
+On appelle \emph{caractère additif} d'un corps local $K$
+tout morphisme continu de groupes $ψ:K → 𝐔=\{z ∈ 𝐂:|z|=1\}$.
\end{définition2}
-Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
-et variantes uniquement dans cas archimédien).
-
-\subsection{Caractères additifs d'un corps local}
+Si $K$ est ultramétrique, l'hypothèse de continuité
+revient à supposer le noyau de $ψ$ \emph{ouvert}.
+% [Bushnell-Henniart] p. 10.
+On note $\chap{K}$ l'ensemble des caractères additif d'un
+corps local $K$ ; c'est naturellement un groupe abélien.
\begin{définition2}
-Caractères : ils sont continus.
+Soit $ψ$ un caractère d'un corps local ultramétrique $K$.
+On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
+entier $n$ tel que $ψ(𝔪^n)=1$ si $ψ$ est non trivial
+et $-∞$ sinon. [doute sur le signe $±n$ ; cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
\end{définition2}
+Le niveau induit une filtration naturelle sur le groupe $\chap{K}$.
-On suppose choisie une fois pour toute une orientation
+\subsubsection{}On suppose choisie une fois pour toute une orientation
sur $𝐂$, c'est-à-dire un choix fait de $i=√{-1}$ dans $𝐂$. On note
alors, pour chaque $x ∈ 𝐑$, $𝐞(x)=\exp(2 i π x)=e^{2 i π x}$.
% cf Weil I, §2.1 pour discussion orientation.
-De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀ ∈ \chap{𝐅_p}$
-le caractère $x ↦ 𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
+De même, $p>0$ étant implicitement fixé, on note $ψ₀$
+le caractère additif du corps fini $𝐅_p$ défini par $x ↦
+𝐞(\frac{\tilde{x}}{p})$, où $\tilde{x}$ est un
relèvement quelconque de $x$ dans $𝐙$.
-\subsubsection{Exemple de caractères des corps locaux premiers}
-
-\begin{enumerate}
-\item[$𝐐_p$.] $𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\})$, où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$ tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$.
-
-\item[$𝐑$.] $𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x)$.
-
-\item[$𝐅_p((t))$.] $x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res(x dt))$.
-\end{enumerate}
+\subsubsection{Exemples de caractères additifs des corps locaux}
+Soit $K=𝐐_p$ (resp. $𝐑=𝐐_∞$, resp. $𝐅_p((t))$).
+L'application \[𝐞_p:x ↦ 𝐞(\{ x\}),\] où $\{x\}$ désigne un élément de $𝐐$
+tel que $x-\{x\} ∈ 𝐙_p$ (resp. \[𝐞_∞:x ↦ 𝐞(-x),\] resp.
+\[𝐞_{p,t}:x ↦ 𝐞(\frac{1}{p} \Res_t(x dt)),\]
+où $\Res_t(∑_{-n}^{+∞} a_i t^i dt)=a_{-1}$) est un caractère
+additif du corps $K$, de niveau nul.
\begin{proposition2}
\label{caractère corps local}
Soit $K$ un corps local.
\begin{enumerate}
-\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$ premier ou $p=∞$)
-son sous-corps local premier, le caractère $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
-\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme
-différentielle non nulle, le caractère $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Res(x ω))$ est non trivial.
+\item Si $K$ est de caractéristique nulle et $𝐐_p$ ($p$
+premier ou $p=∞$) est l'adhérence de $𝐐$ dans $K$, le
+caractère additif $𝐞_{p,K}=𝐞_p ∘ \Tr_{K \bo 𝐐_p}$ est non trivial.
+\item Si $K$ est de caractéristique $p>0$ de corps
+résiduel $k$ et $ω ∈ Ω¹_K$ est une forme différentielle non nulle,
+le caractère additif $ψ_ω: x ↦ ψ₀(\Tr_{k\bo 𝐅_p} ∘ \Res(x ω))$
+— où $\Res$ est le résidu défini en \refext{AVD-D}{résidu
+forme différentielle formelle} — est non trivial.
\end{enumerate}
\end{proposition2}
-On observe ici une différence fondamental entre la caractéristique
+\begin{démo}
+(i). L'extension $K\bo 𝐐_p$ étant séparable, la
+trace $\Tr_{K\bo 𝐐_p}$ est surjective. Le caractère $𝐞_p$
+étant non trivial, il en est de même de $𝐞_{p,K}$.
+(ii). Même argument, joint au fait (\refext{AVD-D}{non nullité du résidu}) que
+l'application $k$-linéaire $\Res:Ω¹_K → k$ est surjective.
+\end{démo}
+
+On observe ici une différence fondamentale entre la caractéristique
nulle et la caractéristique positive : dans ce dernier cas,
il ne semble pas y avoir de caractère privilégié.
@@ -309,19 +336,27 @@ L'application
est un isomorphisme.
\end{proposition2}
+\begin{démo}
+L'injectivité est évidente. Soit $ψ ′$ un caractère
+non trivial et montrons qu'il appartient à l'image. On peut
+supposer $ψ$ et $ψ′$ de niveaux nuls. Le fait que le résultat
+soit connu pour un corps fini montre qu'il existe
+un $x₁ ∈ 𝒪^×$ tel que $[x₁]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$
+sur $𝔪^{-1}$. (On utilise le fait que $𝔪^{-1}/𝒪$ est
+isomorphe au groupe additif du corps résiduel $k$.) On construit alors
+de proche en proche une suite $x_n ∈ 𝒪^×$
+telle que $x_n - x_{n-1} ∈ 𝔪^n$ et telle que
+$[x_n]^*ψ$ coïncide avec $ψ ′$ sur $𝔪^{-n}$.
+\XXX
+% cf. [Bushnell-Henniart] p. 11.
+\end{démo}
+
\begin{remarque2}
-L'existence d'un caractère non trivial est un fait général,
-qui résulte de la dualité de Pontrâgin.
+L'existence d'un caractère non trivial a été établie
+ci-dessus. C'est également un fait général qui résulte
+de la dualité de Pontrâgin.
\end{remarque2}
-\begin{définition2}
-Soit $ψ$ un caractère non trivial du corps $K$, supposé
-ultramétrique.
-On appelle \emph{niveau} \index{niveau} de $ψ$ le plus petit
-entier $n$ tel que $ψ(𝔪^{-n})=1$. [doute sur le signe $±n$ ;
-cf. $\deg(𝔠)$ dans RR. \XXX]
-\end{définition2}
-
\begin{proposition2}
Niveau de $𝐞_{p,K}$ et discriminant.
%Niveau de $ψ_ω$.
@@ -338,6 +373,23 @@ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝔡^{-1}$ (cf. \ref{}).
\subsection{Transformation de Fourier}
+\subsubsection{Espace de Schwartz}
+Soit $K$ un corps local. On note $𝒮(K)$ l'ensemble des fonctions continues $f:K → 𝐂$ qui satisfont la condition de
+décroissante à l'infini suivante. Lorsque $K$ est
+archimédien, donc isomorphe à $𝐑^n$ pour un entier $n ∈ \{1,2\}$,
+on demande que $f$ soit $𝒞^∞$ (en tant que fonction de $n$
+variables) et que pour tout polynôme $P$ (resp. $Q$) à
+coefficients complexes en les $n$ variables (resp. en
+les dérivées par rapport à ces $n$ variables), la fonction réelle $|P × (Q ⋅
+f)|$ soit bornée. Lorsque $K$ est ultramétrique, on
+pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
+de \emph{Bruhat-Schwartz}.
+
+%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
+%et variantes uniquement dans cas archimédien).
+
+ \[⁂\]
+
\subsubsection{}Fixons un caractère non trivial $ψ$ de $K$
et convenons de noter, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$ le caractère $[x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
@@ -345,7 +397,6 @@ Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction 
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
-
\begin{remarques2}
Lorsque $K$ est ultramétrique, l'intégrale précédente est
en fait une somme \emph{finie}.
@@ -470,6 +521,10 @@ plus jolie.
Exemples de $γ$.
\end{exemples2}
+\subsection{Fonctorialité}
+
+$N_{L\bo K}$ et lien avec la valeur absolue normalisée par exemple.
+
\section{Corps globaux}
\subsection{Définitions}