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path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-09 13:29:55 (GMT)
committerFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-08-09 13:30:52 (GMT)
commitaf86d019f373188d3903504dcbea91fe3acf1d4e (patch)
tree76801235833d0c1294a95e5d630a9cf8716c22ba /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] fin comparaison topologies adélique et idélique
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex77
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index 8c6817b..2a2c2be 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -2090,13 +2090,16 @@ que l'on note $|⋅|_x$, ainsi que sa restriction à $K$, qui
appartient à la classe $x$. Si $x$ est ultramétrique,
on note également $𝒪_x=\{f ∈ K_x : |f|_x ≤ 1\}$
l'anneau de valuation de $K_x$, $𝔪_x$ son idéal maximal,
-$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel et $v_x$ la valuation $K_x ↠
-𝐙 ∪ \{+∞\}$.
+$k_x=𝒪_x/𝔪_x$ le corps résiduel, $N(x)$ le cardinal de $k_x$ — appelé
+\emph{norme} de $x$ — et enfin $v_x$ la valuation $K_x ↠ 𝐙 ∪ \{+∞\}$.
+Notons que si $ϖ$ est une uniformisante de $𝒪_x$,
+on a $N(x)=|ϖ|_x^{-1}$.
Il est parfois utile de faire la convention suivante :
lorsque $x ∈ Σ^{\mathrm{arch}}(K)$, on pose $𝒪_x=K_x$.
% pertinence à vérifier \XXX. (Cela permet parfois d'éviter
% d'écrire « $S ⊆ Σ(K)$ fini contenant $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ »
+
\subsubsection{}
\label{U-entiers}
Pour toute partie cofinie $U ⊆ Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$, on note $𝒪_K(U)$ l'ensemble des éléments $f$ de $K$
@@ -2261,17 +2264,30 @@ l'observation \ref{Kx sont locaux} \emph{supra}
et le théorème \ref{cocompacité} \emph{infra}.)
\begin{proposition2}
-Soit $K$ un corps global. L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est
-\emph{fini}.
+\label{finitude-infinitude-places}
+Soit $K$ un corps global.
+\begin{enumerate}
+\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{arch}}(K)$ est \emph{fini}.
+\item L'ensemble $Σ^{\mathrm{ultr}}(K)$ est \emph{infini}. De plus,
+pour chaque $c ∈ 𝐑_{>0}$, son sous-ensemble
+$\{x ∈ Σ^{\mathrm{ultr}}(K): N(x) ≤ c\}$ est \emph{fini}.
+\end{enumerate}
\end{proposition2}
\begin{démo}
-Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues},
+Il résulte de \refext{AVD-D}{fonctorialité valeurs absolues}
et du fait que la restriction d'une valeur absolue archimédienne
-est archimédienne, qu'il suffit de traiter le cas particulier
-où $K$ est un corps global premier. Or,
-$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$ est un singleton et
-$Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
+(resp. ultramétrique) est archimédienne (resp. ultramétrique),
+qu'il suffit de traiter le cas particulier où $K$ est un corps global premier.
+Dans ce cas, (i) résulte du fait que $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐐)$
+est un singleton et $Σ^{\mathrm{arch}}(𝐅_p(t))$ est vide.
+Quant au premier point de (ii), il suffit de montrer que l'ensemble des idéaux maximaux
+$(P)$ de $𝐙$ (resp. $𝐅_p[t]$) est infini. Ceci est bien connu
+et en substance dû à Euclide : considérer un diviseur irréductible
+d'une expression $P₁ \cdots P_n +1$.
+Enfin, $N(P)$ est la valeur absolue usuelle
+de $P$ dans le cas des nombres et $p^{\deg(P)}$ dans le cas des fonctions.
+Le complément en résulte aussitôt.
\end{démo}
\begin{proposition2}
@@ -3015,6 +3031,8 @@ On a cependant le résultat positif suivant, dont nous ferons usage ci-après.
\label{topologies induites coïncident}
Les topologies induites sur $K^{×,=1}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀: |f|=1\}$
par les inclusions $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K^×_𝐀$ et $K^{×,=1}_𝐀 ⊆ K_𝐀$ coïncident.
+De plus, pour chaque paire $b ≥ c >0$ de réels, l'ensemble
+${K^×_𝐀}^{≤b \atop ≥c}$ est un \emph{fermé} de $K_𝐀$.
\end{proposition2}
\begin{démo}
@@ -3024,13 +3042,13 @@ dans $K_𝐀$ ou, de façon équivalente, que son complémentaire
$K^{×, < c}_𝐀=\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$ est ouvert. Fixons $c$ et considérons
un élément $f$ de ce complémentaire. Il existe un ouvert dense $U$ de $K$
tel que $f ∈ K_𝐀(U)$. Quitte à rétrécir $U$, on peut
-supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{x ∉ U} |f_x|_x <c$.
+supposer de plus que l'on a l'inégalité $∏_{s ∉ U} |f_s|_s <c$.
Le complémentaire de l'ensemble $U$ dans $Σ(K)$ étant cofini,
-l'application $a↦ ∏_{x ∉ U} |a_x|_x$ est \emph{continue}.
+l'application $g↦ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s$ est \emph{continue}.
Il existe donc un voisinage $𝒱 ⊆ K_𝐀(U)$ de $f$ dans $K_𝐀$
-tel que pour chaque $f′ ∈ 𝒱$ on ait $∏_{x ∉ U} |f′_x|_x < c$.
-Pour un tel $f′$, on a $|f′| ≤ ∏_{x ∉ U} |f′_x|_x <c$
-de sorte que l'ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.
+tel que pour chaque $g ∈ 𝒱$ on ait $∏_{s ∉ U} |g_s|_s < c$.
+Pour un tel $g$, on a $|g| ≤ ∏_{s ∉ U} |g_s|_s <c$, car $|g_u| ≤ 1$ pour
+chaque $u ∈ U$, de sorte que l'ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$ est contenu dans $\{f ∈ K^×_𝐀:|f| < c\}$.
Montrons maintenant que l'inclusion $K_𝐀^{×, ≥ c} ↪ K_𝐀$ induit un
homéomorphisme sur son image, c'est-à-dire que les deux topologies sur $K_𝐀^{×, ≥ c}$
@@ -3044,13 +3062,32 @@ tels que l'on ait l'inclusion
\[
K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱 ⊆ K^×_𝐀(U).
\]
-Soit $V$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(V)$
-et soit $ρ$ un réel strictement supérieur au produit (fini) $∏_{x ∉ V} |f_x|_x$.
-Comme précédemment, il existe un ouvert $𝒱$ de $K_𝐀$
+Soit $U$ un ouvert suffisamment petit de $K$ tel que $f ∈ K_𝐀(U)$
+et soit $ρ$ un réel strictement supérieur au produit (fini) $∏_{s ∉ U} |f_s|_s$.
+Comme précédemment, il existe un voisinage ouvert $𝒱$ de $f$ dans $K_𝐀$
contenu dans
-\[K_𝐀(V) ∩ \{f′ ∈ K_𝐀 : ∏_{x ∉ V} |f_x|_x\}.\]
-[...]
-% 斎藤 p. 243.
+\[K_𝐀(U) ∩ \{g ∈ K_𝐀 : ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ\}.\]
+Quitte à rétrécir davantage $U$, on peut supposer
+d'après \ref{finitude-infinitude-places} que pour chaque
+place $u ∈ U$, on a $N(u) ≥ ρ c^{-1}$.
+Vérifions que $U$ et $𝒱$ conviennent ; considérons pour cela
+$g ∈ K^{ ≥ c}_𝐀 ∩ 𝒱$. Comme $g$ appartient à
+$K_𝐀(U)=∏_{s ∉ U} K_s × ∏_{u ∈ U} 𝒪_{K,u}$,
+et que chaque $g_x$ est non nul, il nous faut montrer
+que pour tout $u ∈ U$, $g_u ∈ 𝒪_{K,u}^×$.
+Fixons un tel $u$. Par hypothèse, on a donc
+\[
+c ≤ |g|=∏_x |g_x|_x ≤ |g_u|_u × ∏_{s ∉ U} |g_s|_s < ρ |g_u|_u
+\]
+et par conséquent
+\[
+|g_u|_u=N(u)^{-v_u(g_u)} > c ρ^{-1}.
+\]
+Compte tenu du l'hypothèse faite sur le norme $N(u)$
+de la place $u$, on a $v_u(g_u)<1$ d'où — par positivité
+et intégrité — $v_u(g_u)=0$.
+
+Les résultats établis permettent de conclure.
\end{démo}
\subsubsection{}