summaryrefslogtreecommitdiffstats
path: root/chapitres/locaux-globaux.tex
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authorFabrice (eramangarria) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-21 17:26:23 (GMT)
committerFabrice Orgogozo <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2013-02-21 17:26:23 (GMT)
commitafda6a7546ffbacfbc45706d446316c713ae77b9 (patch)
tree613c778ccc93dbb1ed60911e8710564c127d30f8 /chapitres/locaux-globaux.tex
parent1b37417bf0106e42314d3c22dda89f90d5af8d5a (diff)
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[LG] formule de la moyenne/masse [à réécrire/vérifier]
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-rw-r--r--chapitres/locaux-globaux.tex55
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diff --git a/chapitres/locaux-globaux.tex b/chapitres/locaux-globaux.tex
index fa596dd..8dd27f6 100644
--- a/chapitres/locaux-globaux.tex
+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -5475,9 +5475,9 @@ D'après \ref{formule-des-traces}, la majoration de la différence
$|N(n)-(1+q^n)|$ est conséquence immédiate des égalités $|α_i|=q^{½}$.
La réciproque est élémentaire (cf. \ref{} ci-dessous). \XXX
-\subsubsection{Stratégie}
+\subsection{Stratégie et majoration fondamentale}
-Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et,
+\subsubsection{}Fixons une clôture algébrique $\sur{k}$ du corps des constantes $k$ et,
pour chaque entier $n ≥ 1$, notons $k_n$ l'unique sous-extension de $\sur{k} \bo k$
de degré $n$. On veut estimer la taille — notée $N(n)$ ci-dessus — des ensembles $X(k_n)$
définis en \ref{notation-Xk}.
@@ -5488,7 +5488,7 @@ $X(\sur{k})$ via son action sur $\sur{k}$. (Explicitement :
par composition d'une place $φ : K → \sur{k} ∪ \{∞\}$ avec l'élévation
avec la puissance $q$ de $\sur{k} ∪ \{∞\}$ dans lui-même.)
-Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
+\subsubsection{}Supposons que le corps $K$ soit une extension galoisienne de groupe $G$ du corps
$k(t)$, corps dont on note $𝐏¹_k$ le foncteur des $k$-places ultramétriques (\ref{notation-Xk}).
Si $x ∈ X(\sur{k})$ s'envoie sur $y ∈ 𝐏¹_k(\sur{k})$ et si le morphisme
correspondant est net, il existe un unique $σ ∈ G$ tel
@@ -5503,13 +5503,26 @@ Il en résulte que si l'on sait \emph{majorer} le cardinal des
ensembles $ \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big)$, on sait également
minorer celui de $\Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=X(k)$.
+\subsubsection{}
+Pour contourner le problème de ramification auquel il a été
+fait allusion ci-dessus, il est utile d'introduire — suivant
+\cite[chap. 4]{Fried-Jarden} — le nombre de points fixes pondérés par
+le degré :
+\[
+\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)= ∑_{x ∈ X \atop σ(x)=\Frob_k(x)} \deg(x).
+\]
+(Voir \ref{formule de la moyenne}, \emph{infra}.)
+Notons le cas particulier important suivant (cas où $σ=\Id$) :
+\[
+\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^\Id|X(\sur{k})\big)=\# \Fix\big(\Frob_k|X(\sur{k})\big)=\# X(k).
+\]
\begin{théorème2}[Bombieri]
Supposons que $q$ est un carré ${q′}²$,
satisfait l'inégalité $q′>(g+1)²$, et qu'il existe un \emph{point rationnel} $x ∈ X(k)$.
Alors pour tout $σ ∈ \Aut(K\bo k)$, on a la majoration
\[
-\# \Fix\big(σ^{-1}\Frob_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
+\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob^σ_k|X(\sur{k})\big) -(1+q) < (2g+1) √{q}.
\]
En particulier, $\# X(k) ≤ 1+q+(2g+1)√{q}$.
\end{théorème2}
@@ -5579,6 +5592,38 @@ Comme $\deg(\div₀(f))=\deg(\div_∞(f))$ et $f ∈ ℒ_{N+q′ M}$,
le cardinal recherché est donc inférieur ou égal
à $1+(N+q′M)=(1+q)+(2g+1)q′-1$. CQFD.
\end{démo}
+
+\subsection{Minoration et fin de l'argument}
+
+\begin{proposition2}
+\label{formule de la moyenne}
+Soit $L\bo K$ une extension finie galoisienne de groupe $G$
+et soit $Y$ l'ensemble des points du corps global $L$.
+Si le corps des constantes de $L$ égal à $k$ alors, pour tout
+$σ ∈ \Aut(K \bo k)$, on a la formule de la moyenne :
+\[
+\# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^σ|X(\sur{k})\big)
+=\frac{1}{\# G} ∑_{γ ∈ G} \# \gtilde{\Fix}\big(\Frob_k^{γ σ}|Y(\sur{k})\big).
+\]
+\end{proposition2}
+
+\begin{démo}
+Fixons un $x ∈ X$ tel que $σ(x)=\Frob_k(x)$.
+Soit $r$ le cardinal de la fibre $Y_x$, $e$ l'indice de ramification
+des $y$ dans cette fibre et $f$ le degré de l'extension résiduelle.
+On a $\# G = efr$. Pour chaque $y$ dans la fibre, il existe exactement
+$e$ éléments $γ ∈ G$ tels que $γ σ(y)=\Frob_k(y)$ et chaque $y$
+est de degré $f$ sur le corps résiduel de $x$. La formule
+à démontrer est donc conséquence de l'égalité « ponctuelle »
+\[
+1 = \frac{1}{\#G} (r × e × f).
+\]
+[On doit pouvoir dire ça mieux] \XXX
+\end{démo}
+
+\subsubsection{}
+
+
\[⁂\]
Utiliser astuce $σ ∘ \Frob = \Frob ′$
@@ -5588,8 +5633,6 @@ pour simplifier ? (cas $σ=1$ ?).
$B_K(n) = q^n/n + O(q^{n/2})$ [cf. Gauß].
\end{corollaire2}
-[référence optimale : [Fried-Jarden] (et Katz) pour interprétation un chouia
-géométrique.]
\subsection{Dévissage}