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authorFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 14:14:30 +0100
committerFabrice (Polytechnique) <Fabrice.Orgogozo+git@gmail.com>2012-02-24 14:14:30 +0100
commitb0184f3cc7fac5709e4b2e7a2e52a9bf461a51fa (patch)
tree1ce45528fbe0c633d823fb75cc3282276b9ea601 /chapitres/locaux-globaux.tex
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[LG] continuité implique locale constance (vieille modification)
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+++ b/chapitres/locaux-globaux.tex
@@ -444,18 +444,21 @@ invariante à droite lorsque $G$ est
\subsubsection{}
\label{module quotient}
Soit $Γ$ un sous-groupe discret d'un groupe abélien topologique localement compact $G$.
-Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact.
-Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$.
+Supposons le groupe quotient $X=G/Γ$ compact ; on dit que $Γ$ est
+\emph{cocompact} dans $G$.
+Fixons des mesures de Haar $μ_Γ$ (p. ex. la mesure de comptage) et $μ_X$
+sur $Γ$ et $X$ respectivement.
À toute fonction à support compact $f$ sur $G$, on peut associer
-la fonction « moyenne sur les $H$-orbites » :
+la fonction « moyenne sur les $Γ$-orbites » :
\[
m_Γ(f): g↦ μ_Γ([×g]^*f)= ∫_Γ f(g+γ) dγ.
\]
Cette fonction est $Γ$-invariante et induit
une fonction continue à support compact sur $X$,
également notée $m_Γ(f)$.
-La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est une mesure
-de Haar $μ_G$ sur $G$ telle que
+La forme linéaire $f↦ μ_X( m_Γ(f))$ est positive et $G$-invariante ;
+c'est donc une mesure de Haar sur $G$, que nous noterons $μ_G$.
+Par construction,
\[
∫_G f(g) dμ_G(g)=∫_X \Big( ∫_Γ f(g+γ) dμ_Γ(γ)\Big) dμ_X(\sur{g}).
\]
@@ -808,8 +811,14 @@ envoyant $f ∈ 𝒞_c(𝐂)$ sur $∫_{𝐂} f(z) 2 |dz ∧ d\sur{z}|$ est une
de Haar. Elle satisfait :
\mbox{$μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(\{z:|z| ≤ 1\})=2 π$}.
\item[ultram.] Soit $K$ un corps local ultramétrique et
-soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ étant localement
-constante [expliquer \XXX] à support compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
+soit $f ∈ 𝒞_c(K;𝐂)$. La fonction $f$ est localement
+constante : l'anneau des entiers $𝒪$ de $K$ étant
+un voisinage de l'origine, on se ramène par translation
+à montrer que toute fonction continue $𝒪 → 𝐂$ est localement constante.
+Cela résulte de la définition de la topologie sur $𝒪=\lim_n 𝒪/ 𝔪^n$
+d'après laquelle $\Hom_\cont(𝒪,𝐂)=\colim_n \Hom(𝒪/𝔪^n,𝐂)$.
+Le fonction $f$ ci-dessus étant de plus à support
+compact, il existe un entier $e ∈ 𝐙$
tel que $f$ puisse s'exprimer comme une somme finie
\[
f=∑_{i=1}^r c_i \mathbf{1}_{x_i+𝔪^e}.
@@ -818,7 +827,11 @@ On définit alors $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(f)$ par linéarité
à partir des égalités : $μ^{\mbox{\minus $+$}}₁(\mathbf{1}_{x_i+𝔪^e})=q^{-e}$.
On vérifie sans peine que la quantité obtenue ne dépend pas de la présentation
de $f$ choisie et que l'on a unicité de la mesure de Haar
-à multiplication par une constante non nulle près. \XXX Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
+à multiplication par une constante non nulle près.
+(Cette constatation, élémentaire est également utile lorsque l'on
+suit une approche dyadique pour définir l'intégration des fonctions
+numériques ; cf. \cite{Elements@Colmez}.)
+Par construction, on a $μ^{\mbox{\minus $+$}}_{1}(𝒪)=1$.
\end{enumerate}
La proposition suivante résulte immédiatement des exemples
@@ -981,31 +994,36 @@ et l'opposé de la valuation de la différente
définie en \refext{AVD-D}{différente}.
\end{proposition2}
-[Cette formule est un des nombreux indices qu'il faut
-changer le signe dans la définition du niveau, comme le fait
-Weil. \XXX]
-
-Pour ce qui est du niveau de $e_{K,ω}$, voir le théorème de Riemann-Roch
-et Riemann-Hurwitz. \XXX
-
\begin{démo}
Soit $y ∈ K$. Par construction, $𝐞_{K}(y⋅ x)=1$ pour tout $x ∈ 𝒪_K$
si et seulement si $\Tr_{K\bo 𝐐_p}(y 𝒪_K)⊆ 𝐙_p$ c'est-à-dire si et seulement si $y ∈ 𝒟_{K\bo 𝐐_p}$.
La conclusion en résulte aussitôt.
\end{démo}
+\begin{remarques2}
+\begin{enumerate}
+\item Cette formule est un indice selon lequel
+il serait préférable de changer le signe
+dans la définition du niveau. C'est ce que font
+certains auteurs, dont A. Weil.
+\item En caractéristique, l'interprétation du niveau
+de $e_{K,ω}$ est plus subtile.
+Voir le théorème de Riemann-Roch pour un énoncé global.
+\end{enumerate}
+\end{remarques2}
+
\begin{proposition2}
\label{niveau reste nul si extension nette}
-Soit $L\bo K$ une extension séparable non ramifiée [nette ?]
+Soit $L\bo K$ une extension séparable nette
de corps locaux et soit $ψ$ un caractère de $K$.
Si le niveau de $ψ$ est nul, il en est de même
-du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. Plus généralement, […]
+du niveau de $ψ ∘ \Tr_{L\bo K}$. %Plus généralement, […]
\end{proposition2}
Cela devrait avoir un rapport avec Riemann-Hurwitz \XXX.
\begin{démo}
-Trivial : cf. \ref{}.\XXX
+Trivial : cf. \refext{AVD-D}{}.
\end{démo}
\subsection{Transformation de Fourier locale}
@@ -1024,14 +1042,11 @@ pose $𝒮(K)=𝒞_c(K;𝐂)$ : c'est l'espace des fonctions localement
constantes à support compact. Ces espaces sont appelés \emph{espace de Schwartz} ou
de \emph{Bruhat-Schwartz}.
-%Variante (cf. [BNT]) : fonctions standard (Gaussiennes
-%et variantes uniquement dans cas archimédien).
-
\subsubsection{}Fixons un caractère additif non trivial $ψ$ de $K$
-et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$\footnote{À
-ne pas confondre avec les $ψ_x$ considérés dans le cas global... \XXX}
+et convenons de noter également, pour chaque $x ∈ K$, $ψ_x$
le caractère $[×x]^*ψ:y ↦ ψ(xy)$.
-Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
+Dans le cas global, cette notation aura un autre sens ; cela ne devrait pas
+prêter à confusion. Pour toute mesure de Haar $μ^{\mbox{\minus $+$}}$ sur $K$ et toute fonction $f ∈ 𝒮(K)$, on pose :
\[
ℱ_{ψ,μ^{\mbox{\minus $+$}}}(f): x ↦ ∫_K f ψ_x dμ^{\mbox{\minus $+$}}.
\]
@@ -1165,15 +1180,15 @@ Supposons $K=𝐐_p$ et fixons un caractère $χ: (𝐙/p)^× → 𝐂^×$.
Soit $f_χ$ l'unique fonction sur $𝐐_p$ à support dans $𝐙_p$
telle que pour chaque $x ∈ 𝐙_p$, on ait
$f_χ(x)=χ(x \mod p)$, où l'on identifie naturellement le quotient
-$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙$
-et on étend $χ$ à $𝐙/p 𝐙$ en la prolongeant par zéro.
+$𝐙_p/p 𝐙_p$ à $𝐙/p𝐙=𝐅_p$
+et on étend $χ$ à $𝐅_p$ en la prolongeant par zéro.
On constate que $f_χ$ est localement constante et que l'on a l'égalité
\[
ℱ_{𝐞_p}(f_χ)=\frac{G(χ)}{p} [×p]^* f_{\sur{χ}},
\]
où $G(χ)$ est la somme de Gauß
\[
-∑_{x ∈ 𝐙/p^×} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
+∑_{x ∈ 𝐅_p} χ(x) \exp(2 i π \frac{x}{p}).
\]
Voir \cite[F.2]{Elements@Colmez}.
\end{exemple2}
@@ -3025,6 +3040,7 @@ semblable à celle suivie ici.
\label{genre droite affine}
$g_{𝐅_p(t)}=0$. \XXX
% cf. p. ex Rosen, p. 49
+% via forme différentielle ou bien calcul fonction zêta ;)
\end{exemple2}
\subsection{Calculs de volumes}